動態(tài)軸向載荷下諧振梁振動響應分析*

邢維巍，張碩，樊尚春

（北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京100191）

動態(tài)軸向載荷下諧振梁振動響應分析*

邢維巍*，張碩，樊尚春

（北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京100191）

在航空航天飛行控制中，為實現關鍵參數的高精度高動態(tài)測量，急需發(fā)展具有快速響應特性的諧振式傳感器。諧振式傳感器本質上是輸入與諧振器振動狀態(tài)之間的映射。這種映射一般通過跟隨輸入的軸向載荷調制諧振梁的固有頻率實現。高動態(tài)應用中的核心問題是動態(tài)軸向載荷下諧振梁的振動響應。利用基本的微元力學平衡關系建立了動態(tài)軸向力作用下諧振梁振動行為的數學模型。此模型比Mathieu方程的適用面更廣，在一般假設下更難以進行解析或數值求解。為此引入了等效電路方法進行模型求解。通過對等效電路的仿真，得到了諧振梁在多種典型動態(tài)載荷下的振動響應。動態(tài)軸向載荷對于諧振梁的作用具有強烈的非線性和獨特的規(guī)律，值得進一步深入研究探討。

諧振傳感器；動態(tài)載荷；等效電路；振動響應；Mathieu方程

EEACC：0220；1200；7310Gdoi：10.3969/j.issn.1004-1699.2016.09.013

硅微機械諧振式壓力傳感器具有高精度、高分辨率、高穩(wěn)定性的優(yōu)點［1］，是航空航天高精度壓力測量的主要手段之一。隨著飛行器技術要求的提高，高精度壓力傳感器應用場合從普通的飛行狀態(tài)監(jiān)測逐漸擴展到飛行控制，成為閉環(huán)控制系統(tǒng)的一環(huán)。應用的升級對傳感器的性能，尤其是動態(tài)性能提出了苛刻的要求。

諧振式傳感器利用諧振器的固有振動特性進行測量，本質上是輸入與諧振器振動狀態(tài)之間的映射［2］。硅微機械諧振式壓力傳感器中，這種映射通過跟隨輸入的軸向載荷調制諧振梁的固有頻率實現。高動態(tài)應用中的核心問題是動態(tài)軸向載荷下諧振梁的振動響應。

關于動態(tài)載荷下梁的振動，一類研究主要關注移動力作用下梁的響應問題［3-7］，另一類主要研究微機械諧振式陀螺中的諧振梁，屬于動態(tài)軸向載荷問題。其中的最新研究將振梁的動力學特性歸一到Mathieu方程，利用小參數攝動法得到具有調頻特性的穩(wěn)定近似解，并應用到陀螺的信號解調［8］。這種方法只能解決正弦周期載荷問題。本文試圖從理論上探討動態(tài)載荷對歐拉梁振動特性的作用機理，建立更一般形式的動態(tài)軸向載荷下梁的振動模型，并給出求解該模型的便捷實用的技術方法。

1　動態(tài)軸向載荷下梁的振動模型

假設諧振梁在動態(tài)軸向載荷的作用下，各截面的中心慣性軸在同一平面內，諧振梁在該平面內做橫向振動，這時梁的主要變形是彎曲變形，可以忽略剪切變形和截面繞中心軸轉動慣量的影響，稱為伯努利-歐拉梁。受力模型如圖1所示。以微段dx為研究對象，受力分析如圖2所示。

圖1　動態(tài)軸向載荷作用下雙端固支梁彎曲振動示意圖

圖2　諧振梁微段dx受力分析

圖中各項的物理意義：F為梁承受的軸向載荷；ρ為梁的密度；E為梁的彈性模量；I為梁橫截面對中性軸的慣性矩；A、L、h、b分別為梁的橫截面積、長度、高度、寬度。設y（x，t）是梁上距原點為x處的截面在t時刻的橫向位移，由力矩平衡公式與彎矩平衡公式共同聯(lián)立得梁橫向彎曲振動的方程為：

用分離變量法求該方程的解，設方程的解為：

其中ω為梁振動的固有頻率，Y（x）為梁振動的模態(tài)函數。則式可變形為：

分析諧振梁在不受外力自由振動情況，將雙端固支梁的邊界條件（固定端梁的撓度和轉角均等于零）代入，解得梁自由振動振型公式：

根據文獻［9］，可知諧振梁振動的第1階振型固有頻率解為：

諧振梁以一階振型為工作模態(tài)，根據文獻［9］，表6.3查得λL=4.730，對應參數：

得出梁自由振動一階振型公式：

式兩邊都乘以Y（x），再對x進行積分，由分部積分法以及齊次邊界條件可得：

式簡化可寫為：

其中C，D為常量。這就是一般載荷形式作用下梁的振動模型。

輸入載荷為正弦時，通過如式的變量代換：

式可轉換為式：

此即標準形式的Mathieu方程［10］。

由公式可得Mathieu方程雖然可以推導出在動態(tài)輸入載荷下諧振梁的振動模型，但是Mathieu方程要求輸入載荷F為正弦信號［10］，因此有局限性。由于該法公式模型的局限性，動態(tài)輸入載荷F只可以為三角函數的形式，且動態(tài)輸入載荷F不滿足疊加性。故本論文用建立等效電路的方法［11-12］模擬動態(tài)軸向載荷下諧振梁振動方程特性，來實現動態(tài)輸入載荷的普遍性。

