等離子體中的CDLT-Leapfrog-ADI-FDTD方法

成丹，殷紅成，韋笑，鄭宏興

(　　　1.中國傳媒大學信息工程學院，北京 100024；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學天線與微波技術(shù)研究所，天津 300222；3.電磁散射重點實驗室，北京 100854)

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等離子體中的CDLT-Leapfrog-ADI-FDTD方法

成丹1，2，殷紅成3，韋笑3，鄭宏興2

(1.中國傳媒大學信息工程學院，北京 100024；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學天線與微波技術(shù)研究所，天津 300222；3.電磁散射重點實驗室，北京 100854)

采用電流密度拉普拉斯變換(CurrentDensityLaplaceTransform)方法將無子時間步的蛙跳式交替方向隱式時域有限差分(leapfrog-ADI-FDTD)方法應用于等離子體的電磁計算中，得到了等離子體中的迭代公式。為了驗證該方法的有效性，計算了等離子體平板的反射系數(shù)和透射系數(shù)，并與幾種傳統(tǒng)的FDTD方法進行了對比，數(shù)值實驗表明，提出的算法具有無條件穩(wěn)定性，精度和效率高于普通的顯式FDTD方法。

等離子體；蛙跳；時域有限差分方法；交替方向隱式

1　引言

等離子體在現(xiàn)代化工業(yè)的各個領(lǐng)域具有廣泛的應用，其中飛行器再入大氣層的跟蹤識別和等離子體隱身技術(shù)是等離子體研究的兩個重要方面[1]。兩方面問題的關(guān)鍵在于對電磁波與等離子體相互作用的認識，因此研究等離子體的電磁特性具有重要的意義，一直受到國內(nèi)外的廣泛關(guān)注[2-5]。

時域有限差分(Finite-DifferenceTime-Domain，F(xiàn)DTD)方法是計算等離子體電磁特性的一種常用的數(shù)值方法，經(jīng)過多年的發(fā)展，出現(xiàn)了大量的處理色散媒質(zhì)電磁問題的FDTD算法，例如輔助方程(AuxiliaryDifferentialEquation，ADE)法[6]、移位算子(ShiftOperator，SO)法[7]、電流密度拉普拉斯變換(CurrentDensityLaplaceTransform，CDLT)法[8]等方法。其中，CDLT-FDTD法是利用等離子體介質(zhì)中的電流密度矢量與電場強度的本構(gòu)方程，將方程兩邊分別進行拉式變換，得到S域內(nèi)的本構(gòu)方程，再進行拉式逆變換和指數(shù)差分，得到在時域中的FDTD迭代方程，避免了處理頻域本構(gòu)關(guān)系到時域本構(gòu)關(guān)系中的卷積問題，更為簡單。

一般的FDTD方法受到Courant穩(wěn)定性條件的限制，使得計算效率降低。為此，無條件穩(wěn)定的交替方向隱式時域有限差分(ADI-FDTD)方法被引入到等離子體的電磁計算中[9-12]。因其時間步長不受Courant穩(wěn)定性條件的限制，可以取的相對較大，較傳統(tǒng)的FDTD方法提高了計算效率，但該方法存在中間的子時間步，在無條件穩(wěn)定的同時損失了一定的計算資源。2009年Cooke等人提出了一種新的無條件穩(wěn)定的蛙跳式交替方向隱式時域有限差分(leapfrog-ADI-FDTD)方法[13]，較傳統(tǒng)的ADI-FDTD方法而言，該方法沒有子時間步的計算資源消耗，迭代方程更為簡單，但仍然保持了無條件穩(wěn)定的優(yōu)點，所以該算法相對傳統(tǒng)的無條件穩(wěn)定算法有更高的效率[14，15]。

本文將CDLT-FDTD方法與leapfrog-ADI-FDTD方法相結(jié)合，提出相應的混合算法，給出推導過程和迭代公式。本文算法很容易推廣到其他普通媒質(zhì)或有耗色散媒質(zhì)的電磁計算中，可擴展性強。通過與其它FDTD方法對比，采用算例驗證了本文方法的有效性。

2　CDLT-Leapfrog-ADI-FDTD算法推導

各向同性、非磁化、碰撞等離子體中，麥克斯韋方程組和相關(guān)方程為：

(1)

(2)

(3)

式中，E為電場強度；H為磁場強度；J為極化電流密度；ε0μ0分別為真空中的介電常數(shù)和磁導率；ν為等離子體碰撞頻率；ωp為等離子體角頻率。將(3)式經(jīng)拉氏變換，再反變換回時域可得：

(4)

其中，J0為初始時刻的電流密度，可見處理以后的(4)式中不包含微分項，所以在離散時不必做差分近似，從而提高了精度。下面以Ex為例說明(1)、(2)、(4)式中CDLT-Leapfrog-ADI-FDTD方法的迭代公式。

子時間步t=nΔt到t=(n+1/2)Δt時刻的Maxwell旋度方程中的Ex、Hz和Jx離散的迭代公式為

(5)

(6)

(7)

將式(6)和(7)帶入(5)中可得

(8)

子時間步t=(n+1/2)Δt到t=(n+1)Δt時刻的Maxwell旋度方程離散的迭代公式為

(9)

(10)

(11)

將式(9)、(10)、(11)分別回退一個時間步可得

(12)

(13)

(14)

將式(13)和(14)整理后帶入(12)中，再帶入(8)中可消去Ey，得到Ex的最終迭代式

(15)

類似可得到相應的其他電磁場分量的迭代式。電場和磁場的參數(shù)矩陣均在整時間步上迭代，且為三對角條帶矩陣，可采用追趕法求解。

將(7)帶入(11)中，即可得到x方向電流密度迭代式：

(16)

