微積分思想及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用

潘蓉

【摘要】微積分思想的產(chǎn)生、發(fā)展都是與實(shí)際問題緊密相連的。微積分學(xué)不僅是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它的創(chuàng)立也極大地推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)的發(fā)展。本文對(duì)微積分思想產(chǎn)生的背景以及微積分在解決實(shí)際問題中主要的思想：極限思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和建模思想做了簡(jiǎn)要介紹，并結(jié)合幾何、物理、經(jīng)濟(jì)問題中的部分實(shí)例進(jìn)行了討論。

【關(guān)鍵詞】微積分思想 幾何問題 物理問題 經(jīng)濟(jì)問題

1微積分思想產(chǎn)生的背景

微積分是微分和積分的統(tǒng)稱，它的產(chǎn)生、發(fā)展都是與實(shí)際問題緊密相連的。早在古代微積分思想就已萌芽。公元前七世紀(jì)我國(guó)莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

在西方公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，也隱含著近代積分學(xué)的思想。

到了十七世紀(jì)，隨著社會(huì)生產(chǎn)力的空前發(fā)展，航海、工商業(yè)、工程建筑設(shè)計(jì)都發(fā)達(dá)起來，研究物體的運(yùn)動(dòng)和變化成了日益迫切的課題，力學(xué)在各門學(xué)科中首先興盛，但它的進(jìn)步必須依靠數(shù)學(xué)，各種實(shí)際問題（包括古老的天文學(xué)問題以及歷史悠久的面積、體積測(cè)算）都要求數(shù)學(xué)引入新的概念，提出更有效的算法。微積分正是在這樣的背景下產(chǎn)生和發(fā)展起來的。許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為此作了大量的研究工作。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)科學(xué)家牛頓從物理學(xué)角度研究微積分，創(chuàng)立了“流數(shù)術(shù)”理論，這實(shí)際上就是微積分理論。而德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在研究曲線的切線和曲線包圍的面積中提出微積分概念，得出微積分具體運(yùn)算法則，揭示出微積分的實(shí)質(zhì)。

微積分學(xué)的創(chuàng)立，開創(chuàng)了科學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元，它極大地推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)的發(fā)展，并在這些學(xué)科中有著越來越廣泛的應(yīng)用。

2微積分在解決問題中的主要思想

2.1 極限思想

極限思想是微積分的核心思想，它是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想主要解決兩類問題，即變化率問題（微分問題）和積累問題（積分問題）。解決變化率問題時(shí)，采用先考察在某個(gè)點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)，近似的以“不變代變”、“以靜代動(dòng)”，求得平均變化率。該平均變化率近似等于該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。再將小范圍無限縮小而趨向于零，促使“近似”轉(zhuǎn)化為“精確”，從而求得函數(shù)在指定點(diǎn)處的變化率。

解決積分問題時(shí)，先將整體化為有限個(gè)微小的局部，在每個(gè)局部“以直代曲”、“以不變代變”，再積零為整求和式，得到整體的近似值，最后，再使每一局部無限變小，通過求和式極限，促使“近似”轉(zhuǎn)化為“精確”，從而得到積累問題的準(zhǔn)確值。

2.2 化歸思想

化歸思想是指把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，把它歸結(jié)到某個(gè)（或某些）己經(jīng)解決或簡(jiǎn)單的，比較容易解決的問題上去，最終求得原問題的解答的思想，其核心就是簡(jiǎn)化與轉(zhuǎn)化。

化歸思想有三要素：化歸對(duì)象（要化什么），化歸目標(biāo)（化成什么形式），化歸途徑（怎么化）。一般常用的轉(zhuǎn)化方式是：陌生問題熟悉化；復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化；抽象問題形象化。

2.3數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是把“數(shù)”與“形"建立聯(lián)系，把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形"特性去觀察分析，而“形"的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)"來研究思考，以尋求解決方案。數(shù)形結(jié)合是溝通數(shù)與形內(nèi)在聯(lián)系的有效途徑，或是由數(shù)構(gòu)形、以形促數(shù)；或是由形思數(shù)，以數(shù)論形。華羅庚先生曾說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微"。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中的一種重要的思想方法。

2.4數(shù)學(xué)模型思想

數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法對(duì)各種實(shí)際對(duì)象做出抽象或模仿而形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中原型進(jìn)行具體構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，是問題解決的一個(gè)重要方面和類型，將考察的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究和解答，使原來的實(shí)際問題得以解答的過程。

在高職的微積分教學(xué)中有不少涉及到數(shù)學(xué)建模的實(shí)際問題如運(yùn)用導(dǎo)數(shù)理論求最值類模型，特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)里的最大利潤(rùn)模型，倉(cāng)儲(chǔ)模型；運(yùn)用微分方程來求解的“人口模型”等等。通過這些數(shù)學(xué)模型的介紹和學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)生分析、解決問題和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

3微積分思想在實(shí)際問題中的運(yùn)用

3.1幾何問題

幾何學(xué)中如曲線切線的斜率問題、曲率問題、不規(guī)則圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積問題等等都要運(yùn)用到極限、化歸的思想來解決。

實(shí)例1 （曲邊梯形面積）設(shè)函數(shù) 在 上非負(fù)，連續(xù)，求由直線x = a， x = b， y = 0 及曲線 所圍成的圖形的面積。

求解過程可分為四步：

步驟1分割（整體化為局部） 在區(qū)間 [a，b] 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

，把[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間

[ ]，[ ]， … [ ]，

區(qū)間長(zhǎng)度為： ，同時(shí)經(jīng)過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯。

