芻議高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧

孫瑜格

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的立體幾何模塊，是一個很重要的模塊，它考驗著學(xué)生的空間想象能力與邏輯論證能力的結(jié)合，也是高考中必出現(xiàn)的一類題目。立體幾何的解題技巧有好幾種方式，都需要我們在解題前先掌握好立體幾何解題的基本原理，只有掌握了原理，才能夠自由的運(yùn)用和轉(zhuǎn)化，面對更復(fù)雜的題目都能熟練利用原理和解題技巧來解決。

關(guān)鍵詞：立體幾何；解題技巧

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-171-02

想要學(xué)好高中數(shù)學(xué)的立體幾何，關(guān)鍵在于要有比較好的空間想象能力，能夠建立起立體模型的概念，能夠?qū)⒘Ⅲw轉(zhuǎn)化為平面，運(yùn)用基礎(chǔ)的平面原理來解題，立體幾何在高中數(shù)學(xué)來說是一個非常重要的板塊，高考中必出一道答題，所以在高中數(shù)學(xué)中學(xué)好立體幾何還是很重要的。

一、解題技巧

在立體幾何的解題中，蘊(yùn)含著一些比較潛層的技巧，這些技巧在平常的課堂中老師教授的較少，但是在實際解題的過程中卻會大量運(yùn)用。

1、巧設(shè)輔助

在立體幾何題目中，有許多同學(xué)對于題目的理解僅限于題目中給出的圖形這樣是不夠的，題目會有一些隱藏著的解題步驟，需要我們在思考論證中找出來，其中輔助線就是一種。

構(gòu)造輔助線是立體結(jié)合中比較常用的方法，有一些題目在構(gòu)造了輔助線后，使題目更清晰，更有條理性。例如下面這題。

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，

（Ⅰ）證明：AC//平面PMD；

（Ⅱ）求直線BD與平面PCD所成的角的大??；

（Ⅲ）求平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小。

（Ⅰ）證明：如圖1，取PD的中點(diǎn)E，連EO，EM。

∵EO//PB，EO= 1/2PB，MA//PB，MA=1/2 PB，

∴EO//MA，且EO=MA

∴四邊形MAOE是平行四邊形，

∴ME//AC 。

又∵AC平面PMD，ME平面PMD，

∴AC//平面PMD 。

（Ⅱ）如圖1，PB⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PB。

又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC。

∵CD平面PCD，

∴平面PBC⊥平面PCD。

過B作BF⊥PC于F，則BF⊥平面PDC，連DF，則DF為BD在平面PCD上的射影。

∴∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角。

不妨設(shè)AB=2，則在Rt△BFD中，BDBF1/2，

∴∠BDF=π/6

∴直線BD與平面PCD所成的角是π/6

在這題中，恰當(dāng)?shù)倪x擇了中點(diǎn)，證明了ME與AC的平行，又運(yùn)用線面平行的原理證明了AC、ME都平行于PMD，從而得出了結(jié)論。

2、變化圖形，注意運(yùn)動變化

立體圖形中，像是求最值、軌道分析、運(yùn)動變化等問題，都是比較難的立體圖形問題，同學(xué)們在解答中需要轉(zhuǎn)換思路來解答，以便更好更快地獲得答案。像下面這道題。

其實在立體已知如圖等腰△ABC中AB=AC=13、BC=12，DE∥BC.分別交AB和AC于DE.將△ADE沿DE折起使得A到A′，且A′-DE-B為60°二面角.求A′到直線BC的最小距離。

解：取BC的中點(diǎn)O，連AO交DE于O′.

