藥物作用量-效關(guān)系的Thiele型連分式插值法分析

朱　濤，趙前進(jìn)，李朝品

(1.安徽理工大學(xué)　醫(yī)學(xué)院，安徽　淮南　232001;2.安徽理工大學(xué)　理學(xué)院,安徽　淮南　232001;3.皖南醫(yī)學(xué)院　醫(yī)學(xué)寄生蟲學(xué)教研室，安徽　蕪湖　241002)

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·基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)·

藥物作用量-效關(guān)系的Thiele型連分式插值法分析

朱濤1，趙前進(jìn)2，李朝品3

(1.安徽理工大學(xué)醫(yī)學(xué)院，安徽淮南232001;2.安徽理工大學(xué)理學(xué)院,安徽淮南232001;3.皖南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)寄生蟲學(xué)教研室，安徽蕪湖241002)

目的：提出Thiele型連分式插值法，研究并建立新的量-效關(guān)系分析方法。方法：以原卟啉鈉(NAPP)抑制人肝癌細(xì)胞株SMMC-7721細(xì)胞增殖的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，基于Thiele型連分式插值，求出量-效關(guān)系表達(dá)式并繪制量-效曲線圖；預(yù)測最大抑制率，計(jì)算半抑制濃度(half inhibitory concentration，IC50)和半效濃度(half effective concentration，EC50)；求導(dǎo)并繪制導(dǎo)數(shù)圖，研究抑制率隨藥物濃度變化的快慢程度。結(jié)果：通過Thiele型連分式插值法，得出NAPP作用于SMMC-7721細(xì)胞24、48、72 h的量-效關(guān)系表達(dá)式，預(yù)測不同時(shí)間下最大抑制率分別為43.75%，55.97%，64.93%；EC50分別為1.04 mg/L、0.36 mg/L、0.30 mg/L；作用48 h、72 h后IC50分別為 16.46 mg/L、8.26 mg/L。導(dǎo)數(shù)圖表明NAPP濃度在10 mg/L內(nèi)，抑制率隨濃度變化速度快，藥效不穩(wěn)定；大于10 mg/L后，變化不明顯，藥效穩(wěn)定，出現(xiàn)平臺(tái)期。結(jié)論：Thiele型連分式插值法簡單、實(shí)用，逼近效果好，可作為研究藥物量-效關(guān)系的一種新方法。

原卟啉鈉；SMM-7721細(xì)胞；量-效關(guān)系；導(dǎo)數(shù)；有理逼近；連分式插值

藥物作用量-效關(guān)系是評價(jià)藥物藥效的重要參考指標(biāo)[1]，而這種量-效關(guān)系多表現(xiàn)為非線性特征，研究者常用計(jì)算軟件中的數(shù)學(xué)模型對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性曲線擬合，這些模型利用諸如最小二乘法等原理[2]的逼近效果，得到擬合曲線方程，以此幫助研究量-效關(guān)系。在實(shí)際研究中，有些非線性回歸模型過于復(fù)雜,利用它求解方程困難，如常用的logistics數(shù)學(xué)模型等[3]；還有些模型因參數(shù)難以估計(jì)，不能化為線性回歸模型進(jìn)行簡便處理。因此，本研究基于Thiele型連分式插值[4-6]建立簡單的有理函數(shù)分析方法，提出一種運(yùn)算便捷、逼近效果[7]好的新方法來研究量-效關(guān)系的非線性特征?，F(xiàn)將研究結(jié)果報(bào)道如下。

1　資料與方法

1.1資料依據(jù)文獻(xiàn)[8]從豬血中提取原卟啉鈉(protoporphyrin disodium,NAPP)，采用MTT比色法，依據(jù)不同濃度NAPP在24、48、72 h抑制人肝癌細(xì)胞株SMMC-7721細(xì)胞增殖的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果[8]，見表1。

表1不同濃度NAPP作用不同時(shí)間后對SMMC-7721細(xì)胞增殖抑制率的影響

NAPP濃度/(mg/L)作用24h抑制率/%作用48h抑制率/%作用72h抑制率/%0.018.4111.0218.990.112.3019.0625.84121.6834.5839.391034.1447.6151.1510042.2354.6962.10

1.2方法

1.2.1Thiele型連分式插值法設(shè)點(diǎn)集X={x0,x1,……,xn}?[a,b]，函數(shù)f(x) 在[a,b]上有定義。X上的Thiele型連分式插值為：

φ[xp]=f(xp),p=0,1,……n,

設(shè)定x軸為藥物濃度，y軸為抑制率，利用Thiele型連分式插值，求得有理插值函數(shù)作為量-效關(guān)系表達(dá)式。當(dāng)n變大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致函數(shù)Rn(x)振蕩加劇，同時(shí)使舍入誤差的擴(kuò)散加劇[9-10]。另外，當(dāng)n選擇為奇數(shù)時(shí)，有理插值函數(shù)的分子分母多項(xiàng)式次數(shù)相同，才可能有水平漸近線，符合藥物作用量-效關(guān)系曲線應(yīng)有的特征。因此，本研究中選擇n=5。

