異質(zhì)閾值決策規(guī)則下的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散

肖　宇，韓景倜

(1.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)商務(wù)信息學(xué)院，上海 201620；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) a.信息管理與工程學(xué)院，b.實(shí)驗(yàn)中心，上海 200433)

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異質(zhì)閾值決策規(guī)則下的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散

肖宇1，韓景倜2

(1.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)商務(wù)信息學(xué)院，上海 201620；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) a.信息管理與工程學(xué)院，b.實(shí)驗(yàn)中心，上海 200433)

基于異質(zhì)閾值模型和平均場(chǎng)理論刻畫了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散，分析了鄰居效應(yīng)、閾值分布和網(wǎng)絡(luò)度分布對(duì)擴(kuò)散的影響。結(jié)果表明：鄰居效應(yīng)或閾值分布均值的減小將加速擴(kuò)散及增大均衡狀態(tài)值，閾值分布方差的減小將減緩初始擴(kuò)散，且滿足一定條件下，將加速擴(kuò)散收尾過程；鄰居效應(yīng)較弱時(shí)，度分布異質(zhì)性的增加將加速初始擴(kuò)散，反之亦然；鄰居效應(yīng)和閾值分布滿足一定條件時(shí)，擴(kuò)散初始速度將呈現(xiàn)出超指數(shù)增長；鄰居效應(yīng)、閾值分布或度分布的變化均可使擴(kuò)散均衡狀態(tài)值發(fā)生跳躍式增長。

創(chuàng)新擴(kuò)散；社會(huì)網(wǎng)絡(luò)；鄰居效應(yīng)；社會(huì)影響；擴(kuò)散影響率

0　引言

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征對(duì)創(chuàng)新擴(kuò)散有著重要影響[1-3]，已有大量文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行了研究。如，文獻(xiàn)[4]對(duì)比了不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)于反協(xié)調(diào)決策擴(kuò)散的影響，發(fā)現(xiàn)度分布對(duì)全局涌現(xiàn)具有重要影響。文獻(xiàn)[5]研究了具有無標(biāo)度特性的消費(fèi)者網(wǎng)絡(luò)中的新產(chǎn)品擴(kuò)散問題，文獻(xiàn)[6]對(duì)比了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)具有網(wǎng)絡(luò)外部性的新產(chǎn)品的擴(kuò)散問題，文獻(xiàn)[7]研究了初始目標(biāo)群體的選擇、小世界效應(yīng)和聚簇結(jié)構(gòu)對(duì)創(chuàng)新擴(kuò)散的影響，文獻(xiàn)[8]研究了兩類信息擴(kuò)散模型中入度與出度相關(guān)性對(duì)信息擴(kuò)散率的影響。文獻(xiàn)[9]構(gòu)建了基于SIS模型的平均場(chǎng)擴(kuò)散過程，利用隨機(jī)占優(yōu)理論分析了網(wǎng)絡(luò)平均度，度分布異質(zhì)性和“鄰居效應(yīng)”對(duì)擴(kuò)散“相變”的影響，但該文并未分析這些因素對(duì)擴(kuò)散初始速率的影響，也未分析節(jié)點(diǎn)異質(zhì)閾值下的情形。

除網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)因素外，節(jié)點(diǎn)采納傾向的異質(zhì)性也影響著擴(kuò)散。閾值模型是刻畫這種異質(zhì)性的有力模型之一，大量學(xué)者基于該模型研究了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散現(xiàn)象。如，Valente區(qū)別了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的群體閾值模型和局域閾值模型，認(rèn)為一些行為(如暴力行為)的擴(kuò)散適用于群體閾值模型，而另一些行為(如避孕措施)的擴(kuò)散適用于局域閾值模型[10]。文獻(xiàn)[11]比較了社會(huì)傳染，社會(huì)影響和社會(huì)學(xué)習(xí)規(guī)則下的擴(kuò)散速率，但該文忽略了網(wǎng)絡(luò)度分布的調(diào)節(jié)影響。文獻(xiàn)[12]基于平均場(chǎng)過程分析了具有異質(zhì)閾值的“種子”在不同網(wǎng)絡(luò)平均度下對(duì)最終擴(kuò)散均衡值的影響。但他們并沒有研究具有相同平均值，不同異質(zhì)性的網(wǎng)絡(luò)度分布對(duì)擴(kuò)散均衡值的影響，也沒有研究度分布和“鄰居效應(yīng)”對(duì)擴(kuò)散初始速度的影響。

