條紋投影三維形貌測(cè)量的變分模態(tài)分解相位提取

朱新軍， 鄧耀輝，唐　晨，宋麗梅， 郭慶華

(1.天津工業(yè)大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300387；2.天津大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

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條紋投影三維形貌測(cè)量的變分模態(tài)分解相位提取

朱新軍1*， 鄧耀輝1，唐晨2，宋麗梅1， 郭慶華1

(1.天津工業(yè)大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300387；2.天津大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

針對(duì)條紋投影三維形貌測(cè)量涉及的相位提取，提出了一種基于變分模態(tài)分解的單幅條紋投影相位提取方法。通過(guò)建立變分模態(tài)分解模型和極小化變分模態(tài)分解將單幅投影條紋圖分解成背景部分、條紋部分和噪聲部分。然后對(duì)得到條紋部分進(jìn)行Hilbert變換和反正切變換得到包裹相位；對(duì)其進(jìn)行質(zhì)量導(dǎo)向相位解包裹和Zernike多項(xiàng)式去載頻得到解包裹相位。將該方法與Fourier變換、連續(xù)小波變換進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果顯示：本文提出的相位提取方法相位誤差為3.14×10-4，小于Fourier變換和連續(xù)小波變換方法對(duì)應(yīng)的誤差3.30×10-4和6.52×10-4。模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文提出的方法在處理具有邊緣信息投影條紋圖時(shí)具有優(yōu)勢(shì)，能夠提取出更準(zhǔn)確的相位信息，可有效地用于含邊緣不連續(xù)和突起的三維物體測(cè)量。

條紋投影；三維形貌測(cè)量；變分模態(tài)分解；相位提取

1　引　言

作為現(xiàn)代光學(xué)測(cè)試方法中的一種常用方法，條紋投影三維測(cè)量具有較高的速度和較高的精度，并且其光學(xué)和數(shù)字硬件設(shè)備比較低廉，近年來(lái)已逐漸成為十分受歡迎的一種非接觸、快速和高精度的三維形貌測(cè)量方法[1-4]。而相位提取是條紋投影的難點(diǎn)，也是重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容，因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種相位提取方法。總的來(lái)講，條紋投影相位提取方法可分為兩類[5-12]：一類是基于單幅條紋圖的相位提取，一類是以相移法為代表的基于多幅條紋圖的相位提取。由于多幅投影條紋圖比單幅投影條紋圖提供了更多的信息，通常相移法比其它方法具有更高的精度。與相移法相比，基于單幅投影圖的條紋相位提取是在某一時(shí)刻只采集一幅圖像，受環(huán)境擾動(dòng)的影響較小，更適合動(dòng)態(tài)過(guò)程的三維測(cè)量和顯示。

單幅投影條紋相位提取方法包括Fourier變換(FTM)、連續(xù)小波變換(CWT)以及經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法[8，10-11]等。這些算法在對(duì)噪聲的魯棒性、圖像邊緣細(xì)節(jié)的保持等方面進(jìn)行了改進(jìn)，但仍然存在缺點(diǎn)。目前為止，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解處理噪聲條紋圖時(shí)，在分解層數(shù)的選擇，包絡(luò)面的選擇上存在困難。受噪聲的影響，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解在模態(tài)混合問(wèn)題，嚴(yán)重影響條紋投影條紋分析結(jié)果，一般情況下需要進(jìn)行濾波預(yù)處理[8]。此外，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解需要包絡(luò)面插值，而包絡(luò)面插值的計(jì)算量巨大。