步驟2 取近似（以“直”代“曲”） 在每個(gè)小區(qū)間[ ]上任取一點(diǎn) ，以[ ]為底， 為高作小矩形，用小矩形面積近似替代第 個(gè)小曲邊梯形的 即

步驟3 求和（積“零”為“整”）把n個(gè)小矩形面積之和作為曲邊梯形面積A的近似值，即

步驟4 取極限 當(dāng)小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值 時(shí)，上述小矩形面積和式的極限就是曲邊梯形面積A的精確值，即

實(shí)例2 熱力發(fā)電廠的蒸汽冷卻塔的形狀實(shí)際就是由雙曲線的一支的部分繞虛軸旋轉(zhuǎn)一周所得。建立直角坐標(biāo)系（如下圖），設(shè)已知雙曲線的方程為 ，且塔頂?shù)?軸的高度為 ，塔到 軸的高度 ，試求該冷卻塔內(nèi)部的體積。（保留一位小數(shù)）

分析 ：求旋轉(zhuǎn)體的體積可運(yùn)用微元法。即為求出某一時(shí)刻的量，在局部“以勻代非勻”求得這個(gè)量的近似值，然后計(jì)算微元在積分區(qū)間的積分從而得到整體量。

求解過程： 觀察圖像可知，該旋轉(zhuǎn)體是由雙曲線的右半支 與直線 、 和y軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得。

選y為積分變量，積分區(qū)間為 ，在 上任取小區(qū)間 ，可得體積微元為

則所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

3.2物理問題

物理學(xué)中涉及變化率的問題和積累的問題都能運(yùn)用化歸思想把這些問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而用導(dǎo)數(shù)或定積分來解決。

實(shí)例3 已知某物體做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，在時(shí)刻 時(shí)下落的高度為 ，求 s時(shí)，物體下落的速度和加速度（其中 ）。

求解過程：因?yàn)楹瘮?shù) 的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別為

， ，

所以，當(dāng)t=10s時(shí)，物體下落的速度為

加速度為

實(shí)例4 已知對(duì)某種彈簧施加 的，彈簧就伸長(zhǎng) ，如果要把彈簧從原長(zhǎng)位置拉長(zhǎng) ，請(qǐng)問需要作多少功？

求解過程：由虎克定律可知，彈力F與伸長(zhǎng)量x之間的函數(shù)關(guān)系為 ，（k為彈性系數(shù)）。已知 時(shí)， ，代入 ，得彈性系數(shù)K=980，所以 。

取伸長(zhǎng)量x為積分變量，則積分區(qū)間為 ，在 上任取小區(qū)間 ，可得功的微元為

則把彈簧從原長(zhǎng)位置拉長(zhǎng)0.1m時(shí)變力需作的功為

3.3 經(jīng)濟(jì)問題

微積分思想方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著非常重要的應(yīng)用。如導(dǎo)數(shù)的概念產(chǎn)生后，就有了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析和彈性分析。而反之在已知邊際函數(shù)或彈性函數(shù)，要求成本函數(shù)、需求函數(shù)、利潤(rùn)或收益函數(shù)等經(jīng)濟(jì)量時(shí)，又可利用定積分或不定積分來解決。

實(shí)例5 設(shè)某加工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的每日總成本函數(shù)和每日總收入函數(shù)分別為 ， 其中 為日產(chǎn)量（千克），求（1）邊際利潤(rùn)函數(shù)及當(dāng)日產(chǎn)量分別是200千克、250千克和300千克時(shí)的邊際利潤(rùn)，并說明其經(jīng)濟(jì)意義；（2）求最大利潤(rùn)時(shí)的日產(chǎn)量。

求解過程：（1）總利潤(rùn)函數(shù) ，

邊際利潤(rùn)函數(shù)為

日產(chǎn)量為200千克、250千克和300千克時(shí)的邊際利潤(rùn)分別是

， ，

其經(jīng)濟(jì)意義是：在日產(chǎn)量為200千克的基礎(chǔ)上，再增加1千克產(chǎn)量，利潤(rùn)可增加1元；在日產(chǎn)量為250千克的基礎(chǔ)上，再增加1千克產(chǎn)量，利潤(rùn)無增加；在日產(chǎn)量為300千克的基礎(chǔ)上，再增加1千克產(chǎn)量，將虧損1元。

（2）令邊際利潤(rùn)函數(shù) ，得 。

又 ，所以當(dāng)產(chǎn)量為250千克時(shí)，利潤(rùn)最大。

實(shí)例6 已知生產(chǎn)某中產(chǎn)品x單位（百件）的固定成本為1萬元，邊際成本和邊際收入分別為

（1）求產(chǎn)量由2百件增加到4百件時(shí)，總成本增加了多少？

（2）求總成本函數(shù)；

（3）在利潤(rùn)最大時(shí)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上，再生產(chǎn)2百件，利潤(rùn)變化了多少？

求解過程：（1）產(chǎn)量由2百件增加到4百件時(shí)，總成本的增加量為

（2）因?yàn)楣潭ǔ杀緸?萬元，即 ，

即總成本函數(shù)為

（3）設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為 ，當(dāng)邊際收益=邊際成本時(shí)，利潤(rùn)最大.即 ，于是有

當(dāng) 時(shí)，利潤(rùn)最大.

在利潤(rùn)最大時(shí)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上，再生產(chǎn)2百件，這時(shí)利潤(rùn)的改變量為

即產(chǎn)量由3百件增加到5百件時(shí)，利潤(rùn)將減少 萬元。

微積分思想方法在實(shí)際問題的解決中有著廣泛的運(yùn)用。教師在日常的教學(xué)中要注重這些思想方法的滲透，這對(duì)于培養(yǎng)應(yīng)用型人才的高職數(shù)學(xué)教育來說有著重要的意義。

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