針對(duì)以上研究的不足，本文綜合考慮了鄰居效應(yīng)和異質(zhì)閾值等因素，基于異質(zhì)閾值決策模型，利用平均場(chǎng)理論構(gòu)建了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)創(chuàng)新擴(kuò)散過程。重點(diǎn)回答了以下兩方面問題：1)鄰居效應(yīng)、閾值分布和網(wǎng)絡(luò)度分布如何影響動(dòng)態(tài)均衡；2)鄰居效應(yīng)、閾值分布和網(wǎng)絡(luò)度分布如何影響擴(kuò)散過程。

1　假設(shè)與模型

1.1社會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)

文獻(xiàn)[1]和[9]研究了無向網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散問題，無向意味著節(jié)點(diǎn)之間存在著對(duì)稱關(guān)系，但現(xiàn)實(shí)生活這種關(guān)系往往是不成立的，如Twitter、新浪微博等在線社交網(wǎng)絡(luò)同時(shí)設(shè)置了關(guān)注與粉絲，允許關(guān)注群體與粉絲群體的不一致，因此用不對(duì)稱關(guān)系刻畫群體中個(gè)體的關(guān)系更加合理。

1.2異質(zhì)閾值模型

閾值模型是解釋公共意見形成的重要模型之一，廣泛應(yīng)用于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散研究。群體中，低閾值個(gè)體更早加入特定行為，高閾值個(gè)體則在大部分鄰居加入后才決定加入[10]。本質(zhì)上講，閾值模型刻畫了一類依賴于已加入特定行為的鄰居比例進(jìn)行決策的行為擴(kuò)散現(xiàn)象，合適的群體異質(zhì)閾值分布可解釋個(gè)體層行為到集體層行為(如搶劫、出席會(huì)議和吸煙等)的形成[13-15]。

假設(shè)節(jié)點(diǎn)i有不變的采納閾值ci，t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)i采納創(chuàng)新的效用函數(shù)為

πi(t)=f(ki,ai(t))-ci

其中：f(ki,ai)表示鄰居影響規(guī)則，ki為節(jié)點(diǎn)i在其局域環(huán)境中能受到的最大影響量，ai為目前的已存在的影響量，且有f(ki,0)=0；ci為節(jié)點(diǎn)i采納創(chuàng)新的閾值，不失一般性，假設(shè)ci服從截尾的正態(tài)分布：

如果πi(t)≥0，那么節(jié)點(diǎn)i將考慮采納創(chuàng)新，即進(jìn)入決策的下一個(gè)階段，反之則保持未采納狀態(tài)。考慮行為慣性和決策變更時(shí)間約束等因素的影響，每周期節(jié)點(diǎn)依據(jù)一定規(guī)則進(jìn)行決策，以λ表示狀態(tài)的修正概率。因此，在該決策階段，πi(t)≥0的節(jié)點(diǎn)將以概率λ采納創(chuàng)新。此外將ci=0的節(jié)點(diǎn)視為創(chuàng)新者，即鄰居中尚無采納者時(shí)，這部分節(jié)點(diǎn)可能選擇采納創(chuàng)新。

由以上過程可知，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)采納狀態(tài)空間的轉(zhuǎn)變過程與時(shí)間無關(guān)，只受局域環(huán)境f(ki,ai(t))影響。

1.3擴(kuò)散過程

假設(shè)社會(huì)群體N足夠大，可利用平均場(chǎng)近似方法將局部影響加總，形成影響網(wǎng)絡(luò)全局的平均場(chǎng)。平均場(chǎng)近似方法作為統(tǒng)計(jì)物理中經(jīng)典近似方法之一，已被復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散文獻(xiàn)廣泛使用[4,9,16-19]。假設(shè)度分布和節(jié)點(diǎn)鄰居數(shù)量不變，每周期節(jié)點(diǎn)從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取一定數(shù)目的個(gè)體作為鄰居，觀察他們的采納行為，決定是否采納創(chuàng)新。

令ρk(t)表示t時(shí)刻度為k的亞群體擴(kuò)散率，ρ(t)為t時(shí)刻群體總擴(kuò)散率，則：

(1)