本課題組前期提出了基于變分圖像分解的FPP相位提取方法，其通過(guò)變分圖像分解，可有效地將條紋圖分解為背景部分、條紋部分和噪聲部分[13，14]。與Fourier變換，連續(xù)小波變換以及經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法相比，此方法得到的相位更準(zhǔn)確，但此方法的缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜?？紤]到變分圖像分解和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的優(yōu)勢(shì)，本文在前期工作的基礎(chǔ)上，引入了變分模態(tài)分解方法。變分模態(tài)分解是一種新的信號(hào)分解方法，由Dragomiretskiy和Zosso于2014年提出[15]。變分模態(tài)分解能自適應(yīng)地將幾種具有不同模態(tài)的信號(hào)進(jìn)行分離。與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解相比，變分模態(tài)分解方法是非遞歸的，并且具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文提出了基于變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition，VMD)的相位提取方法，將條紋分解成背景部分、條紋部分和噪聲部分，再對(duì)條紋部分進(jìn)行包裹相位提取、相位解包裹和去載頻，得到最終相位，在文章最后通過(guò)模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了提出方法的有效性。

2　基于變分模態(tài)分解的條紋相位提取

2.1變分模態(tài)分解

變分模態(tài)分解是一種新提出的自適應(yīng)信號(hào)分析方法，其建立在變分法和維納濾波基礎(chǔ)上，能自適應(yīng)地將幾種具有不同模態(tài)的信號(hào)進(jìn)行分離，即能得到帶限本征模態(tài)函數(shù)。首先，對(duì)于每一個(gè)本征模態(tài)uk，通過(guò)Hilbert變換計(jì)算得到相應(yīng)的解析信號(hào)，并獲得單邊頻譜。其次，對(duì)于每一個(gè)單邊譜模態(tài)，通過(guò)混合一個(gè)中心頻率為wk的指數(shù)調(diào)制項(xiàng)將每一個(gè)頻譜移動(dòng)至“基帶”。最后，通過(guò)解調(diào)信號(hào)的H1高斯光滑性(梯度的L2范數(shù))估計(jì)帶寬。綜上所述，對(duì)于一維信號(hào)f，通過(guò)分析變分模態(tài)分解構(gòu)成如下約束變分問(wèn)題：

(1)

對(duì)于二維解析信號(hào)uk，其頻域可定義為：

(2)

借助于二維解析信號(hào)的定義，二維變分模態(tài)分解的能量泛函為：

(3)

采用乘子交替方向法極小化問(wèn)題[15]。首先，求解關(guān)于uk的極小化問(wèn)題：

(4)

其中α為正則化參數(shù)。

式(4)寫成以下維納濾波結(jié)果：

(5)

(6)

在頻域內(nèi)：

(7)

其解為：

(8)

經(jīng)過(guò)若干次迭代，可實(shí)現(xiàn)能量泛函(3)極小化并得到各個(gè)模態(tài)成分。

2.2基于變分模態(tài)分解相位提取

通過(guò)極小化能量泛函(3)得到本征模態(tài)函數(shù)uk，從而有：

(9)

對(duì)條紋u2(x，y)進(jìn)行Hilbert變換得到c(x，y)，通過(guò)如下反正切函數(shù)獲得包裹相位圖：

(10)

其中Re{ }與Im{ }分別代表實(shí)部與虛部。

采用Zernike多項(xiàng)式[17]擬合消除載頻，將展開(kāi)后的連續(xù)相位表示為n項(xiàng)(Zernike)多項(xiàng)式的組合。記φc(x，y)=2πf0x，寫成Zernike多項(xiàng)式的線性組合形式為：

φc(x，y)=a0u0(x，y)+a1u1(x，y)+…+

aiui(x，y)+…+an-1un-1(x，y).

(11)

其中：aiui(x，y)表示第i+1項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式，ai表示第i+1項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式的系數(shù)。在參考面區(qū)域內(nèi)，有：

ψ(x′，y′)=a0u0(x′，y′)+a1u1(x′，y′)+…+

aiui(x′，y′)+…+an-1un-1(x′，y′)，

(12)

圖1總結(jié)了上述基于變分模態(tài)分解的相位提取的整個(gè)過(guò)程，主要包含上述的變分模態(tài)分解得到條紋、反正切得到包裹相位、解包裹和擬合載頻、去除載頻5個(gè)主要步驟。

圖1　變分模態(tài)分解相位提取流程

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1仿真模擬

首先采用模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，模擬的變形條紋圖公式為：

n.

