立體幾何中正方體的載體作用

安徽省合肥北城中學(xué)　尹連輝

立體幾何中正方體的載體作用

安徽省合肥北城中學(xué)尹連輝

正方體是常見(jiàn)的重要空間幾何體，正方體的點(diǎn)、線、面都具有很好的對(duì)稱性。有些圖形看似復(fù)雜，但運(yùn)用割補(bǔ)法將其放入正方體模型中，難度就會(huì)降低很多。下面舉例說(shuō)明。

一、正方體與直線

例1若空間中四條不同的直線l1、l2、l3、l4滿足l1⊥l2、l2⊥l3、l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是（）。

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1與l4既不垂直也不平行

D.l1與l4的位置關(guān)系不確定

試題分析本題考查空間中直線的位置關(guān)系，常規(guī)思路是利用所學(xué)線線關(guān)系進(jìn)行逐步排除。因?yàn)榭臻g直線平行根據(jù)公理4具有傳遞性，但垂直不具有傳遞性，所以判斷起來(lái)費(fèi)時(shí)費(fèi)力。通過(guò)觀察我們可以看出，題目中所給垂直條件較多，而在正方體中能夠輕松找出符合題設(shè)所列垂直條件的直線，所以可以考慮把本題中的直線放在正方體中觀察。

解析如右圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)DD1是直線l1，DC是直線l2，AD是直線l3，若AA1是直線l4，則l1∥l4；若AB是直線l4，則l1⊥l4。故很容易得出l1與l4的位置關(guān)系不確定。

二、正方體與三視圖

例2一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）。

試題分析本題以正方體模型為載體，考查的是識(shí)圖能力及幾何體體積的運(yùn)算，要求我們能根據(jù)三視圖還原出幾何體，進(jìn)而求體積比。

三、正方體與命題

例3如右圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S。則下列命題正確的是________（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）。

試題分析此類問(wèn)題除了考查同學(xué)們的空間想象能力之外，對(duì)思維層次的要求較高，稍不留神就會(huì)出錯(cuò)，只有靜下心來(lái)，沉著冷靜地處理該類問(wèn)題，才能夠做好。

當(dāng)CQ=1時(shí)，截面為APC1E，可知且四邊形APC1E為菱形故⑤正確。

四、正方體與排列組合、概率

高考對(duì)知識(shí)的考查不單單是某個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，有時(shí)還會(huì)和其他知識(shí)綜合，在知識(shí)的交匯處命題，如正方體與排列組合、概率等知識(shí)綜合考查。

例4從正方體6個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中成的角為60°的共有（）。

A.24對(duì) B.30對(duì) C.48對(duì) D.60對(duì)

試題分析本題以正方體為載體，考查排列組合知識(shí)，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)做到不重不漏。

例5考察正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于（）。

試題分析本題以正方體為載體，考查概率知識(shí)，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)做到不重不漏。

解析如圖，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，共有·=15×15= 225種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有AC∥DB，AD∥CB，AE∥BF，AF∥BE，CE∥FD，CF∥ED，共12對(duì)，所以所求概率為，選D。

對(duì)模型認(rèn)識(shí)和熟悉的過(guò)程實(shí)際是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的過(guò)程。模型就像教材里的常用公式一樣，既能直接用來(lái)幫助解題，也能作為啟發(fā)和開(kāi)拓思路的重要工具，可謂一舉多得。因此，我們學(xué)習(xí)的過(guò)程中要注重對(duì)像正方體這樣的模型的掌握和運(yùn)用。