其中,0≤ρk(t)≤1，0≤ρ(t)≤1。

(2)

其中,N·〈k〉為網(wǎng)絡(luò)中的總邊數(shù)，代表了網(wǎng)絡(luò)中可能達(dá)到的最大擴(kuò)散影響量，此外，θ(t)∈[0,1)。在該網(wǎng)絡(luò)中，擴(kuò)散影響率是由網(wǎng)絡(luò)度分布和亞群體擴(kuò)散率構(gòu)成的綜合指標(biāo)，度分布確定的條件下，擴(kuò)散影響率和亞群體擴(kuò)散率呈正比關(guān)系，即亞群體擴(kuò)散率越大，擴(kuò)散影響率也越大。在本文構(gòu)建的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，θ(t)等價(jià)于節(jié)點(diǎn)任意一條邊指向采納者節(jié)點(diǎn)的概率，由此可以得出t時(shí)刻度為k的節(jié)點(diǎn)所受期望擴(kuò)散影響量：

進(jìn)而，可以得到t時(shí)刻度為k的亞群體對(duì)θ(t)的下一時(shí)刻的期望擴(kuò)散率(下文將之稱為θ(t)的“亞擴(kuò)散率響應(yīng)函數(shù)”)：

(3)

在此基礎(chǔ)上，也可得下一時(shí)刻的期望擴(kuò)散影響率(下文將之稱為θ(t)的“擴(kuò)散影響率響應(yīng)函數(shù)”)和總擴(kuò)散率響應(yīng)函數(shù)：

(4)

t時(shí)刻入度為k的亞群體由未采納狀態(tài)轉(zhuǎn)變采納狀態(tài)的瞬時(shí)速率可表示為

(5)

再結(jié)合式(2)、(3)和(5)可得擴(kuò)散影響率和擴(kuò)散率的瞬時(shí)變化率：

(6)

從微觀視角出發(fā)，節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)依鄰居規(guī)則轉(zhuǎn)變，因此在該動(dòng)態(tài)過程存在著節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的逆向轉(zhuǎn)變。

由以上過程可知，給定度分布p(k)和鄰居影響規(guī)則，若不考慮時(shí)間約束，隨著擴(kuò)散影響率θ(t)趨于穩(wěn)定，擴(kuò)散最終將以漸進(jìn)方式達(dá)到某個(gè)均衡點(diǎn)[11,19]。如果鄰居的采納行為對(duì)節(jié)點(diǎn)采納創(chuàng)新具有積極影響，則為趨同選擇擴(kuò)散，反之則為差異化選擇擴(kuò)散[4,20]。本文聚焦于分析趨同選擇下的擴(kuò)散，即鄰居影響規(guī)則滿足：f(k,a+1)-f(k,a)≥0,?k，并假定鄰居影響規(guī)則為f(k,a)=a·k-β，1≤β<2，β表示鄰居效應(yīng)。下文將綜合利用理論和數(shù)值分析結(jié)合的方法揭示該社會(huì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散動(dòng)態(tài)過程。

2　理論分析

2.1鄰居效應(yīng)

創(chuàng)新擴(kuò)散異于病毒擴(kuò)散的一個(gè)重要特性在于節(jié)點(diǎn)采納之前對(duì)鄰居行為的主動(dòng)觀察，鄰居效應(yīng)刻畫了鄰居結(jié)構(gòu)對(duì)節(jié)點(diǎn)創(chuàng)新采納行為的阻礙作用，在本文中鄰居影響規(guī)則為f(k,a)=a·k-β，其中β代表了鄰居效應(yīng)，隨著它的增大，節(jié)點(diǎn)越傾向于對(duì)采納創(chuàng)新持觀望態(tài)度，進(jìn)而影響創(chuàng)新的擴(kuò)散過程和所能達(dá)到的均衡狀態(tài)。

定理1對(duì)于度分布p(k)的網(wǎng)絡(luò)，群體閾值分布均值為μ，方差為σ，鄰居影響規(guī)則f(k,a)=a·k-β，0≤β≤2，則以下命題成立：