(a)模擬相位(a)Simulated phase(b)模擬投影條紋(b)Simulated projection fringe

(14)

式中M和N為相位的大小。

模擬圖結(jié)果如圖3(彩圖見(jiàn)期刊電子版)所示，其中圖3(a)、(c)和(e)分別為Fourier變換、連續(xù)小波變換與VMD提取的相位結(jié)果，圖3(b)、(d)和(f)為3種方法第256行數(shù)據(jù)的結(jié)果。利用式(14)，可計(jì)算出Fourier變換、CWT與VMD處理所得相位誤差MSE分別為3.30×10-4和 6.52×10-4和3.14×10-4。從圖3和MSE可看出，本文算法給出的相位差更小、結(jié)果更準(zhǔn)確。

(a)Fourier變換(a)Fourier transfrom (b)圖(a)的256行(b)The 256th row of (a)

(c)連續(xù)小波變換(c) CWT(d)圖(c)的256行(d)The 256th row of (c)

(e)變分模態(tài)分解(e)VMD(f)圖(e)的256行(f)The 256th row of (e)

3.2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用兩幅實(shí)驗(yàn)圖像對(duì)算法進(jìn)行測(cè)試，圖4(a)為石膏人臉模型的投影條紋圖，圖像大小為512 pixel×512 pixel(西安交通大學(xué)械工程學(xué)院周翔副教授提供)。圖4(b)為實(shí)驗(yàn)室采集的人臉模型的條紋圖，圖像大小同樣為512 pixel×512 pixel。圖 5(a)、(b)和(c)分別為采用FTM、CWT和VMD方法得到的最終相位圖。圖5(d)(彩圖見(jiàn)期刊電子版)為3種方法與文獻(xiàn)[14]中所提VID方法第256列的比較，可以看出，本文方法的結(jié)果與文獻(xiàn)[14] 所提VID方法的結(jié)果最接近，兩條線幾乎重合。圖 6(a)、(b)、(c)和(d)(彩圖見(jiàn)期刊電子版)分別為采用四步相移、VMD、FTM、CWT方法得到的最終相位圖。從圖5可以看出，在石膏人臉的眼部和鼻子等凸起部位，F(xiàn)TM和CWT得到的結(jié)果與實(shí)際情況差別較大，不能恢復(fù)出合理的相位，而采用本文提出的變分模態(tài)分解方法則可有效地恢復(fù)出合理的相位。從圖6可知，本文的VMD得到的相位與四步相移的偏離最小，F(xiàn)TM次之，CWT偏差最大。以上結(jié)果表明在處理具有邊緣信息的物體投影條紋圖時(shí)，本文方法更具有優(yōu)勢(shì)，能夠提取出更準(zhǔn)確的相位信息，能夠有效進(jìn)行具有不連續(xù)和突起的三維物體測(cè)量。

(a)石膏人臉(a)Plaster face　(b)面具模型(b)Mask model

(a)Fourier 變換(a)Fourier transform(b)連續(xù)小波變換(b)CWT

(c)本文方法(c) Proposed method(d)圖(a)，(b)，(c)第256列相位值(d)Phase value of 256th column in (a)，(b)，(c)

(a)四步相移(a)Four steps phase shift　(b)本文方法(b)Proposed Method

(c)Fourier 變換(c)FTM(d)連續(xù)小波變換 (d)CWT

(e)圖(a)，(b)，(c)和(d)第256行結(jié)果(e)Results of the 256th row in (a)，(b)，(c) and (d)

3.3動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)

本節(jié)采用實(shí)驗(yàn)室搭建的條紋投影測(cè)量系統(tǒng)對(duì)人臉表情的動(dòng)態(tài)三維形貌進(jìn)行測(cè)量，并用VMD方法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行相位提取。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要包括數(shù)字投影儀(德州儀器公司 DLP LightCrafter 3000)，高速CCD攝像機(jī)(奧林巴斯 i-SPEED TR)。DLP投影儀將正弦條紋投射到真實(shí)人臉，高速攝像機(jī)以20 frame/s的速度采集變形投影條紋圖。圖7(a)和(b)為兩幅不同時(shí)刻得到的人臉變形條紋圖，圖7(c)和(d)為相位提取結(jié)果，由圖7可知，本文方法能較好地反應(yīng)人臉的鼻子、眼部和嘴部的細(xì)節(jié)信息。

