借助Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)快速積分

魏正元,鄭小洋,蘇　翃

(重慶理工大學 理學院,重慶　400054)

?

借助Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)快速積分

魏正元,鄭小洋,蘇翃

(重慶理工大學 理學院,重慶400054)

基于Gamma函數(shù)、Beta函數(shù)及其恒等式，對大學數(shù)學教學內(nèi)容中的Poisson積分公式、Wallis積分公式、正態(tài)隨機變量的高階矩等問題給出了另一種快捷解答。

Gamma函數(shù);Beta函數(shù);Wallis積分公式; 大學數(shù)學

1　預(yù)備知識

開展對Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)等特殊函數(shù)的應(yīng)用研究一直深受國內(nèi)外學者的重視，如：文獻[1]研究了Gamma函數(shù)的近似解；文獻[2]研究了Beta隨機變量函數(shù)的協(xié)方差矩陣的上下界。雖然高等數(shù)學課程教學在廣義積分部分講授了Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)的定義和基本性質(zhì)[3],但在隨后的課程教學中基本沒有涉及如何應(yīng)用Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)解題的案例。事實上,對一些廣義定積分問題,借助該2類奇異函數(shù)的等價表達式會使求解過程快速且簡便。

1.1Gamma函數(shù)[3-4]

由換元積分法可得Gamma函數(shù)下列等價形式：

(1)

另外,Gamma函數(shù)以下幾個等量關(guān)系式也常用到：

(2)

1.2 Beta 函數(shù)

由換元積分法可得Beta函數(shù)有以下幾種等價形式[3-4]：

(3)

1.3Beta函數(shù)與Gamma函數(shù)的關(guān)系

Beta函數(shù)與Gamma函數(shù)的關(guān)系為[3-4]

(4)

2　Gamma 函數(shù)和 Beta 函數(shù)的應(yīng)用

例2Wallis 積分公式[4]

(5)

解析教材對 Wallis 積分公式(5)的證明[4-5]均基于分部積分法和遞推數(shù)列進行。其實,等式(5)恰是Beta函數(shù),因而最簡便的證明方法是借助 Beta 函數(shù)等價式(2)、Gamma 函數(shù)的等價式(3)及其關(guān)系式(4) 直接給出解答。

(6)

由式(6)可得諸多結(jié)果：

例3求正態(tài)分布X～N(μ,σ2) 的k階中心距[6-7]。

解析以下仍借助Gamma函數(shù)的相關(guān)等式進行求解：

根據(jù)Gamma函數(shù)的關(guān)系式(1)(2) 可得

由以上典型例題可見：應(yīng)用Gamma、Beta 函數(shù)的相關(guān)等式進行積分運算非常方便、快捷,尤其是對概率論課程中一些問題的求解。例如：在求正態(tài)分布、Gamma 分布、指數(shù)分布、卡方分布、t分布、Beta 分布等隨機變量的n階矩時,Gamma 函數(shù)和Beta函數(shù)具有相當明顯的優(yōu)勢,教師在高等數(shù)學教學過程應(yīng)加強Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)兩類函數(shù)的教學。

[1]LU D,SONG L,MA C.Some new asymptotic approximations of the gamma function based on Nemes’ formula,Ramanujan’s formula and Burnside’s formula[J].Applied Mathematics and Computation,2015,253:1-7.

[2]WEI Z Y,ZHANG X S.Covariance matrix inequalities for functions of Beta random variables[J].Statistics and Probability Letters,2015,79(7):873-879.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].6版.北京:高等教育出版社,2009：147.

[4]張筑生.數(shù)學分析新講[M].北京:北京大學出版社,1990：252.

[5]李永樂,王式安,季文鐸.數(shù)學歷年真題權(quán)威解析(試卷版) [M].北京:國家行政學院出版社,2014.

[6]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M].4版.北京:高等教育出版社,2013.

[7]李賢平.概率論基礎(chǔ) [M].2版.北京:高等教育出版社,1997.

(責任編輯劉舸)

IntegralsBasedonGammaandBetaFunction

WEIZheng-yuan,ZHENGXiao-yang,SUHong

(SchoolofSciences,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)

WepresentedanalternativemethodtosolvePoissonintegralformula,Wallisintegralformulaandmomentofnormaldistributioninadvancedmathematicstextbookbytheuseofgammafunction,betafunctionandtheirrelations.

Gammafunction;Betafunction;Wallisintegralformula;advancedmathematics

2015-10-10

重慶理工大學研究生教育教學改革研究項目(yjg2015208)；重慶理工大學教研項目(2013YB33)；重慶理工大學高數(shù)課程專項經(jīng)費項目(0101130792)

魏正元(1975—)，男，湖北襄陽人，博士，副教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計、金融統(tǒng)計、金融數(shù)學研究，E-mail:zyweimath@163.com。

format：WEIZheng-yuan,ZHENGXiao-yang,SUHong.IntegralsBasedonGammaandBetaFunction[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology(NaturalScience)，2016(9):129-132.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.021

G642.4

A

1674-8425(2016)09-0129-04

引用格式：魏正元,鄭小洋,蘇翃.借助Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)快速積分[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(9):129-132.