一類新p-群的自同構(gòu)群的最佳下界

班桂寧，田　甜，王玉琪

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧　530004)

一類新p-群的自同構(gòu)群的最佳下界

班桂寧，田甜*，王玉琪

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004)

本文得到了中心非循環(huán)且中心商同構(gòu)于p6階第十四家族的新的有限p-群結(jié)構(gòu)，運用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明了新群的存在性，特別的，證明了此類群為LA-群。

自同構(gòu)群；階；自由群；LA-群

關(guān)于有限p-群的自同構(gòu)群階的最佳下界，目前并沒有得到最終的解決，但是與其息息相關(guān)的有一個著名的猜想，稱為LA-猜想:設(shè)G為有限非循環(huán)p-群，且稱滿足LA-猜想的群為LA-群。該猜想對于自同構(gòu)群階的最佳下界給出了較好的回答，許多群論學(xué)者也為此做了很多研究。Davitt在文獻(xiàn)[1]中提出滿足中心商小于等于p4的有限非循環(huán)p-群G是LA-群；后來，在文獻(xiàn)[2-7]中很多學(xué)者得到了中心商小于等于p5的有限非循環(huán)p-群G亦是LA-群。本文立足于前人的研究，選取文獻(xiàn)[8]中p6階群中第十四家族進(jìn)行研究，利用亞循環(huán)群的冪結(jié)構(gòu)公式，排除一些不存在群G，使得G/Z(G)?H的p6階群H；然后，給出存在中心商與十四家族群同構(gòu)的新的p-群的結(jié)構(gòu)，并利用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明其存在性；最后，運用自同構(gòu)群的階的性質(zhì)證明其是滿足LA-猜想的群，進(jìn)而估算出新群的自同構(gòu)群階的最佳下界。

本文中的p是奇素數(shù)，PN-群是非交換的且沒有非平凡交換直積因子的 p-群，文中所給出的a(i，l)，kl等參數(shù)如無具體說明均是正整數(shù)，符號Φ14(222)，Ac(G)等術(shù)語和其他符號都是標(biāo)準(zhǔn)的，詳細(xì)可以參考文獻(xiàn)[8]和[9]。

1　相關(guān)引理

引理1[1]設(shè)G/Z(G)＝，如果群H包含元素h和生成子集S，使得S中的每個元素的某一個相同次冪都等于h，則不存在群G，使得G/Z(G)?H。

引理2[7]設(shè)如果群H中包含元素h和生成子集S，使得S中的每個元素的某一個相同次冪都等于h，則[h，H]＝1，h∈Z(G)。引理3[9]設(shè)G是群，a，b，c∈G，則

引理4[8]設(shè)G是群，a，b∈G，且[a，b]∈Z(G)，n為正整數(shù)，則

2　主要結(jié)果

根據(jù)上述關(guān)系，利用群擴(kuò)張理論和自由群理論證明定理中所給的群G是存在的并且滿足其定義關(guān)系。我們分下面兩步進(jìn)行:

[1]Davitt R M.On the automorphism group of a finite p-group with a small central quotient[J].Canadian Journal of Mathematics，1980， 32(5):1168-1176.

[2]俞曙霞，班桂寧.若干LA-群及相關(guān)定理[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，1993，18(1):6-13.

[3]俞曙霞，班桂寧.關(guān)于LA-群的一個定理[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，1994，19(1):10-17.

[4]俞曙霞，班桂寧.具有中心循環(huán)和小中心商的有限p-群[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，1993，18(3):15-23.

[5]Ban G N，Zhang J S，Yu S X.The lower bound for the order of the automorphism groups[J].Proceeding of the Royal Irish Academy，1996，96A(2):159-167.

[6]張艷.關(guān)于Davitt一個重要結(jié)論的推廣及相關(guān)研究[D].南寧:廣西大學(xué)，2012.

[7]朱彩鳳.關(guān)于 LA-猜想的若干問題研究[D].南寧:廣西大學(xué)，2012.

[8]James R.The Groups Of Orderp6(pan odd Prime)[J].Mathematics of Computation，1980，34(150):613-637.

[9]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上、下)[M].2版.北京:科學(xué)出版社，2011.

[10]Ban G N，Yu S X.Minimal Abelian groups that are not automorphism groups[J].Archivder Mathematik，1998，70(6):427-434.

[11]劉海林.若干中心循環(huán)且中心商群的階為p6的LA-群[D].南寧:廣西大學(xué)，2014.

[12]班桂寧，俞曙霞.一類p-群的自同構(gòu)群的階[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，1992，35(4):570-574.

[13]Otto A.Central automorphisms of a finite p-group[J].Duke Mathematical Journal，1966，125:280-287.

[14]Hummel K G.The order of the automorphism group of a central product[J].Proceedings of the American Mathematical Society，1975，47:37-40.

(責(zé)任編輯:曾晶)

The Low Boundary of the Automorphism of A Class of New-group

BAN Guining，TIAN Tian*，WANG Yuqi
(School of Mathematics and Information Sciences，Guangxi University，Nanning 530004，China)

A new finite group was given，whose center is non-cyclic and the central quotient is isomorphic to which order is；then，the existence of the new group was proven by extension theory of group and free group theory；especially，the new group is LA-group was investigated.

automorphism group；order；free group；LA-group

O152.1

A

1000-5269(2016)01-0001-04DOI:10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.01.01

2015-09-27

國家自然科學(xué)基金(61074185)；廣西自然科學(xué)基金(0832054)

班桂寧(1962-)，男，教授，博士，研究方向:群論，信息安全，控制論，Email:banguining101＠sina.com.

田甜，Email:ltnco＠sina.com.