∵AB=AC，∴AO⊥BC，

∴AO′⊥DE，連A′O′，則A′O′⊥DE，

∴DE⊥面A′O′O，∵DE∥BC，

∴BC⊥面A′O′O，

∴BC⊥A′O，故A′O為A′到BC的距離，

且∠A′O′O為二面角A′-DE-B的平面角，

∴∠A′O′O=60°.設(shè)AO′=A′O′=x，

∵AB=AC=13，BC=10，

∴AO=12，O′O=12

像這道題中，要先解決的是A′到BC的距離，還要注意這個距離不是固定的是與DE的位置有關(guān)系，所以A到DE的距離函數(shù)也是A′到BC的距離，像這種題目立體幾何中還是還常見的，求解中一定要注意函數(shù)的運(yùn)用，函數(shù)的運(yùn)用還是化難為簡，切不可用復(fù)雜的函數(shù)公式來增加題目的難度[1]。

3、設(shè)立合適的參數(shù)

在幾何圖形中，一般都是通過既定的已知量來推導(dǎo)未知量，但是經(jīng)常已知量和未知量之間存在著一些未知的關(guān)系影響我們解題的判斷，我們在解題中可以設(shè)定一些未知數(shù)來建立二者之間的關(guān)系，特別是在一些復(fù)雜的立體幾何問題中，有一些條件你想知卻又未可得時，可以設(shè)立一些合適的參數(shù)，但是這個參數(shù)并不需要解出，只需要通過這個未知參數(shù)區(qū)解開題目中要求的問題即可，參數(shù)并不是重點(diǎn)，在解題中切勿混淆這個概念，以免增加題目的難度[2]。

在立體幾何的求解中，可能會經(jīng)常遇到類似的情況，例如給出的線段長度是a，不需要具體的數(shù)字，也無需求出a是多少，以字母代替更加快能得出答案。

二、其他解題方法

1、立足課本，夯實基礎(chǔ)

其實說道底這些技巧的運(yùn)用，離不開的就是定理和基礎(chǔ)內(nèi)容的掌握，基礎(chǔ)內(nèi)容包括立體幾何中的構(gòu)成基礎(chǔ)，直線、平面等內(nèi)容，如果想要掌握立體幾何的解題技巧，就必須要學(xué)好這兩大板塊，尤其是一些關(guān)鍵的證明公式：三垂線定理、面積射影公式、“立平斜關(guān)系式”、最小角定理、各種立體圖形面積、體積的計算公式。學(xué)好點(diǎn)與點(diǎn)、線與線、面與面之間的關(guān)系。在學(xué)定理的時候，如果對于圖形想象不出一個具體的畫面，可以借助一些工具，例如書、直尺，或者在生活中多觀察一些多邊體、不規(guī)則的圖形，使徒行具象化也有利于自己對定理的學(xué)習(xí)。

2、提高空間的想象力

其實在生活中，存在著許多的不規(guī)則題，而我們學(xué)習(xí)立體圖形最終還是要回到生活中，通過書本的知識解決生活中的問題。一些同學(xué)對于立體圖形平面空間到立體的想象力不夠，可以通過對在生活中對立體圖形進(jìn)行觀察、揣摩，并且判斷圖形點(diǎn)線面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法，一步一步的加強(qiáng)自己空間想象能力，多積累、多觀察、多想象，更好的提高自己的空間想象力，學(xué)會變換和畫圖，用定理來推斷論證，也是一個不錯的方法。

三、結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)中立體幾何的內(nèi)容主要還是要掌握解題的八大定理，還要提高自己空間想象能力，才能更好在立體幾何的解題中運(yùn)用這些技巧，此外，還要有意識的培養(yǎng)自己的邏輯論證能力，在立體幾何的解題中，如果沒有掌握好解題的邏輯順序，解題過程就會比較混亂，從而得不出結(jié)果?？傊?，立體幾何解題技巧很多，但解題時要先掌握原理，并且培養(yǎng)好自己的解題思維，才能解出更復(fù)雜的題目。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吉繆明. 高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J]. 數(shù)理化解題研究，2017，（19）

[2] 江士彥. 芻議高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J]. 讀與寫（教育教學(xué)刊），2015，12（11）endprint