分數(shù)階光滑函數(shù)三次插值公式余項估計

樊　夢，王同科

（天津師范大學 數(shù)學科學學院，天津 300387）

分數(shù)階光滑函數(shù)三次插值公式余項估計

樊夢，王同科

（天津師范大學 數(shù)學科學學院，天津 300387）

利用局部分數(shù)階Taylor公式，導出了分數(shù)階光滑函數(shù)等距節(jié)點三次Lagrange插值公式余項的精確估計式，并通過數(shù)值算例驗證了理論分析的正確性

局部分數(shù)階導數(shù)；分數(shù)階Taylor公式；三次插值；余項估計；收斂階

1　引言及預備知識

插值法［1-2］是利用函數(shù)f（x）在某區(qū)間中若干點的函數(shù)值，構造適當?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點上取已知值，在其他點上用這些特定函數(shù)的值作為f（x）近似值的方法.設f（x）在某區(qū)間上有定義，xi，i=0，1，…，n為該區(qū)間上互不相同的n+1個點，多項式插值就是求一個不超過n次的多項式pn（x），使得pn（xi）=f（xi），i=0，1，…，n.pn（x）的Lagrange表示形式為pn（x）=其中插值基函數(shù)

當f（x）∈C［a，b］時，pn（x）的差商型余項為

許多學者對不同的插值問題做了深入研究.文獻［3］研究了連續(xù)函數(shù)非等距節(jié)點線性插值的誤差估計.文獻［4］總結了一些插值的收斂性問題.文獻［5］給出了分段光滑函數(shù)的誤差估計式.雖然差商型余項對函數(shù)的光滑性要求很弱，但其無法給出插值余項的精確刻畫.文獻［6］對于分數(shù)階光滑函數(shù)的線性和二次插值函數(shù)，給出了插值余項的精確刻畫，其中使用的主要工具是局部分數(shù)階導數(shù)［7-11］.本研究在分數(shù)階光滑函數(shù)二次插值公式余項估計的基礎上，給出了三次插值公式的余項表達式，并通過一些具體實例，借助Mathematica［12］程序驗證余項估計式的正確性.

定義1［8-9］（KG局部分數(shù)階導數(shù)）設f（x）∈Ck［a，b］，給定x0∈［a，b］，若存在k＜α＜k+1，使得極限存在且有限，則稱f（x）在x=x0處的局部α階右（+）或左（-）導數(shù)存在.進一步，若式（1）的極限存在且為非零有限值，則稱此時的α為臨界階.

注式（1）右端按Riemann-Liouville定義理解.

引理1［13］設f（x）∈C［a，b］，給定x0∈［a，b］，若存在，其中k＜α0＜k+1為臨界階，則

定義2［6，9］對于式（2）給出的余項若存在α1＞α0，使得

則定義f（x）在x=x0的α1階分數(shù)階導數(shù)為

由式（3）可得

引理2［6］設f（x）∈Ck［a，b］且在x=x0處存在k＜α0＜α1＜…＜αn階局部分數(shù)階導數(shù)，則f（x）的分數(shù)階Taylor公式為

引理3［6］（二次插值公式余項估計）設函數(shù)f（x）∈C［x0，x2］，且f（x）在x0點局部α0（0＜α0＜3非整數(shù)）階可導，在其他點充分光滑，則經過節(jié)點（x0，f（x0））、（x1，f（x1））和（x2，f（x2））的二次插值余項主項在0＜ α0＜1、1＜α0＜2和2＜α0＜3時分別如下式所示.

2　分數(shù)階光滑函數(shù)三次插值公式余項估計

給定函數(shù)f（x）∈C［x0，x3］，設f（x）在x0點局部α0（0＜α0＜4非整數(shù)）階可導，在區(qū)間［x0，x3］上其他點充分光滑.在區(qū)間（x0，x3）內插入節(jié)點x1和x2，為使以下推導簡便，假定節(jié)點分布是等距的，并記h=xi-xi-1，i=1，2，3.經過節(jié)點（xi，f（xi）），i=0，1，2，3的三次插值函數(shù)及差商型余項分別為

為方便，僅考慮插值余項主項，即在f（x）關于x0的分數(shù)階Taylor公式中，簡單假定

由差商性質得

式（12）、式（14）、式（16）和式（18）分別給出了α0取不同值時三次插值函數(shù)的余項估計，對其進行綜合，可得到三次插值函數(shù)余項的完整估計.

設f（x）在x0的分數(shù)階Taylor展開式為

其中r（x）在［x0，x3］上四階可導.由以上討論，可得如下定理.

