數(shù)學(xué)思考：不可或缺的學(xué)習(xí)能力

蔣波成

【摘 要】 數(shù)學(xué)思考是一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)思考的過(guò)程與方法，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的根本保證，是學(xué)生不可或缺的學(xué)習(xí)能力。教師通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生在新舊知識(shí)的銜接處主動(dòng)思考，啟發(fā)學(xué)生在新知學(xué)習(xí)的關(guān)鍵處獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的疑問(wèn)處深層思考，促進(jìn)學(xué)生在知識(shí)系統(tǒng)的交匯處全面思考，進(jìn)而真正形成分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】 主動(dòng) 獨(dú)立 深層 全面

數(shù)學(xué)思考是一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)思考的過(guò)程與方法，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的根本保證，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題能力的有效措施，是學(xué)生不可或缺的學(xué)習(xí)能力。那么如何引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思考，是值得教師深思的問(wèn)題。

一、 理清新舊知識(shí)的銜接處，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)思考

主動(dòng)思考是學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題時(shí)能積極探求的心理取向。讓學(xué)生主動(dòng)投入到數(shù)學(xué)思考，這要求教師精心設(shè)計(jì)，營(yíng)造寬松的思考氛圍，引領(lǐng)學(xué)生放松地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

（一） 準(zhǔn)確理清新舊知識(shí)的銜接處

找準(zhǔn)新舊知識(shí)的銜接處，有助于回顧舊知，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。從舊知出發(fā)，也就是從學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，理清新知與舊知的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)思考、探索新知。準(zhǔn)確理清新舊知識(shí)的銜接處，要求教師課前要充分研讀教材，圍繞新舊知識(shí)的銜接處設(shè)計(jì)問(wèn)題。例如，教學(xué)“小數(shù)乘整數(shù)”一課時(shí)，課伊始我從整數(shù)乘法入手，設(shè)計(jì)整數(shù)乘整數(shù)的情境，讓學(xué)生獨(dú)立解決并說(shuō)一說(shuō)整數(shù)乘整數(shù)的方法，說(shuō)完思路后我立即提問(wèn)：如果將第一個(gè)乘數(shù)加上小數(shù)點(diǎn)改成一位小數(shù)怎么計(jì)算呢？這時(shí)學(xué)生紛紛舉手都要嘗試，有的學(xué)生說(shuō)將剛才的積縮小10倍，有的學(xué)生說(shuō)先把小數(shù)點(diǎn)放在一邊，最后再在積中點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。雖然有的學(xué)生說(shuō)的不夠準(zhǔn)確、不夠清晰，但每位學(xué)生都在積極主動(dòng)的思考，結(jié)合整數(shù)乘法和小數(shù)乘法的銜接處，大膽、主動(dòng)思考，提高了思考的效率。

（二） 從銜接處到主動(dòng)思考的興趣引領(lǐng)

德國(guó)著名詩(shī)人布萊希特說(shuō)過(guò)：思考是人類最大的樂趣。孩子的天性是玩，只有符合兒童興趣的活動(dòng)，孩子才從心理更愿意參加，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更是如此。興趣可以推動(dòng)兒童去探索新的知識(shí)，發(fā)展新的能力，它帶有感性色彩，是啟迪兒童心霏的鑰匙。設(shè)計(jì)學(xué)生感興趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，特別對(duì)于新舊知識(shí)銜接處的情境創(chuàng)設(shè)，是引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)思考的重要?jiǎng)恿Α男屡f知識(shí)的銜接處設(shè)計(jì)兒童喜聞樂見的情境，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，當(dāng)這種好奇心一旦發(fā)展為思考興趣，將會(huì)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的求知欲望，進(jìn)而主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中來(lái)。例如教學(xué)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”時(shí)，我創(chuàng)設(shè)分水果的故事：小猴兄弟倆在田野上玩耍，猴媽媽回來(lái)了，買了10只桃子、4個(gè)蘋果和一個(gè)西瓜，現(xiàn)在猴媽媽要將所有水果平均分給兄弟倆該怎么分呢？對(duì)于桃子和蘋果的分法，孩子們都會(huì)分，這屬于舊知的范疇。而對(duì)西瓜的分法，學(xué)生們眾說(shuō)紛紜，有效地激發(fā)起學(xué)生自主思考的興趣，為新知的學(xué)習(xí)打下良好的思考基礎(chǔ)。

二、 質(zhì)疑新知學(xué)習(xí)的關(guān)鍵處，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考

獨(dú)立思考是擁有自己的數(shù)學(xué)思維方式，在面對(duì)某個(gè)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)自己的思考成果應(yīng)對(duì)之，而不被別人的言論所左右。獨(dú)立思考是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要因素之一。小學(xué)生由于年齡的特點(diǎn)，各種人生觀都還不成熟，自控能力還不成熟，獨(dú)立思考能力有所欠缺，需要教師在教學(xué)中加以培養(yǎng)。眾所周知影響課堂教學(xué)效果的重要原因是學(xué)生不會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)、不會(huì)獨(dú)立思考。因此，在教學(xué)中教師應(yīng)努力創(chuàng)設(shè)獨(dú)立思考的空間，給學(xué)生留有獨(dú)立思考的時(shí)間，去充分把握新知學(xué)習(xí)的關(guān)鍵地方，在新知學(xué)習(xí)的關(guān)鍵處啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，大膽質(zhì)疑，勇于發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，敢于分析和解決問(wèn)題。有助于學(xué)生理解和掌握新知，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

