多視角計算內(nèi)含報酬率

摘要：駱竹梅副教授在《財會月刊》發(fā)表的《數(shù)學視角下內(nèi)含報酬率的測算》描述了運用相似三角形計算內(nèi)含報酬率的詳細過程，但是還有幾個小問題亟待完善。為此，筆者以李強擬購買國債的案例，分別利用圖解法、差值法和函數(shù)法等多視角來闡述，為不同層次的研習者揭開計算內(nèi)含報酬率的“神秘面紗”。

關(guān)鍵詞：多視角；內(nèi)含報酬率；計算方法

駱竹梅副教授在《財會月刊》2014年7月第14期發(fā)表了《數(shù)學視角下內(nèi)含報酬率的測算》（以下簡稱《駱文》），該文“圖2”中描述了運用相似三角形計算內(nèi)含報酬率的詳細過程?！恶樜摹芬孕路f、直觀和易懂的方式闡述了內(nèi)含報酬率的詳細計算過程，值得學習和借鑒，筆者認為還有幾個小問題不容忽視：第一，計算內(nèi)含報酬率本質(zhì)上是解一元n次方程，所以關(guān)于折現(xiàn)率i的幾何圖形不會是簡單的直線。第二，BD線段與橫軸相交的C點橫坐標，未必就是內(nèi)含報酬率，它只是近似代替。第三，沒有點明計算內(nèi)含報酬率一元n次函數(shù)嚴格單調(diào)遞減的特性。為此，現(xiàn)舉例來闡述。

一、案例分析

[案例]2015年1月1日有一份面值50萬元、期限10年、每年固定收益為1.2萬元、每年12月31日支付利息、到期歸還本金的國債擺在李強先生面前，假設(shè)僅考慮經(jīng)濟因素，他購買該份國債是否劃算（相對于同期銀行存款的稅后收益率）？

經(jīng)過分析上述案例資料，李強是否應(yīng)該購買案例中的國債，屬于獨立投資決策方案，關(guān)鍵要測算該份國債的內(nèi)含報酬率（IRR），然后將其與同期銀行存款稅后收益率進行比較，假若前者不小于后者，則符合投資目標；反之，則不能購買。

根據(jù)分期付息到期一次還本的債券估值模型：

公式1

其中：At為債券各期支付的利息，i為債券的折現(xiàn)率，n為債券的總期數(shù)，F(xiàn)為到期后債券歸還的本金。若債券每期支付的利息是等額的，則將公式1簡化為：

公式2

套用公式2，則本案例中的國債估價等式為：

等式1

下文從多個視角來計算等式1中的內(nèi)含報酬率。

二、多視角求解內(nèi)含報酬率

（一）圖解法

將等式1左邊的50移項至右邊，同時令左邊等于f（i），將等式1演變成：

等式2

等式2中的f（i）明顯是一個關(guān)于利率i的一元10次方、嚴格單調(diào)遞減的函數(shù)（證明從略）。利用“試誤法”對等式2進行逐步測試可得：f（3%）=-2.5591萬元（47.4409-50）<0，f（2%）=1.7965萬元（51.7965-50）>0，由此推測內(nèi)含報酬率介于2%與3%之間。

根據(jù)圖1所示，若以橫軸表示利率（折現(xiàn)率），縱軸表示凈現(xiàn)值（NPV），可將A點（2%，1.7965）和B點（3%，-2.5591）在二維坐標中描繪出來，A點、B點均在f（i）的曲線上；設(shè)曲線與橫軸的交點為C點，C點橫坐標即為將要計算的內(nèi)含報酬率，要計算出內(nèi)含報酬率就轉(zhuǎn)化為找出C點的橫坐標。當A點與B點之間的絕對距離趨于0時，利用“化曲為直，以直代曲”的數(shù)學思想，則曲線ACB以直線AC'B代替，C點以C'點代替，所以要計算C點的橫坐標則可以用C'點的橫坐標來近似代替，設(shè)C'點的橫坐標為i。

為了方便闡述，在圖1中增加虛線AD（長度為A點的縱坐標）和虛線BE（長度為B點縱坐標的絕對值），利用平面幾何知識可得：?ADC'∽?BEC'，相似三角形對應(yīng)邊成比例，則有AD/BE= DC'/ EC'，即1.7965/2.5591=（i-2%）/（3%-i），解得i=2.41%，從而近似求得內(nèi)含報酬率。

圖1 圖解法

（二）差值法

令前文等式1的右邊（債券本息和的現(xiàn)值）等于y，即：

圖2 差值法

當i=2%時，y=51.7965；設(shè)內(nèi)含報酬為（2%+x），則當i=（2%+x）時，y=50；當i=3%時，y=47.4409；將這3組數(shù)據(jù)依次列在圖2中，然后第2組數(shù)據(jù)對應(yīng)減第1組，可得（x，-1.7965）；第3組數(shù)據(jù)對應(yīng)減第1組，可得（1%，-4.3556）。

當?shù)?組數(shù)據(jù)與第3組數(shù)據(jù)的平面坐標點之間的絕對距離趨于0時，則兩組差值之間存在近似的線性關(guān)系，即：x/1%=（-1.7965）/（-4.3556），解得x=0.41%，從而計算出內(nèi)含報酬=2%+x=2.41%。

（三）函數(shù)法

根據(jù)圖3所示，利用Microsoft Excel軟件求解內(nèi)含報酬率，其操作步驟為：首先，在單元格A1：K1中錄入各年年序；然后，在單元格A2：K2中輸入各年發(fā)生的凈現(xiàn)金流量，正數(shù)為凈現(xiàn)金流入（債券每年支付的利息和債券到期收回的本金），負數(shù)為凈現(xiàn)金流出（債券的初始投資成本）；最后，設(shè)置L2=IRR（A2：K2），就能計算出實際報酬率。

三、結(jié)論

根據(jù)中國人民銀行2015年8月26日公布的《人民幣存款利率表》，5年期以上的整存整取利率為3.05%。顯然，案例中的國債內(nèi)含報酬率2.41%遠低于同期銀行存款稅后凈收益（存款利息所得暫免征收個人所得稅），僅僅考慮經(jīng)濟因素的話，李強先生投資該份國債顯然是不劃算的。

參考文獻：

[1]駱竹梅.數(shù)學視角下內(nèi)含報酬率的測算[J].財會月刊，2014（14）.

[2]周志勇，吳艷紅，蔣昕.多視角教學方式計算工資薪金個人所得稅[J].財會月刊，2013（20）.

（作者單位：廣東海洋大學寸金學院）