定理設函數(shù)f（x）∈C［x0，x3］，且在x0點的分數(shù)階Taylor展開式為式（19），而f（x）在區(qū)間［x0，x3］上其他點充分光滑.在區(qū)間（x0，x3）內插入等距節(jié)點x1和x2，并記h=xi-xi-1，i=1，2，3，則經過節(jié)點（xi，f（xi）），i=0，1，2，3的三次插值余項為

以上討論均假定函數(shù)f（x）在插值區(qū)間左端點存在分數(shù)階導數(shù)，若f（x）在插值區(qū)間右端點存在分數(shù)階導數(shù)，則使用左導數(shù)分數(shù)階Taylor公式可得同樣結果.

3　數(shù)值算例

下面通過幾個具體函數(shù)來說明分數(shù)階光滑函數(shù)三次插值余項主項估計的正確性.

例1求函數(shù)f（x）=x1/3arcsin x在區(qū)間［0，1/2］、［0，1/6］、［0，1/18］、［0，1/54］及［1/2，1］、［5/6，1］、［17/18，1］、［53/54，1］上的三次插值最大誤差.

首先考慮f（x）在［0，1/2］、［0，1/6］、［0，1/18］、［0，1/54］上的三次插值最大誤差.將這些區(qū)間都剖分為3等份，即h依次為1/6、1/18、1/54、1/162，分別構造不同區(qū)間上的三次插值函數(shù)，在每個區(qū)間上求最大絕對插值誤差，記為結果見表1.

表1　例1中函數(shù)在x=0點附近三次插值的最大絕對誤差及數(shù)值收斂階Tab.1　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation near x=0 in example 1

表1中數(shù)值收斂階oh=log3（εh/εh/3）.由表1知，當步長h減少時，插值最大誤差緩慢減少.由f（x）在x=0點的分數(shù)階Taylor展開式

可知f（x）在x=0點僅4/3階可導，與表1中的數(shù)值收斂階非常接近，說明理論分析完全正確.

再求函數(shù)f（x）=x1/3arcsin x在區(qū)間［1/2，1］、［5/6，1］、［17/18，1］、［53/54，1］上的三次插值最大誤差.將這些區(qū)間都剖分為3等份，即h依次為1/6、1/18、1/54、1/162，分別構造不同區(qū)間上的三次插值函數(shù)，在每個區(qū)間上求最大絕對插值誤差，結果見表2.

表2　例1中函數(shù)在x=1點附近三次插值的最大絕對誤差及數(shù)值收斂階Tab.2　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation near x=1 in example 1

將f（x）在x=1處進行分數(shù)階Taylor展開，得

由表2知數(shù)值收斂階與理論收斂階1/2非常接近.

例2f（x）=x2/7（x3-x2-x+1）3/4arcsin（1-x），該函數(shù)在x=1處分數(shù)階可導，插值區(qū)間及最大絕對誤差見表3.

表3　例2中函數(shù)三次插值的最大絕對誤差及數(shù)值收斂階Tab.3　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation in example 2

將f（x）在x=1處進行分數(shù)階Taylor展開，得

由表3知數(shù)值收斂階與理論收斂階5/2非常接近.

例3f（x）=exp（（1-x）1/3）（x3-x2-x+1）3/4· arcsin2（1-x），該函數(shù)在x=1處分數(shù)階可導，插值區(qū)間及最大絕對誤差見表4.

表4　例3中函數(shù)三次插值的最大絕對誤差及數(shù)值收斂階Tab.4　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation in example 3

將f（x）在x=1處進行分數(shù)階Taylor展開，得

由表4知數(shù)值收斂階與理論收斂階7/2比較接近，但與前2個例子相比誤差較大，主要原因在于f（x）在x= 1處的分數(shù)階Taylor公式的前3項臨界階分別為7/2、23/6、25/6，它們比較接近，相互影響，導致數(shù)值收斂階計算誤差較大.

例1～例3表明函數(shù)的光滑性與插值收斂速度密切相關，函數(shù)的光滑性越低，則收斂階越小，插值收斂速度越慢.這些例子也驗證了本研究得到的余項估計式完全正確.

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（責任編校馬新光）

Remainder estimation of cubic Lagrange interpolation for fractional smooth functions

FAN Meng，WANG Tongke
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The sharp remainder estimation of cubic Lagrange interpolation with equidistant nodes is derived for fractional smooth functions based on local fractional Taylor's formula.Numerical examples verify the correctness of the theoretical analysis.

local fractional derivative；fractional Taylor's formula；cubic interpolation；remainder estimation；convergence order

O241.3

A

1671-1114（2016）02-0001-05

2015-05-07

國家自然科學基金資助項目（11471166）.

樊夢（1990—），女，碩士研究生．

王同科（1965—），男，教授，主要從事微分方程數(shù)值解方面的研究．