1.2.2其他數(shù)據(jù)處理方法運(yùn)用Maple17.0，運(yùn)行Thiele型連分式插值命令語句，求量-效關(guān)系有理函數(shù)表達(dá)式；依據(jù)量-效關(guān)系有理函數(shù)表達(dá)式，運(yùn)用Matlab8.0繪制量-效關(guān)系曲線圖、導(dǎo)數(shù)圖；使用Maple17.0計(jì)算表達(dá)式，求解量-效關(guān)系相關(guān)參數(shù)，如最大極限值、半抑制濃度(IC50)和半效濃度(EC50)。

2　結(jié)果

2.1NAPP抑制SMMC-7721細(xì)胞增殖的量-效關(guān)系表達(dá)式①作用24h后，依據(jù)不同的藥物濃度及對應(yīng)的抑制率，得到五個(gè)插值點(diǎn)，分別為(0.01，8.41%)、(0.1，12.30%)、(1，21.68%)、(10，34.14%)、(100，42.23%)，得到量-效關(guān)系表達(dá)式：

②作用48 h后，同法得到五個(gè)插值點(diǎn)，分別為(0.01，11.02%)、(0.1，19.06%)、(1，34.58%)、(10，47.61%)、(100，54.69%)，得到量-效關(guān)系表達(dá)式：

③作用72h后，同法得到五個(gè)插值點(diǎn)，分別為(0.01，18.99%)、(0.1，25.84%)、(1，39.39%)、(10，51.15%)、(100，62.10%)，得到量-效關(guān)系表達(dá)式：

2.2量-效關(guān)系曲線圖根據(jù)24、48、72h量-效關(guān)系表達(dá)式，繪制NAPP抑制SMMC-7721細(xì)胞增殖的量-效曲線，如圖1所示。

圖1不同時(shí)間NAPP抑制SMMC-7721細(xì)胞增殖量-效曲線

2.3相關(guān)參數(shù)計(jì)算①最大抑制率(ECmax):令x→+∞,對上述2.1中的各表達(dá)式取極限，計(jì)算出NAPP作用SMMC-7721細(xì)胞24、48、72h后，ECmax分別為43.75%，55.97%，64.93%，圖1中可見。②IC50與EC50：令抑制率y=50%，計(jì)算NAPP作用SMMC-7721細(xì)胞48、72h后的表達(dá)式，得出IC50分別為16.46mg/L、8.26mg/L。分別與SPSS、曲線回歸法的計(jì)算結(jié)果比較，見表2。令抑制率y=50%×ECmax，計(jì)算NAPP作用SMMC-7721細(xì)胞各時(shí)段的表達(dá)式，得出EC50分別為1.04mg/L、0.36mg/L、0.30mg/L。

表2三種方法對半數(shù)抑制濃度計(jì)算的結(jié)果

mg/L

2.5導(dǎo)數(shù)圖根據(jù)各量-效關(guān)系表達(dá)式，求導(dǎo)得出SMMC-7721細(xì)胞增殖抑制率對NAPP濃度的導(dǎo)數(shù)，即變化率，繪制二者之間的導(dǎo)數(shù)圖，如圖2所示。

a.Effect of 24 h;b.Effect of 48 h;c.Effect of 72 h

圖2NAPP濃度-抑制率變化率的導(dǎo)數(shù)圖

3　討論

3.1量-效曲線表達(dá)式簡單，逼近程度高，預(yù)測結(jié)果可信度高本研究采用的Thiele型連分式插值法是一種簡單的有理函數(shù)方法，利用其分析藥物作用量-效關(guān)系為非線性關(guān)系，可進(jìn)行理論分析和預(yù)測分析，如在對比研究IC50結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)NAPP作用SMMC-7721細(xì)胞24 h后，預(yù)測抑制率最大值僅43.75%，未能達(dá)到IC50，與許金鵬等研究結(jié)果不同，見表2。而基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的常用分析法在進(jìn)行Probit分析時(shí)，使用概率或Logit數(shù)學(xué)模型，不能準(zhǔn)確分析出各時(shí)段的最大效應(yīng)值，使得在該模型分析下，最大效應(yīng)都是100%，此時(shí)IC50、EC50結(jié)果相等，可見其分析偏差大。另外，Probit分析的結(jié)果是估計(jì)值，逼近效果一般。所以，在預(yù)測各時(shí)段NAPP最大抑制率的前提下，本方法可準(zhǔn)確分析量-效關(guān)系，逼近實(shí)驗(yàn)結(jié)果程度高，計(jì)算IC50、EC50結(jié)果更真實(shí)。