由定理1可知，鄰居效應(yīng)的增強(qiáng)會(huì)減少擴(kuò)散達(dá)到的均衡擴(kuò)散影響率，該結(jié)論符合現(xiàn)實(shí)，鄰居效應(yīng)等價(jià)于群體規(guī)范的阻礙效應(yīng)，對(duì)于一個(gè)具有前瞻性、創(chuàng)新性的群體，群體規(guī)范的阻礙效應(yīng)相對(duì)較弱，因此該群體中創(chuàng)新事物的擴(kuò)散過程接近于病毒擴(kuò)散過程；而對(duì)于一個(gè)因循守舊的群體，舊的群體規(guī)范將束縛創(chuàng)新事物在群體中的擴(kuò)散過程，創(chuàng)新事物也難以達(dá)到大規(guī)模的擴(kuò)散。

定理2如果群體閾值分布均值為μ，方差為σ，鄰居影響規(guī)則f(k,a)=a·k-β，擴(kuò)新過程為平均場(chǎng)近似過程，當(dāng)β=1時(shí)，對(duì)于任意的pa(k)和pb(k)，存在：F1(θ)=F2(θ)

證明：將β=1代入F(θ)可得：

即F(θ)與p(k)無關(guān)，因此命題得證。

由定理2可知，由于鄰居效應(yīng)的調(diào)節(jié)作用，在特定情況下，即使存在著入度很大的節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也并不對(duì)創(chuàng)新的擴(kuò)散過程產(chǎn)生影響。這種情況下，入度更大的節(jié)點(diǎn)也需要有更多已采納鄰居才會(huì)選擇采納創(chuàng)新，因此各亞群體的采納過程是一直的，從而全局的采納過程并不會(huì)受到度分布的影響。

2.2異質(zhì)閾值

對(duì)于不同的創(chuàng)新或者產(chǎn)品，因其給個(gè)體帶來的效用或者成本的差異，其群體閾值分布也存在著差異。如一種產(chǎn)品具有相對(duì)較低的價(jià)格，則閾值分布均值也相應(yīng)較低，若一種產(chǎn)品具有相對(duì)較高的風(fēng)險(xiǎn)，則閾值分布均值相應(yīng)較高，由于這種變化并不是線性的，因此也可能造成閾值分布方差的變化。下文將分析這兩個(gè)參數(shù)對(duì)擴(kuò)散的影響。

定理3對(duì)于度分布為p(k)的網(wǎng)絡(luò)，閾值分布均值為μ，方差為σ，鄰居影響規(guī)則f(k,a)=a·k-β，0≤β≤2，則以下命題成立：

(7)

由定理3可知，群體的閾值分布特征對(duì)創(chuàng)新擴(kuò)散過程存在著影響。對(duì)于一種創(chuàng)新，其它條件不變的情況下，如果群體1的閾值分布均值大于群體2,，那么創(chuàng)新在群體1中將擴(kuò)散得更快；類似地，如果群體1的閾值分布方差大于群體2，那么創(chuàng)新在群體2的擴(kuò)散初始階段的速度更快，在一定條件下，創(chuàng)新在群體1的擴(kuò)散完成階段的速度更快。

2.3網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定了節(jié)點(diǎn)的局域環(huán)境，因此影響著節(jié)點(diǎn)的創(chuàng)新采納決策，本文引入度分布以描述網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并引入隨機(jī)占優(yōu)理論中的二階隨機(jī)占優(yōu)、分析度分布異質(zhì)性對(duì)擴(kuò)散的影響。隨機(jī)占優(yōu)理論作為一種不確定性條件下的群體決策方法在經(jīng)濟(jì)中被廣泛使用，借鑒其原理，文獻(xiàn)[4]，[9]和[16]將其引入比較不同度分布下決策函數(shù)的期望。下文引入假設(shè)：pa(k)是pb(k)的MPS，且平均度為〈k〉。

定理4對(duì)于度分布為pa(k)和pb(k)的網(wǎng)絡(luò)，假如pa(k)是pb(k)的MPS，群體閾值分布均值為μ，方差為σ，鄰居影響規(guī)則為f(k,a)=a·k-β，kmin≤k≤kmax，0≤β<2，則以下命題成立：