類似可得到其它電流密度分量得迭代式?？梢?，CDLT-Leapfrog-ADI-FDTD是一種沒有中間子時間步的交替隱式時域有限差分方法，而且電磁場均采用隱式計算，穩(wěn)定性和計算效率將優(yōu)于其他隱式方法。

3　算例驗證

為了驗證本文算法的有效性和性能，分別用ADE-FDTD、SO-FDTD和本文的方法計算了等離子平板的反射系數(shù)和透射系數(shù)。等離子體平板的厚度為1.5cm，碰撞頻率和角頻率分別為ν=20GHz，ωp=2π×28.7Grad/s，計算空間步長Δd為75μm，前兩種方法時間步長Δt=0.125ps，本文方法時間步長為ΔtL，為了方便討論定義CFLN=ΔtL/Δt，這里取CFLN=4。入射電磁波為高斯脈沖，整個計算空間為800個網(wǎng)格，等離子體平板占據(jù)中間200個網(wǎng)格，其余為真空。計算空間邊沿使用采用一階Mur吸收邊界吸收不必要的反射。

圖1給出了四種方法計算的電磁波通過等離子平板的反射系數(shù)和透射系數(shù)振幅，并與相應的解析解進行比較。其中前三種方法因時間步長的限制，計算20000步才達到較好的收斂狀態(tài)，即使這樣，SO-FDTD方法在計算透射系數(shù)時，0到20GHz范圍的值仍存在振蕩，與解析解有較大偏差，其余方法與解析解基本吻合。本文方法因其無條件穩(wěn)定性，所取時間步長為其他FDTD方法的4倍，計算進行6000步即收斂，如圖1所示。為了驗證這一點，本文給出幾種方法入射點電場隨時間的變化規(guī)律和另外兩種方法計算6000步時的透射系數(shù)振幅，分別如圖2和圖3所示。由圖2可知，本文方法收斂速度顯然優(yōu)于其他兩種方法。圖3中的透射系數(shù)振幅的計算結(jié)果反映出兩種一般方法計算6000步時，在0到20GHz范圍內(nèi)均嚴重偏離解析解，而本文方法則與解析解吻合。

(a)反射系數(shù)振幅　

(b)透射系數(shù)振幅圖1　電磁波通過等離子平板的反射系數(shù)和透射系數(shù)振幅隨入射波頻率的變化　

圖2　三種FDTD方法入射波隨時間的變化　

圖3　三種FDTD方法計算6000步的透射系數(shù)振幅與解析解比較　

為了分析時間步長對于計算結(jié)果的影響，計算了系數(shù)CFLN取不同值時的等離子平板的反射系數(shù)和透射系數(shù)振幅，如圖4所示?？芍?，隨著CFLN的增大，即時間步長增大，反射系數(shù)振幅在頻率較高處出現(xiàn)了微小的向較低頻率方向偏移的趨勢，但總體吻合較好，這是因為時間步長增大，頻率越高數(shù)值色散也就越大，可根據(jù)具體問題精度的需要選擇合適的時間步長。透射系數(shù)振幅吻合較好，可見，時間步長的增大對于透射系數(shù)的影響較小。因此，本文方法是一種精度和計算效率均較高的等離子體計算方法。

4　結(jié)論

(a)反射系數(shù)振幅　

(b) 透射系數(shù)振幅圖4　系數(shù)CFLN取不同值時的反射系數(shù)和透射系數(shù)振幅　

本文首次采用CDLT方法將Leapfrog-ADI-FDTD方法推廣到等離子體電磁特性的計算中，該方法不僅具有無條件穩(wěn)定的特性，而且與傳統(tǒng)FDTD方法一樣，可在整時間步和空間步交替計算電場和磁場，提高了計算效率。本文提出的算法不論在精度上還是在效率上都高于普通的ADE-FDTD方法和SO-FDTD方法，并且易于推廣到普通媒質(zhì)和有耗色散媒質(zhì)的計算中，具有良好的普適性。

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(責任編輯：王謙)

CDLT-Leapfrog-ADI-FDTDMethodinPlasma

CHENGDan1，2，YINHong-cheng3，WEIxiao3，ZHENGHong-xing2

(1.InformationEngineeringSchool，CommunicationUniversityofChina，Beijing100024，China； 2.InstituteofAntennaandMicrowaveTechniques，TianjinUniversityofTechnologyandEducation，Tianjin300222，China； 3.ScienceandTechnologyonElectromagneticScatteringLaboratory，Beijing100854，China)

Thenontime-step-splittingleapfrogalternating-direction-implicitfinite-difference-time-domain(Leapfrog-ADI-FDTD)methodisextendedtoplasmabasedontheCDLT(CurrentDensityLaplaceTransform)method.TheLeapfrog-ADI-FDTDformulationsforisotropicplasmaarederived.Inordertodemonstratetheeffectivenessofthisapproach，thereflectionandtransmissionratioofplasmaplatearecalculated.ThenumericalresultsshowthattheproposedunconditionallystablemethodimprovesaccuracyandefficiencyovertheconventionalFDTDmethods.

plasma；leapfrog；Finite-DifferenceTime-DomainMethod；ADI

2016-03-18

國家自然科學基金面上項目(61371043)；天津應用基礎與前沿技術(shù)研究計劃青年項目(14JCQNJC01100)；天津市優(yōu)秀青年教師資助計劃項目(RC14-39)

成丹(1981-)，女(漢族)，黑龍江饒河人，中國傳媒大學博士研究生.E-mail：chengdan_tute@126.com

TM154.3

A

1673-4793(2016)03-0033-05