單機生產(chǎn)系統(tǒng)非等周期不完美預(yù)防性維護與生產(chǎn)聯(lián)合優(yōu)化*

趙濟威

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海，200093）

單機生產(chǎn)系統(tǒng)非等周期不完美預(yù)防性維護與生產(chǎn)聯(lián)合優(yōu)化*

趙濟威

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海，200093）

由于設(shè)備會隨著使用時間的增加和自身壽命增長引起的退化而逐漸磨損失效進而發(fā)生故障.因此對于生產(chǎn)企業(yè)來說，想要提高自身競爭力，就要在生產(chǎn)過程中合理地安排預(yù)防性維護以減少設(shè)備故障導(dǎo)致的計劃外停機，防止生產(chǎn)計劃和生產(chǎn)線的中斷，從而才能獲取更多收益.本文從生產(chǎn)企業(yè)的角度出發(fā)，提出單機生產(chǎn)系統(tǒng)的非等周期不完美預(yù)防性維護與生產(chǎn)的聯(lián)合優(yōu)化策略，綜合考慮生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、生產(chǎn)延遲成本及各類維護成本等，構(gòu)建了總利潤率模型，目標(biāo)是使總利潤率最大化.其中涉及到的三類維護方式為（1）完美維護——即更換；（2）小修維護——即使設(shè)備“恢復(fù)如舊”；（3）不完美預(yù)防性維護——即使設(shè)備狀態(tài)恢復(fù)到介于“完全如新”與“恢復(fù)如舊”之間的某狀態(tài).最后本論文通過數(shù)字實例，驗證了新策略模型在實際生產(chǎn)應(yīng)用中的有效性.

單機生產(chǎn)系統(tǒng) 預(yù)防性維護 聯(lián)合優(yōu)化

1　引言

在大多數(shù)生產(chǎn)企業(yè)里，設(shè)備扮演了一個很重要的角色.設(shè)備的可靠性會隨著使用時間和本身壽命的增長引起的老化過程而逐漸降低，設(shè)備逐漸失效進而發(fā)生故障，從而導(dǎo)致計劃外停機，造成生產(chǎn)計劃和生產(chǎn)線的中斷，使得利潤受損.所以，通過對設(shè)備進行維護可以減少故障、使設(shè)備維持一個良好的生產(chǎn)狀態(tài).設(shè)備的退化過程服從威布爾分布［1］.在一些時候，設(shè)備會由于發(fā)生故障及停機維護等一系列原因處于不可用狀態(tài)［2］，但是從企業(yè)角度考慮是希望設(shè)備能連續(xù)不斷工作以此來完成更多的訂單以獲取更大的利潤，這就需要在生產(chǎn)和維護之間尋求一個完美的平衡點.

Pandey［3］和Moradi［4］提出在實際生產(chǎn)系統(tǒng)中，通常把生產(chǎn)和維護兩者分開來各自安排計劃.而由于預(yù)防性維修占據(jù)了本來用來進行生產(chǎn)活動的時間，同時，如果不定時進行預(yù)防性維護，就不能對設(shè)備故障率進行有效檢測，又有可能在生產(chǎn)過程中發(fā)生突發(fā)故障，更大程度地影響生產(chǎn)進程，進而影響生產(chǎn)效率.因此單獨地決策生產(chǎn)和維護計劃容易導(dǎo)致設(shè)備過度維護，浪費人力和設(shè)備資源.所以在本文中，我們將構(gòu)建兩者聯(lián)合優(yōu)化模型來解決相關(guān)問題.

在近幾十年中，很多學(xué)者對生產(chǎn)和維護的聯(lián)合決策進行了相關(guān)研究.一些學(xué)者將目光集中在單機生產(chǎn)系統(tǒng)中［5］，Cassady和Kutanoglu［6］將聯(lián)合模型的結(jié)果分別同單獨決策生產(chǎn)和單獨決策維護的模型結(jié)果做了對比，結(jié)果表明了聯(lián)合模型的優(yōu)勢.Vrignat［7］提出了一個改善因子的概念來描述維護的效果.根據(jù)研究，維護可以大致分為以下三種［8］：（1）完美維護——指能使設(shè)備恢復(fù)到初始水平的維護，即“恢復(fù)如新”，比如更換；（2）小修維護——指可以使設(shè)備恢復(fù)到發(fā)生故障前的狀態(tài)，即使設(shè)備“恢復(fù)如舊”；（3）不完美維護——指可以使設(shè)備狀態(tài)恢復(fù)到介于“恢復(fù)如新”和“恢復(fù)如舊”之間的狀態(tài).Basile［10］在他的研究中定義了維護的程度，如果為1，則表示設(shè)備“恢復(fù)如新”，如果為0，則表示設(shè)備“恢復(fù)如舊”，如果介于0和1之間，則表示設(shè)備狀態(tài)介于“恢復(fù)如新”和“恢復(fù)如舊”之間.Fitouhi和Nourelfath［9］將預(yù)防性維護看作完美維護與生產(chǎn)計劃進行單機生產(chǎn)系統(tǒng)的聯(lián)合優(yōu)化.