2)若β=1，則對(duì)于所有的θ∈(0,1)，F(xiàn)a(θ)=Fb(θ)；

證明：首先對(duì)F(θ)求θ的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)：

令：

不妨假設(shè)UF(k;θ)為k的連續(xù)函數(shù)，對(duì)UF(k;θ)求k的二階導(dǎo)：

由定理4可知，滿意一定條件時(shí)，可比較不同網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散影響率響應(yīng)值。當(dāng)0<β<1，在初始階段的某段時(shí)間內(nèi)，必有Fa(θ)≥Fb(θ)，而在后期可能出現(xiàn)Fa(θ)≤Fb(θ)的情形。當(dāng)β=1時(shí)，度分布異質(zhì)性并不會(huì)對(duì)擴(kuò)散過程產(chǎn)生任何影響。當(dāng)1<β<2時(shí)，如果閾值分布函數(shù)和β滿足一定關(guān)系，在整個(gè)過程中將有Fa(θ)≤Fb(θ)，即度分布異質(zhì)性的提高抑制了擴(kuò)散過程。由以上分析可知，當(dāng)0<β<1且滿足一定條件時(shí)，F(xiàn)a(θ)與Fb(θ)將相交于一點(diǎn)，原因?yàn)椋害容^小時(shí)，大部分亞群體滿足k1-βθ-μ≤0，此時(shí)UF(k;θ)滿足凸性條件，因此度分布異質(zhì)性越高，擴(kuò)散影響率響應(yīng)值越大；隨著θ的增大，UF(k;θ)的凸性被破壞并將出現(xiàn)拐點(diǎn)，但此階段并不意味著Fa(θ)≥Fb(θ)一定成立；當(dāng)θ繼續(xù)增大到特定值時(shí)，大部分亞群體將滿足k1-βθ-μ>0，此時(shí)UF(k;θ)滿足凹性條件，因此有Fa(θ)≥Fb(θ)。根據(jù)以上分析，度分布異質(zhì)性影響著擴(kuò)散影響率加速，因此在給定條件下，可得到利于擴(kuò)散影響率加速的最優(yōu)度分布。

推論1對(duì)于平均度為〈k〉的網(wǎng)絡(luò)族，若群體閾值分布均值為μ，方差為σ，鄰居影響規(guī)則f(k,a)=a·k-β，kmin≤k≤kmax，0≤β<2，則以下命題成立：

2)若β=1，則對(duì)于所有的θ∈(0,1)，網(wǎng)絡(luò)度分布異質(zhì)性對(duì)擴(kuò)散影響率增長無影響；

證明：由定理1可反推出本結(jié)論。

由推論可知，根據(jù)條件，最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)度分布有兩種，第1種為所有節(jié)點(diǎn)為最小度或者最大度，第2種為所有節(jié)點(diǎn)的度都在平均度附近。第1種度分布代表了度分布最大異質(zhì)性，即鏈接在節(jié)點(diǎn)之間的不均衡分配；第2種度分布代表了度分布最小異質(zhì)性，即鏈接在節(jié)點(diǎn)之間的相對(duì)均勻分配。

網(wǎng)絡(luò)度分布異質(zhì)性影響了擴(kuò)散影響率趨向的均衡值，而擴(kuò)散影響率是隨時(shí)間演進(jìn)的，因此該影響必然體現(xiàn)于擴(kuò)散過程中。擴(kuò)散過程可由擴(kuò)散影響率、擴(kuò)散影響率增長速度和加速度描述，因此以下分析將圍繞度分布異質(zhì)性對(duì)擴(kuò)散影響率的影響展開。

在擴(kuò)散的初始時(shí)刻：

由定理5可知，度分布異質(zhì)性與鄰居效應(yīng)共同決定了初始擴(kuò)散影響率加速度。如果鄰居效應(yīng)較弱(0≤β<1)，且創(chuàng)新只能在群體很小范圍內(nèi)擴(kuò)散，隨著度分布異質(zhì)性的增大，創(chuàng)新越容易在群體中擴(kuò)散，反之則可能只在群體較小范圍內(nèi)使用。因此，如果創(chuàng)新在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中只能達(dá)到很低的擴(kuò)散影響率，隨著度分布異質(zhì)性的增大，可能產(chǎn)生二階相變現(xiàn)象，即擴(kuò)散影響率在經(jīng)過初始階段的低速增長后，迅速增至較大的值，其它條件不變的情況下，二階相變的度分布異質(zhì)性臨界值應(yīng)滿足：