例如，在教學(xué)“用替換的策略解決問(wèn)題”一課時(shí)，這部分內(nèi)容的安排主要分為兩個(gè)部分，一是在替換過(guò)程中總量不變，叫等量替換；二是在替換過(guò)程中總量發(fā)生變化，叫不等量替換。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，第一部分等量替換結(jié)合圖形分析容易理解，而第二部分學(xué)生學(xué)習(xí)上有困難，有時(shí)發(fā)現(xiàn)不了總量的變化，有時(shí)與第一部分等量替換混淆，分不清怎么樣靈活運(yùn)用替換的策略解決問(wèn)題，這正是新知學(xué)習(xí)的關(guān)鍵處。我在第一部分教學(xué)之后，將重點(diǎn)放在第二部分，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，提問(wèn)：將一個(gè)大盒替換成一個(gè)小盒，什么變了，什么不變？啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，教師加以巡視，對(duì)正確的想法予以肯定。經(jīng)過(guò)一番獨(dú)立思考，有的學(xué)生說(shuō)大、小盒的總盒數(shù)不變還是6個(gè)；有的學(xué)生說(shuō)因?yàn)槊總€(gè)大盒比每個(gè)小盒多裝8個(gè)，所以將大盒替換成小盒時(shí)球的總個(gè)數(shù)發(fā)生了變化；有的學(xué)生說(shuō)這個(gè)題目與例1不一樣。這些回答正是學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考后的思維碰撞，學(xué)生們抓住了本節(jié)課的關(guān)鍵處，理解了本節(jié)課的難點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)替換之后總量的變化，這是難能可貴的。于是接著提問(wèn)：那么例1和例2為什么會(huì)不一樣，你發(fā)現(xiàn)了什么，把你的想法和同桌說(shuō)一說(shuō)。一片寂靜之后，學(xué)生們開始交流，紛紛表達(dá)自己的想法，有的同學(xué)從條件入手找出不同的地方，有的同學(xué)從問(wèn)題入手找出相同的地方，學(xué)生們說(shuō)的頭頭是到，學(xué)生通過(guò)自己獨(dú)立思考獲得的知識(shí)才是真正的知識(shí)，記憶猶新，并且體驗(yàn)到獨(dú)立思考帶來(lái)的成功喜悅，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。

三、 猜想數(shù)學(xué)知識(shí)的疑問(wèn)處，鼓勵(lì)學(xué)生深層思考

深層思考是對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題從現(xiàn)象到本質(zhì)地思考，搞清知識(shí)的來(lái)龍去脈，要知其然還知其所以然。在數(shù)學(xué)知識(shí)的疑問(wèn)處引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層思考，對(duì)中高年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)挑戰(zhàn)。合理猜想是深層思考的重要方法，只有在學(xué)習(xí)的疑問(wèn)處運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行大膽猜想，做出合理的判斷，才能獲得更大的收獲。

《數(shù)學(xué)論》指出：猜想是推動(dòng)數(shù)學(xué)理論發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力。數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展中最活躍、最主動(dòng)、最積極的因素之一，是人類理性中最富有創(chuàng)造性的部分。數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，數(shù)學(xué)家在嘗試解決數(shù)學(xué)猜想過(guò)程中創(chuàng)造出大量有效的數(shù)學(xué)思想方法。這些數(shù)學(xué)方法已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支并在數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮著重要作用。由此可見猜想是重要的學(xué)習(xí)方法，是深層次思考的重要途徑。例如，在教學(xué)“圓柱的表面積”一課時(shí)，我是這樣設(shè)計(jì)猜想環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生深層思考的。首先從已學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方體和正方體的表面積計(jì)算入手，引導(dǎo)學(xué)生回憶長(zhǎng)方體和正方體的表面積計(jì)算方法，說(shuō)一說(shuō)什么是長(zhǎng)、正方體的表面積，由此引出圓柱的表面積怎么計(jì)算的。學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考，多數(shù)學(xué)生早早舉起小手，搶著要回答，就是用圓柱的側(cè)面積加兩個(gè)底面積，只要先求出側(cè)面積，再求出底面積，最后用側(cè)面積加兩個(gè)底面積。學(xué)生似乎都理解了這種方法，接著我提問(wèn)：有沒有更簡(jiǎn)便的方法？學(xué)生開始在本子上畫圖、小組交流，在絞盡腦汁的思考，時(shí)間一分一秒地過(guò)去，好像沒什么進(jìn)展。此時(shí)我鼓勵(lì)能否這樣猜想：能不能將圓柱的展開圖（3個(gè)分別是長(zhǎng)方形和兩個(gè)圓）合并成一個(gè)圖形。學(xué)生繼續(xù)思考，心想這怎么可能，這里面有兩個(gè)圓怎么能和一個(gè)長(zhǎng)方形合并成一個(gè)規(guī)則圖形。怎么辦呢，這正是數(shù)學(xué)知識(shí)的疑問(wèn)處。正在大多數(shù)學(xué)生一籌莫展之時(shí)，一個(gè)男生突然站起來(lái)說(shuō)可以將它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，可以將兩個(gè)圓通過(guò)剪切拼成兩個(gè)長(zhǎng)方形，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)加起來(lái)等于原來(lái)側(cè)面展開所得到的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，將這3個(gè)長(zhǎng)方形可以拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)，寬等于高加半徑，所以可以用底面周長(zhǎng)乘高與半徑的和來(lái)求出表面積。聽完這個(gè)同學(xué)的回答，所有同學(xué)表現(xiàn)得很驚訝、很佩服。這就是大膽猜想的力量，是進(jìn)行深層思考的結(jié)果，學(xué)生在深層思考、交流中獲得了求圓柱表面積的第二種方法，這是刻骨銘心的學(xué)習(xí)思考過(guò)程，對(duì)孩子的終身學(xué)習(xí)有著重要里程碑意義。