然而并不是所有設(shè)備或系統(tǒng)能通過維護“恢復(fù)如新”，很多維護實際上都是屬于不完美維護.并且以上研究建立的模型基本上都運用的是等周期的預(yù)防性維護，而在實際的生產(chǎn)活動中，等周期的預(yù)防性維護其實并不適用.由于機器設(shè)備運行使用時間及設(shè)備壽命的不同，其故障率在各個時期也不相同，如果在相當(dāng)一段時間內(nèi)運用等周期的預(yù)防性維護決策，會導(dǎo)致在設(shè)備初期的過度維護，從而導(dǎo)致維護成本的增加及維修占用生產(chǎn)時間的增加，既耽誤了生產(chǎn)任務(wù)的按時交貨，也從整體上降低了生產(chǎn)企業(yè)的利潤總額.因此，之后一些學(xué)者將非等周期的預(yù)防性維護和生產(chǎn)聯(lián)合進行優(yōu)化［11］.Fitouhi和Nourelfath［12］在之前研究的基礎(chǔ)上提出了單機生產(chǎn)系統(tǒng)的非等周期性預(yù)防性維護與生產(chǎn)計劃的聯(lián)合優(yōu)化決策模型.

另外，在之前的研究建立的模型中，都沒有考慮小修維護的成本和時間，而其實在設(shè)備可靠性很低的時候，隨機故障發(fā)生的可能性會增加，進而導(dǎo)致更多的生產(chǎn)延遲和利益損失.因此小修維護的時間和成本是需要考慮進去的.Xiaohui Chen［13］等人在之前研究的基礎(chǔ)上，又將更換、小修等維護方式統(tǒng)統(tǒng)加入模型中，建立的新模型將預(yù)防性維護、小修維護、更換等與生產(chǎn)相聯(lián)合進行綜合優(yōu)化，但其模型只是考慮了總利潤，沒有考慮單位時間內(nèi)的利潤情況.

總的來說，本文將在之前研究的各種相關(guān)理論的基礎(chǔ)之上，從生產(chǎn)企業(yè)的角度出發(fā)，提出單機生產(chǎn)系統(tǒng)的非等周期不完美預(yù)防性維護與生產(chǎn)調(diào)度的聯(lián)合優(yōu)化策略，綜合考慮生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、生產(chǎn)延遲成本及各類維護成本等，構(gòu)建了總利潤率模型，目標(biāo)是使總利潤率最大化.在安排生產(chǎn)的同時，隨時測定設(shè)備的可靠性，當(dāng)其小于設(shè)定的可靠性閾值時，便對其進行維護，并引入一個“成本—時間比率”的函數(shù)，來對使用預(yù)防性維護或更換維護進行選擇和決策.最終在保證生產(chǎn)盡量按時完成的基礎(chǔ)上，使總利潤率模型的結(jié)果最大化.本論文與之前的研究相比，建立了新的總利潤率模型，該新模型更聯(lián)系實際生產(chǎn)，比之前的模型更具有實用價值.

本文的結(jié)構(gòu)大體如下：第二部分是問題描述；第三部分是聯(lián)合總利潤率模型建立；第四部分是數(shù)字實例；第五部分是結(jié)論和研究展望.

2　問題描述

本文研究單機系統(tǒng)，我們設(shè)置設(shè)備的生產(chǎn)及維護過程的結(jié)合如以下圖1所示：

第一步，對工作任務(wù)進行排序并安排生產(chǎn)；

第二步，預(yù)測設(shè)備的可靠性，將設(shè)備可靠性與可靠性閾值作比較，如果當(dāng)前可靠性小于等于可靠性閾值，去第三步，否則就回到第一步；

第三步，計算“成本-時間比率”的值來判斷進行預(yù)防性維護是否是經(jīng)濟的，如果不是，就去第四步，否則直接去第五步；

第四步，進行更換維護，然后回到第一步；

圖1　設(shè)備的生產(chǎn)及維護

第五步，對設(shè)備關(guān)鍵部位進行預(yù)防性維護，然后回到第一步.