其中,?(t)為擴(kuò)散影響率的相對(duì)加速度，再求其t的一階導(dǎo)：

則?(t)為原點(diǎn)附近的嚴(yán)格減函數(shù)，若μ≤0，則對(duì)于任意度分布異質(zhì)性的網(wǎng)絡(luò)，擴(kuò)散初始階段的擴(kuò)散影響率呈現(xiàn)亞指數(shù)增長。

定理6給定網(wǎng)絡(luò)度分布p(k)與平均度〈k〉，閾值分布均值μ>0，方差為σ，鄰居影響f(k,a)=a·k-β,0≤β<1，則以下陳述成立：

定理6表明，在鄰居影響規(guī)則f(k,a)=a·k-β,0≤β<1下的初始階段影響率增長可能出現(xiàn)的兩種特性：減速增長或超指數(shù)增長，且度分布異質(zhì)性對(duì)減速增長有削弱效果，對(duì)超指數(shù)增長則有放大效果。對(duì)于具有相同平均度的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、指數(shù)網(wǎng)絡(luò)和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，初始階段無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散可能呈現(xiàn)出超指數(shù)增長，而其它網(wǎng)絡(luò)卻無顯著擴(kuò)散。其原因在于異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中初始階段有更大比例的大入度節(jié)點(diǎn)采納創(chuàng)新，因此擴(kuò)散影響率增長速度更大。

3　數(shù)值分析

不同鄰居效應(yīng)、閾值分布和度分布的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散具有不同的特性，其中擴(kuò)散所能達(dá)到的均衡狀態(tài)是學(xué)者們關(guān)注的重要方面之一。為此，本小節(jié)著眼于回答如下問題：在一定的鄰居效應(yīng)和異質(zhì)閾值分布下，度分布對(duì)創(chuàng)新擴(kuò)散均衡狀態(tài)有何影響？已有文獻(xiàn)利用一階和二階隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)理論回答了類似問題[4，19]，但其前提條件過于苛刻，如，在定義域內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的凹性和凸性，度分布密度函數(shù)之間的風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)關(guān)系等等。此外，均值或方差只是刻畫密度分布函數(shù)的關(guān)鍵指標(biāo)之一。然而，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)散內(nèi)在復(fù)雜性難以保證這些前提條件，因此也難以對(duì)鄰居效應(yīng)、閾值分布、度分布與擴(kuò)散均衡狀態(tài)之間的關(guān)系下定論。為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，本小節(jié)在前文建立的動(dòng)態(tài)擴(kuò)散過程基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際確定了合適的參數(shù)范圍，進(jìn)行了大量的數(shù)值模擬，以更直觀地呈現(xiàn)它們之間的關(guān)系。值得注意的是，以下分析聚焦于討論最小均衡點(diǎn)，即無外部驅(qū)動(dòng)力作用下，創(chuàng)新在群體中的潛在擴(kuò)散范圍。

根據(jù)創(chuàng)新擴(kuò)散理論，在創(chuàng)新進(jìn)入群體的初始階段，少量創(chuàng)新者無需參照他人的行為進(jìn)行采納決策，并認(rèn)為創(chuàng)新者占群體的比例為2.5%。另外，根據(jù)文獻(xiàn)[7]，對(duì)于技術(shù)創(chuàng)新產(chǎn)品，存在一定比例的“發(fā)燒友”，這部分人的采納決策也無需參照他人的行為，且該文將“發(fā)燒友”的比例設(shè)定為群體的2.5%。由于本文的目的在于呈現(xiàn)度分布對(duì)于均衡狀態(tài)的影響，本文將初始采納率適當(dāng)進(jìn)行放大，設(shè)置為21.2%。