四、 反思知識(shí)系統(tǒng)的交匯處，促進(jìn)學(xué)生全面思考

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)自主思考的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的思考能力?！?011版新課標(biāo)》指出：通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該在抽象思維、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、合情推理以及初步的演繹推理等方面獲得發(fā)展。全面思考實(shí)際上就是對(duì)已有知識(shí)、掌握方法進(jìn)行反思、總結(jié)，反思能力的強(qiáng)弱直接影響著學(xué)生學(xué)習(xí)的成效，引導(dǎo)學(xué)生抓住反思的切入點(diǎn)，特別是在知識(shí)系統(tǒng)的交匯處全面思考，反思知識(shí)系統(tǒng)的聯(lián)系與構(gòu)建，來(lái)對(duì)知識(shí)系統(tǒng)形成一個(gè)全面、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

例如在教學(xué)“平面圖形的面積復(fù)習(xí)”一課時(shí)，為了讓學(xué)生能夠全面思考平面圖形的面積存在的聯(lián)系，我是這樣設(shè)計(jì)的。我首先提問(wèn)學(xué)生學(xué)過(guò)哪些平面圖形？學(xué)生一一回答后，我追問(wèn)學(xué)生能簡(jiǎn)單說(shuō)出各種圖形特征與相關(guān)計(jì)算嗎？學(xué)生思考后小組互相交流，有的學(xué)生會(huì)說(shuō)這些圖形的特征；有的學(xué)生會(huì)說(shuō)這些圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算。這些問(wèn)題只是一個(gè)鋪墊，關(guān)鍵在后面的環(huán)節(jié)。我接著提問(wèn)學(xué)生這6個(gè)平面圖形的面積計(jì)算公式分別是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的呢？它們之間有聯(lián)系嗎？我要求學(xué)生分小組交流，說(shuō)一說(shuō)推導(dǎo)過(guò)程。此時(shí)知識(shí)系統(tǒng)的交匯處已經(jīng)出現(xiàn)，我繼續(xù)提問(wèn)：它們的聯(lián)系在哪里？在小學(xué)階段，我們?yōu)槭裁词紫葘W(xué)習(xí)的是長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式？這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)讓學(xué)生摸不著頭腦，小組同學(xué)在交流，我也參與其中，很多同學(xué)從它們的推導(dǎo)方法入手來(lái)分析為什么先學(xué)的是長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。有的學(xué)生通過(guò)畫圖說(shuō)正方形的面積與長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)方法是一樣的；有的學(xué)生說(shuō)將平行四邊形通過(guò)剪、移，可以拼成長(zhǎng)方形；有的學(xué)生說(shuō)三角形、梯形的面積公式是通過(guò)平行四邊形面積公式推導(dǎo)出來(lái)的。聽了這些學(xué)生回答，所有學(xué)生都能理解為什么先學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算。此時(shí)我肯定地說(shuō)：“同學(xué)們真是分析高手！通過(guò)自己的全面思考得出這六種平面圖形之間是有著緊密聯(lián)系的。你能畫一張圖，表示出各種圖形之間的推理關(guān)系嗎？”學(xué)生通過(guò)畫推理圖進(jìn)一步反思、理解平面圖形面積之間的聯(lián)系，了解了知識(shí)系統(tǒng)的編排原因，形成了平面圖形面積計(jì)算的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而獲取了有價(jià)值的思考體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了真正意義上的學(xué)習(xí)。

實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)思考是學(xué)生不可或缺的學(xué)習(xí)能力。讓學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思考，有助于理解知識(shí)系統(tǒng)之間的因果聯(lián)系。教學(xué)中教師引領(lǐng)學(xué)生在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，結(jié)合數(shù)學(xué)思考的思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)思考的方法，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)地理解運(yùn)用，這樣能更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的跳躍，激發(fā)學(xué)生敢想、敢說(shuō)、敢問(wèn)的熱情和敢于發(fā)表自己獨(dú)特見解的勇氣，進(jìn)而真正形成分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。