3.2量-效關(guān)系曲線圖與導(dǎo)數(shù)圖從圖1中的量-效曲線圖可見，不同濃度NAPP作用不同時(shí)間，其抑制率與濃度呈正比關(guān)系，量-效曲線呈先陡后平形態(tài)，在頂部均呈水平狀態(tài)，此時(shí)濃度增加，但抑制效果不再有顯著變化，符合量-效曲線特征[11]。另外，圖1中的量-效曲線準(zhǔn)確通過各實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，保證了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原始特征，如實(shí)反映每個(gè)點(diǎn)上的曲線特征，它模擬了藥物濃度與抑制率量-效關(guān)系變化的全過程，反映NAPP抑制肝癌細(xì)胞增殖的量-效關(guān)系。

導(dǎo)數(shù)圖可直觀的反映藥物濃度與抑制率之間的變化率，導(dǎo)數(shù)曲線越接近零，表示藥物濃度與抑制率量-效關(guān)系變化越穩(wěn)定。由圖2可見，作用不同時(shí)間后，NAPP濃度在10 mg/L內(nèi)，抑制率變化幅度大，藥效變化顯著，不穩(wěn)定。10 mg/L之后，變化率趨近于0，幾乎與橫坐標(biāo)重疊，表明藥效穩(wěn)定，藥物濃度增加，抑制效果變化不顯著。因此，導(dǎo)數(shù)圖為藥物濃度的選擇量提供可靠的參考依據(jù)。

3.3存在的問題在使用連分式插值法作逼近時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)Rn(x)在插值區(qū)間內(nèi)有極點(diǎn)[12]的情況，此時(shí)預(yù)測結(jié)果可能會(huì)出現(xiàn)較大誤差，這種情況下本方法將不再適用。因此，極點(diǎn)問題的處理也是今后本研究需要繼續(xù)深入討論的問題。

4　結(jié)論

在藥物研究領(lǐng)域中，目前常用概率單位法[13]、線性回歸法[14]、曲線擬合等方法來研究非線性量-效關(guān)系，但這些方法使用較為復(fù)雜，且條件限制較多，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在線性與非線性的轉(zhuǎn)換過程中，不能保存原始數(shù)據(jù)的變化特征，丟失各數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線特征，同時(shí)，使用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法處理數(shù)據(jù)量較少的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，會(huì)導(dǎo)致估算誤差較大。因此，采用Thiele型連分式插值法分析藥物作用量-效關(guān)系，不僅逼近程度高，而且更是一種運(yùn)算簡單、效果顯著且易于掌握的新方法。

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Estimation of the drug dose-effect relationship by thiele-type continued fraction interpolation

ZHU Tao,ZHAO Qianjin,LI Chaopin

School of Medicine,Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001,China

Objective：To design a thiele-type continued fraction interpolation for estimation of the dose-effect relationship of drugs.Methods:The experimental data on the inhibitive effect of protoporphyrin disodium(NAPP) on human hepatoma carcinoma strain of SMM-7721 cells in vitro were collected and thiele-type continued fraction interpolation was used to prepare the equation of dose-effect and plot the curves,and to estimate the maximum value of inhibition rate.Half inhibitory concentration(IC50)and half effective concentration(EC50) were computed,and the derivative was driven and the derivative graph was developed for examining changes of inhibition rate with the level of NAPP.Results:Thiele-type continued-fraction interpolation obtained the equation of dose-effect relationship pertaining to the inhibitive effect of NAPP on SMM-7721 cells at 24,48 and 72 h,and prediction of the maximum value of inhibition rate at the corresponding time point by 43.75%,55.97% and 64.93%,respectively.The EC50was 1.04 mg/L,0.36 mg/L and 0.30 mg/L;and IC50at 24-hour and 48-hour,16.46 mg/L and 8.26 mg/L.The derivative graph indicated that the inhibition rate changed with NAPP concentration at 10 mg/mL,yet the drug effect appeared unstable.The variation was not significant,and the drug effect remained stable and in plateau derivative as the NAPP concentration excelling 10 mg/L.Conclusion： Thiele-type continued-fraction interpolation is simple,practical and effective,with a good approximation effect in comparison with other algorithms,and can be used as a new method for the study of dose-effect relationship of drugs.

protoporphyrin disodium;SMM-7721 cell;dose-effect relationship;derivative;rational approximation;continued fraction interpolation

1002-0217(2016)05-0414-04

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60973050);安徽省高校省級自然科學(xué)研究基金項(xiàng)目(KJ2008A099)

2016-05-04

朱濤(1979-)，男，講師，碩士，(電話)13956455583，(電子信箱)kwk@aust.edu.cn；

【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

10.3969/j.issn.1002-0217.2016.05.002

李朝品，男，教授，(電子信箱)cpli001@126.com，通信作者.