表1　參數(shù)設(shè)置

此外，分別取范圍為1≤k≤99的度分布密度函數(shù)為(或近似為)：泊松分布、指數(shù)分布、二項(xiàng)分布和冪律分布。從0至2間隔0.04對(duì)β分別取值，最終計(jì)算出閾值分布和度分布密度函數(shù)下，鄰居效應(yīng)值對(duì)應(yīng)的均衡ρ*，具體參數(shù)參照表1。此外，本文基于平均場(chǎng)近似方法得出擴(kuò)散過程，而平均場(chǎng)近似中的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是動(dòng)態(tài)變化的。然而，大部分現(xiàn)實(shí)世界網(wǎng)絡(luò)在一定時(shí)期內(nèi)都是固定不變了。因此，其它條件保持的情況下，本節(jié)構(gòu)建仿真程序探索了固定網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散均衡。其中，固定網(wǎng)絡(luò)基于配置網(wǎng)絡(luò)生成算法產(chǎn)生，對(duì)應(yīng)為平均場(chǎng)過程的度分布。這些分布函數(shù)的自變量均為從1到99的整數(shù)，因此它們?yōu)閷?duì)應(yīng)分布函數(shù)的近似，該方法參照文獻(xiàn)[9]。此外，均衡值為對(duì)應(yīng)10次仿真的平均。圖1a，2a和3a為平均場(chǎng)過程下的均衡值，圖1b,2b,3b為仿真過程的均衡狀態(tài)。

本文數(shù)值分析的目的在于揭示參數(shù)對(duì)各分布下均衡狀態(tài)的影響，由于它們之間的影響關(guān)系較為復(fù)雜，難以直接從靜態(tài)的數(shù)值關(guān)系中得出結(jié)論，因此本文選用關(guān)鍵的圖形以更加直觀地呈現(xiàn)這種關(guān)系。圖1為閾值分布為μ=0.8,σ=1的情形，從中可觀察到度分布、鄰居效應(yīng)和均衡狀態(tài)之間有以下關(guān)系：1)各度分布下的均衡狀態(tài)值ρ*均隨β增大而減小，這與定理1一致；2)當(dāng)β在0附近時(shí)，各度分布下的均衡值由大到小依次為：二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布和冪律分布。但隨著β增大至1，這種關(guān)系將向相反方向轉(zhuǎn)變。3)雖然不同的度分布之間滿足二階風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)關(guān)系，但并不能據(jù)此得到0≤β<2下的均衡狀態(tài)大小關(guān)系的一般規(guī)律，如指數(shù)分布是泊松分布的MPS，二項(xiàng)分布是指數(shù)分布的MPS，但指數(shù)分布的均衡值并不介于泊松分布和二項(xiàng)分布之間。此外，通過計(jì)算各度分布的峰度和偏度可知，各度分布在大部分β下的均衡值大小關(guān)系和偏度、峰度的排序一致。4)對(duì)比平均場(chǎng)和仿真情況可以發(fā)現(xiàn)，兩者在不同β下的均衡值大致相等，且大部分β下各度分布的均衡值的關(guān)系基本保持一致。

3.1閾值分布均值的影響

固定σ=1，μ從0.5至2之間均勻取值，步長為0.025，然后計(jì)算各組(μ,σ)下不同度分布對(duì)于β的均衡狀態(tài)，可觀察到上述3個(gè)結(jié)論在0.5≤μ≤1.25時(shí)仍然成立。但是，隨著μ的增大，部分結(jié)論將不再成立。

此外，從圖2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有分布下的均衡值在β=0均下降至較小值，且β在0附近時(shí)，各度分布下的均衡值由大到小依次為：冪律分布、指數(shù)分布、泊松分布和二項(xiàng)分布。同樣的，這些關(guān)系與仿真過程結(jié)論一致，即存在著均衡值的突然增加。不過，在β=0附近，這種關(guān)系被破壞，可能原因在于柏松和二項(xiàng)分布。

3.2閾值分布方差的影響

固定μ=0.8，σ從0.2至1.6之間均勻取值，步長為0.05，然后計(jì)算各組(μ,σ)下不同度分布對(duì)于β的均衡狀態(tài)?？傮w而言，σ的調(diào)節(jié)影響與β恰好相反，即在一定范圍內(nèi)，以上4個(gè)結(jié)論均成立，但是，隨著σ的減小，部分結(jié)論不再成立，如圖3，σ的減少同樣導(dǎo)致了均衡值的跳躍性變化，而且這種跳躍性變化也將改變各分布下均衡值的大小關(guān)系。

