對置換群教學(xué)的新處理

杜海霞　潘燕玲

摘要：討論在教學(xué)中處理置換群的一種新的處理方法，以利于學(xué)生更好地理解教材內(nèi)容。

Abstract： In this paper， a new method of permutation group teaching is introduced， which makes the student to understand these concept easily.

關(guān)鍵詞：置換群；k-輪換；奇（偶）置換；階

Key words： permutation group；K-rotation；odd （even） replacement；order

中圖分類號：O152.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）07-0186-02

0 引言

置換群是人類最早研究的一類群，利用這種群，迦羅瓦成功的解決了高次代數(shù)方程是否可用根式求解的問題[1]。由于每個(gè)有限的抽象群都與一個(gè)置換群同構(gòu)，也就是說，在同構(gòu)意義下，若把置換群研究清楚了，那么所有的有限群即完全被了解，故置換群是一類非常重要的群。正是由于它的重要性，引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[2]研究了置換群群的循環(huán)指數(shù)，文獻(xiàn)[3]研究有有界運(yùn)動(dòng)的置換群，給出了非單位元恰有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的有極大次數(shù)的傳遞置換群的結(jié)構(gòu)和分類，文獻(xiàn)[4]給出了計(jì)算置換的乘法、置換的逆、置換的階、置換的冪、置換的輪換分解、置換的奇偶性判斷的C語言程序，文獻(xiàn)[5]利用ONan-Scott定理刻畫了3次自由次的擬本原置換群和二部擬本原置換群，并給出了一般3次自由置換群的描述，文獻(xiàn)[6]研究了給定生成元集、給定群、給定階的置換群的群圖的作圖方法，并給出若干計(jì)算機(jī)作圖的實(shí)例，文獻(xiàn)[7]確定Sn的元素的階的集合On的第二種方法，同時(shí)給出了例子，文獻(xiàn)[8]對素?cái)?shù)冪次的本原置換群給出一個(gè)清晰明了的刻畫。

教材[1]是目前各高校近世代數(shù)課程選用較多的一本優(yōu)秀教材，它對置換群一節(jié)的處理是，先給出定義，再以定理形式給出相關(guān)性質(zhì)，但對于初學(xué)者來說，總感覺邏輯性不是那么強(qiáng)，不知為什么介紹完定理1，介紹定理2，所以本人試著以例子引入并貫穿整節(jié)課的方式，給出一種新的處理方法。這樣的處理有以下優(yōu)點(diǎn)：

①以例子做主線，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；

②可加深學(xué)生對所學(xué)過的知識的認(rèn)識；

③可引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握本節(jié)課所有內(nèi)容。

為檢驗(yàn)新處理方式的效果，筆者對所任教的12屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)四個(gè)班的學(xué)生及13屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)四個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行了比較教學(xué)，并對他們進(jìn)行了問卷調(diào)查，剔除遺漏和錯(cuò)誤等不合格問卷，獲得有效問卷451份，經(jīng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1、表2所示。

1 置換群教學(xué)的新處理

由凱萊定理可知，任何n階有限群都同n元對稱群Sn的一個(gè)子群同構(gòu)。教材[1]就把n元對稱群的任何一個(gè)子群定義為置換群。也就是說，置換群這一節(jié)主要介紹的內(nèi)容，在同構(gòu)意義下，可推廣到一般抽象的有限群。我們在研究有限集合的置換時(shí)，有限集合中的元素是什么是無關(guān)緊要的。因此，為方便起見，這個(gè)集合的元素常用數(shù)碼1，2，…，n表示，并且一般假設(shè)n>1。按照教材[1]，接下來給出k-輪換的定義，以及輪換相乘的性質(zhì)，可一上來就講這些理論，學(xué)生理解起來就會有困難，不知為什么要講，講這些有什么用，而通過現(xiàn)在的處理方式，就會避免這個(gè)問題。

首先，讓同學(xué)們自己寫出S4，寫的過程會發(fā)現(xiàn)，4個(gè)元素的全排寫起來并不是那么簡單，關(guān)鍵是全寫出來，書寫很不方便，所以我們想，對于置換，是否有更簡單的表示方法，且能把所有的置換區(qū)分開，不重不漏。這時(shí)，給出k-輪換的定義，學(xué)生就會很欣喜的接受，而且還會發(fā)現(xiàn)，S4中的24個(gè)元素，按照k-輪換的定義，我們只能寫出21個(gè)，剩下的3個(gè)該如何表示？引導(dǎo)學(xué)生思考。此時(shí)，可以給出下面定理：