(a)投影條紋圖1(a)Projection fringe 1　(b)投影條紋圖2 (b)Projection fringe 2

(c)圖(a)處理結(jié)果(c)Result of Fig.7 (a)(d)圖(b)處理結(jié)果 (d)Result of Fig.7 (b)

綜上所述，本文提出的方法在更大程度上保持了條紋在物體表面邊緣不連續(xù)處和劇烈突起處的細(xì)節(jié)。因此，本文提出的方法可更有效地用于邊緣和劇烈突起的物體表面三維形貌測(cè)量中。

4　結(jié)　論

本文首先提出了一種基于變分模態(tài)分解的條紋投影相位提取方法，該方法可以有效地將FPP條紋圖分解成背景部分、條紋部分和噪聲部分，再對(duì)條紋部分進(jìn)行相位提取，從而得到最終的相位。在分解條紋圖的過(guò)程中，首先通過(guò)分析變分模態(tài)分解模型，給出了變分圖像的分解模型與優(yōu)化方法，從而得到條紋部分。然后，經(jīng)過(guò)反正切得到包裹相位，通過(guò)相位解包裹得到解包裹相位，通過(guò)Zernike擬合載頻，去除載頻后得到最終的相位。通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)可知，本文提出的相位提取方法的相位誤差為3.14e×10-4，優(yōu)于FTM、CWT的3.30×10-4和6.52×10-4。模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法在相位提取方面能更好地保持相位邊緣信息，更有效地用于具有邊緣和劇烈突起的物體表面三維形貌測(cè)量中。

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朱新軍(1985-)，男，山東臨沂人，博士，講師，2008年于臨沂大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，2011年于山東理工大學(xué)獲得碩士學(xué)位，2015年于天津大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為天津工業(yè)大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院講師，主要從事光干涉測(cè)量、散斑測(cè)量及機(jī)器視覺(jué)的研究。E-mail: xinjunzhu@tjpu.edu.cn

鄧耀輝(1993-)，男，河北石家莊人，碩士研究生，2015年于河北工業(yè)大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事三維重建、機(jī)器視覺(jué)、模式識(shí)別等領(lǐng)域的研究。E-mail: 18202511970@163.com

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Variational mode decomposition for phase retrieval in fringe projection 3D shape measurement

ZHU Xin-jun1*， DENG Yao-hui1， TANG Chen2， Song Li-mei1， GUO Qing-hua1

(1.SchoolofElectricalEngineeringandAutomation，TianjinPolytechnicUniversity，Tianjin300387，China；2.SchoolofElectronicInformationEngineering，TianjinUniversity，Tianjin300072，China)*Correspondingauthor，E-mail：xinjunzhu@tjpu.edu.cn

For the phase retrieval in fringe projection 3D shape measurements， a new fringe projection phase retrieval method based on variational mode decomposition was proposed. Firstly， the projection fringe pattern was decomposed into a background part， a fringe part and a noise part by the development of variational mode decomposition model and the minimization of the model. Then， the fringe part was processed by Hilbert and arc tangent transform to obtain a wrapping phase， and by quality guided phase unwrapping and Zernike carrier removal to acquire the final absolute phase. Simulation and experimental results show that the phase error by the proposed method is 3.14×10-4，smaller than the errors 3.30×10-4and 6.52×10-4that respectively obtained by Fourier transform method and continuous wavelet transform method. The proposed method is superior to the Fourier transform method and continuous wavelet transform method in the process of projection fringes with edge information， providing more accurate results， and is more effective for the application of the three dimensional measurement of objects with discontinuous and abrupt changes.

fringe projection; three dimensional measurement; variational mode decomposition; phase retrieval

2016-06-05；

2016-08-01.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.60808020，No.61078041)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(No.15JCYBJC51700)

1004-924X(2016)09-2318-07

TP92；O436.1

A

10.3788/OPE.20162409.2318