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，調(diào)節(jié)鄰居效應(yīng)、閾值分布和度分布，可使擴(kuò)散發(fā)生二階相變，即創(chuàng)新在群體小范圍中經(jīng)歷緩慢增長之后，突然擴(kuò)散至群體較大范圍。該結(jié)論可解釋為何一些創(chuàng)新可在群體中擴(kuò)散至較大范圍，而另一些卻擴(kuò)散失敗。因此，根據(jù)以上分析，在考慮群體影響特性的基礎(chǔ)上，可通過改變?nèi)后w閾值，如降低成本或增強(qiáng)創(chuàng)新的非外部性功能，使創(chuàng)新的均衡狀態(tài)值跳躍至一個(gè)較大比例。

4　結(jié)論

本文建立了包含網(wǎng)絡(luò)度分布和異質(zhì)閾值的創(chuàng)新擴(kuò)散模型，基于此分析了度分布異質(zhì)性與鄰居效應(yīng)對(duì)擴(kuò)散均衡和初始階段擴(kuò)散的影響，結(jié)果表明：1)當(dāng)鄰居效應(yīng)較小時(shí)(0≤β<1)，度分布異質(zhì)性越大，創(chuàng)新越容易在群體內(nèi)較大范圍擴(kuò)散，且隨著度分布異質(zhì)性的提高，可能引發(fā)擴(kuò)散中的“二階相變”現(xiàn)象；初始增長可能呈現(xiàn)兩種方式：減速增長與超指數(shù)增長，度分布異質(zhì)性的提高會(huì)抑制減速增長現(xiàn)象，度分布異質(zhì)性滿足一定條件下初始階段影響率呈現(xiàn)指數(shù)或超指數(shù)增長，而度分布異質(zhì)性的增大同樣會(huì)促進(jìn)影響率的超指數(shù)增長；2)當(dāng)β=1時(shí)，度分布異質(zhì)性對(duì)擴(kuò)散過程不產(chǎn)生任何影響；3)當(dāng)鄰居效應(yīng)較大時(shí)(1<β<2)，度分布異質(zhì)性的提高反而會(huì)抑制擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)率的增長，且會(huì)降低初始階段的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)率增長速度。此外，通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)均衡擴(kuò)散率受鄰居效應(yīng)、閾值分布和度分布的共同影響，且三者均可使擴(kuò)散發(fā)生二階相變現(xiàn)象。最后，通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了解析結(jié)論。

本研究結(jié)論可為企業(yè)的營銷活動(dòng)提供參考，鄰居效應(yīng)在擴(kuò)散中起著重要影響，但應(yīng)視其強(qiáng)度制定具有針對(duì)性的營銷策略。

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(責(zé)任編輯李進(jìn))

Modeling Heterogenous Threshold Rule Based Innovation Diffusion

XIAO Yu1, HAN Jingti2

(1.School of Business Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 201620, China;2.a.School of Information Management and Engeneering， b.Experimental Center, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai 200433, China)

Based on heterogenous threshold model and mean-field theory, we analyse the impact of neighbor effect, threshold distribution and degree distribution on the diffusion process and equilibrium. The result shows that the decrease in neighbor effect or the mean of threshold distribution would speed up the diffusion process and increase the equilibrium value. Besides, the decrease in the variance of threshold distribution would slow down the initial diffusion process, and would also speed up the end-stage diffusion when some conditions are given; if the neighbor effect is low, the increase in the heterogeneity of degree distribution would speed up the initial diffusion stage; the initial diffusion would experience a super-exponential increase stage when a certain relationship between the neighbor effect and the threshold distribution is met; the change in neighbor effect, threshold distribution or degree distribution may lead to a jump increase of the equilibrium value.

innovation diffusion; social network; neighbor effect; social influence; diffusion-Influence rate

1672-3813(2016)03-0047-11;DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.03.007

2014-11-17；

2015-12-18

國家自然科學(xué)基金(71271126)；教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20120078110002)；上海財(cái)經(jīng)大學(xué)第六批研究生科研創(chuàng)新基金(CXJJ-2012-427)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金(15YJCZH201)；上海市教育委員會(huì)科研創(chuàng)新項(xiàng)目(14YZ134)

肖宇(1986-)，男，江西寧都人，博士，講師，主要研究方向?yàn)閯?chuàng)新擴(kuò)散和社會(huì)網(wǎng)絡(luò)。

韓景倜(1959-)，男，陜西西安人，博士，教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)理論、應(yīng)急管理。

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