定理1：每個(gè)（非輪換）置換都可表為不相連輪換之積，每個(gè)輪換都可表為對換之積，因此，每個(gè)置換都可表為對之積。

更進(jìn)一步，每個(gè)非輪換置換表為不相連輪換之積時(shí)，元素相乘的先后順序是否可以顛倒？于是可得如下結(jié)論。

定理2：不相連輪換相乘時(shí)可以交換。

這樣，用輪換和輪換的乘積來表示置換，在書寫時(shí)非常方便。

接著，讓同學(xué)們自己把S4的24個(gè)置換用輪換或輪換的乘積表示出來。這個(gè)過程，同學(xué)們又會發(fā)現(xiàn)，把每一個(gè)置換表示成對換乘積時(shí)，表示方法不是唯一的。例如：

（132）=（12）（13）=（31）（32）=（12）（32）（23）（13）；

（1432）=（23）（12）（14）=（34）（13）（23）=（23）（13）（23）（13）（14）。

認(rèn)真觀察會發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)置換雖然有不同的對換分解，但各個(gè)分解中，對換個(gè)數(shù)的奇偶性必然相同，此即下面的定理。

定理3：每個(gè)置換表成對換乘積時(shí)，其對換個(gè)數(shù)的奇偶性不變。

這樣，就有S4這個(gè)特例的結(jié)論推廣到了一般的置換群。而且，順理成章的給出奇置換與偶置換的定義。同時(shí)，進(jìn)一步，我們還有結(jié)論。

定理4：一個(gè)n元置換群中的置換或者全是偶置換，或者奇、偶置換各占一半，且全體偶置換做成一個(gè)子群。

證明：設(shè)G為任意一個(gè)n元置換群。因?yàn)镚必包含恒等置換，而恒等置換是偶置換，從而G必包含偶置換。

如果G中的置換全為偶置換，則結(jié)論已成立；如果G中的置換含有奇置換，任取其一，設(shè)為σ。并令A(yù)，B分別為G中全體奇、偶置換作成的集合，則由于σ與σ-1都是奇置換，從而易知φ：τ → τσ（？坌τ∈A）

是A到B的一個(gè)雙射.因此，A與B元素個(gè)數(shù)相同，即JG中的奇、偶置換的個(gè)數(shù)相等，各占一半（從而還可知，此時(shí)的階為偶數(shù)）。而且此時(shí)的全體偶置換作成子群顯然。

以上的內(nèi)容都是對置換群整體的把握，那么，對于置換群中的元素，及具體的每一個(gè)置換，從群的角度出發(fā)，其階又該如何？觀察S4，容易得出，（12）的階是2，（123）的階是3，（12）（34）的階是2，于是，有以下更一般的判別方法。

定理5：k-輪換的階為k，不相連輪換乘積的階為各因子的階的最小公倍數(shù)。

2 結(jié)論

上述處理方式，效果明顯，通過學(xué)期期末考試可知，卷面中涉及置換群一節(jié)的內(nèi)容，百分之九十七的同學(xué)都能很好的掌握。置換群是群論中很重要的一類群，本文只是根據(jù)個(gè)人理解，給出了一種在本期教學(xué)中實(shí)踐效果很好的一種新的教學(xué)處理方式，而其更多的，適應(yīng)性更廣、更好的處理方式，有待我們進(jìn)一步的研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊子胥.近世代數(shù)[M].三版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]王彥輝，方騰.樹的計(jì)數(shù)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2014，44（10）：169-175.

[3]陳云坤，黎先華.有極大次數(shù)的傳遞置換群[J].數(shù)學(xué)雜志，2013，33（1）：187-190.

[4]王積社.若干置換群問題的計(jì)算程序[J].電腦知識與技術(shù)，2013，9（5）：1041-1042.

[5]劉哲，余小芬，婁本功.3次自由次的擬本原和二部擬本原置換群[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，34（2）：125-128.

[6]王積社.置換群圖及其作圖方法[J].嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2012，30（2）：9-14.

[7]孫宗明.確定Sn的元素的階的集合On的第二種方法[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，30（3）：23-26.

[8]蔡遷，張華.素?cái)?shù)冪次本原置換群的一個(gè)簡明刻畫[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，34（5）：6-10.