2　動態(tài)軸向載荷下諧振梁振動模型電路模擬

根據已經建立的動態(tài)軸向載荷下諧振梁振動模型建立輸出諧振梁振動信號的等效電路，如圖3所示。

其中電壓源V2即對應系統(tǒng)中的動態(tài)軸向載荷，通過改變電壓源的輸出來模擬動態(tài)力的加載模式（在本文中用載荷來表示電壓源）。

圖3　輸出諧振梁振動響應的等效電路

取R11=R12=R13，則其輸出方程為：

通過調節(jié)電阻電容的值，使式與式相對應。對應關系：

3　動態(tài)軸向載荷下諧振梁振動模型等效電路輸出結果分析

首先分析固有頻率部分，當電壓源無輸出時，電路自激振蕩周期為15 μs，與諧振梁固有頻率相符合。輸出波形如圖（如下無特殊說明，幅值比較小的曲線為電壓激勵，仿真圖橫軸標度50 μs/div）。

圖4　未加載荷時輸出波形

直流電壓載荷下，改變載荷的強度對比輸出波形。波形如圖5（縱軸輸出與輸入標度比為25∶1）。

圖5　直流載荷下的輸出波形

由圖5輸出的波形圖，當載荷數值變大時，輸出的波形幅值變小，頻率變小。對應在諧振系統(tǒng)中，改變軸向載荷的大小能影響諧振梁振動的幅值與頻率。軸向載荷越大，諧振梁振幅越小，頻率越小。

轉換電壓載荷模型為具有一定頻率交流模型來分析。保持電壓值不變，改變電壓載荷頻率。繼續(xù)進行仿真（縱軸輸出與輸入標度比為100∶1）。

從圖6仿真結果可以看出，當保持載荷不變，通過調節(jié)載荷頻率會對輸出波形的幅值及頻率都有影響，當載荷頻率變大時，輸出頻率以及幅值隨之變大。當載荷頻率超過一定值時，輸出頻率及幅值不再隨之，變大。因此得出動態(tài)軸向載荷大小不變，而頻率在變動時，對諧振梁振動頻率及幅值都有影響。

圖6　保持載荷幅值10 mV不變改變頻率時輸出波形

保持載荷頻率不變，改變電壓載荷幅值。繼續(xù)進行仿真。

繼續(xù)增加電壓載荷幅值出現輸出波形被調制的現象（圖8縱軸與圖7縱軸坐標比為2∶1）。

圖7　載荷頻率10kHz幅值不同時輸出波形

圖8　電壓載荷為50 mV 10 kHz時的輸出波形

從圖7、圖8可以明顯看出，當頻率不變而載荷的幅值變大時，輸出響應的幅值隨之變大，輸出響應的頻率也隨之改變，從圖9可以看出此規(guī)律同樣適用于特殊波形如三角波。而當載荷幅值超過一定數值時（如圖8），輸出響應的頻率被調制的現象比較明顯，此時參數的取值在Mathieu方程的穩(wěn)定范圍內，振蕩過程同時存在著振幅調制與頻率調制。當外載荷達到極大值點時振動系統(tǒng)剛度最大，振蕩頻率最高，但伴隨著有幅度下降的現象出現振幅下降的現象。與文獻［8］結論一致。

圖9　載荷為60 mV 10 kHz三角波時的輸出波形

對比軸向載荷下諧振梁振動的機械系統(tǒng)，當外載荷達到極小值點時振動系統(tǒng)剛度最小，由于剛度的松弛，諧振頻率下降的同時可以看出振蕩幅度顯著上升。這種幅度調制現象隨著頻率調制力度的增強而增強，屬于參數載荷系統(tǒng)固有的現象。

4　結語

本文根據力學平衡建立了動態(tài)軸向載荷下諧振梁振動的數學模型，利用等效電路方法獲得了該模型在一系列典型載荷下的響應。諧振梁在動態(tài)載荷下的響應對于載荷的幅度、頻率、相位、占空比都極其敏感，并表現出強烈的非線性特征。可見，諧振梁在動態(tài)載荷下的行為是相當豐富的，值得繼續(xù)深入研究。

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邢維巍（1973-），男，副教授，現于北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院任教，主從事諧振式傳感器的動態(tài)特性及信號處理的研究，xingweiwei@buaa.edu.cn；

張碩（1993-），女，北京航空航天大學儀器儀表工程專業(yè)碩士研究生，主要研究方向為諧振式傳感器的動態(tài)特性及信號處理，xiaoshuo@bupt.edu.cn。

Resonant Beam Vibrating Response under Dynamic Axial Load Analysis*

XING Wewei*，ZHANG Shuo，FAN Shangchun
（School of Instrument Science&Opto-electronics Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

In the field of aero and space flight control，in order to realize high accuracy and high dynamic measure?ment of key parameters，it is urgent to develop resonant transducers with fast response feature.A resonant sensor is essentially a mathematical mapping between the input and the vibration state of the resonator.This mapping is usu?ally implemented by modulating the natural frequency of the resonant beam by an axial load following the input.The core issue in high dynamic applications is the vibration response of the resonant beam under dynamic axial load.The mathematical model of resonant beam vibrating behavior under dynamic axial load was established through the basic micro element mechanical balance relationship.This model can be applied in more fields than the Mathieu equation，and it is more difficult to be solved analytically or numerically.Thus the equivalent circuit meth?od was introduced to solve the model.By simulation on the equivalent circuit，vibration response of resonant beam under several typical dynamic loads was obtained.Dynamic axial load has a strong nonlinear effect on the resonant beam with unique rules，indicating that this problem is valuable for further research and discuss.

resonant sensor；dynamic load；equivalent circuit；vibration response；Mathieu equations

TP212.1

A

1004-1699（2016）09-1372-04

項目來源：國家重大科學儀器設備開發(fā)專項項目（2014YQ350461）；國家自然基金項目（61273060，60804062）；長江學者和創(chuàng)新團隊發(fā)展計劃項目（IRT1203）

2016-03-08修改日期：2016-04-13