判斷”預(yù)防性維護是否經(jīng)濟“的方法是，引入一個“成本-時間比率”的函數(shù)rct.根據(jù)之前研究中進行的分析，一旦設(shè)備狀態(tài)變差，若只在關(guān)鍵部位進行預(yù)防性維護是不經(jīng)濟的，因為維護成本偏高并且維護也占據(jù)了很多的生產(chǎn)時間.因此在這種情況下，在設(shè)備的關(guān)鍵部位進行更換的維護方式是更為合理和經(jīng)濟的選擇，并能使設(shè)備狀態(tài)“恢復(fù)如新”.為了對維護方式進行決策，即究竟選擇預(yù)防性維護還是更換方式來對設(shè)備進行維護，我們引入一個“成本-時間比率”的函數(shù)rct去進行該決策.其公式如下：

“成本-時間比率”表示單位時間的維護成本.隨著PM次數(shù)的增加，rct隨之減小，隨后在某個次數(shù)之后，rct又隨之增大，這個轉(zhuǎn)折點就是最為經(jīng)濟的預(yù)防性維護次數(shù).它表示此時就是進行更換維護代替預(yù)防性維護的最好時間，這樣就能使綜合維護成本降低.rct與預(yù)防性維護次數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如以下圖2所示.

圖2　rct與預(yù)防性維護次數(shù)關(guān)系函數(shù)圖像

在圖2中，我們假定設(shè)備失效率服從威布爾分布，其尺度參數(shù)為100h，形狀參數(shù)為1.5，設(shè)備的總加工時間為300h，設(shè)備的可靠性閾值R'為0.7，每次預(yù)防性維護的成本為200元，單次更換成本為500元，首次預(yù)防性維護的時間為3h，預(yù)防性維護周期的時間系數(shù)χi和預(yù)防性維護周期的成本系數(shù)δi分比為1.1，和1.2，設(shè)備壽命減少系數(shù)αi為0.1，設(shè)備失效率增加系數(shù)βi為［1+0.1（i-1）］，其中i表示預(yù)防性維護的次數(shù).由于預(yù)防性維護是不完美維護，而更換能使設(shè)備狀態(tài)“恢復(fù)如新”，所以在整個生產(chǎn)全過程中設(shè)備的可靠性如下圖3所示.

圖3　生產(chǎn)全過程中的設(shè)備可靠性變化示意圖

在開始生產(chǎn)的最初時刻，設(shè)備的可靠性為1，隨著設(shè)備服務(wù)時間的增加，設(shè)備可靠性隨之降低，當(dāng)降低到設(shè)定的可靠性閾值時，對設(shè)備進行預(yù)防性維護，由于預(yù)防性維護為不完美維護，設(shè)備可靠性并不能恢復(fù)到1，而是升高到介于閾值和1之間的某值；經(jīng)過幾次預(yù)防性維護后，用更換的維護方式代替預(yù)防性維護，更換可以使設(shè)備可靠性的值恢復(fù)到1.

另外我們要強調(diào)的是生產(chǎn)調(diào)度的重要性，在本文當(dāng)中，生產(chǎn)調(diào)度安排的不同即各生產(chǎn)任務(wù)排序的不同方式直接影響著總利潤率的大小.由于各任務(wù)都有它本身所設(shè)定的交貨期限，超過規(guī)定的時間交貨就屬于生產(chǎn)延遲，而生產(chǎn)延遲成本是考慮在總利潤率模型當(dāng)中的.所以因不同任務(wù)排序而導(dǎo)致各任務(wù)交貨的總延遲時間的變化對本文的目標(biāo)函數(shù)總利潤率結(jié)果大小是有很大影響的.所以，我們要尋求到最合適的排序方式.

3　模型構(gòu)建及求解

3.1數(shù)學(xué)符號及含義

本文假定有一系列生產(chǎn)任務(wù)要安排在一個單機生產(chǎn)系統(tǒng)（即一臺機器）中完成.在模型構(gòu)建時，我們要用到以下這些數(shù)學(xué)符號：

3.2模型構(gòu)建

本文所建立的模型是總利潤率模型，目標(biāo)函數(shù)即為總利潤率ω.

設(shè)備的失效率會隨著使用時間和本身壽命的增加而逐漸增大，已知對設(shè)備進行的預(yù)防性維護是不完美維護，設(shè)備的失效率函數(shù)為：

設(shè)備的可靠性公式為：

即一旦可靠性值降低到設(shè)定的可靠性閾值R'時，就進行預(yù)防性維護，可靠性閾值、設(shè)備失效率及預(yù)防性維護周期的函數(shù)關(guān)系可用以下公式表示：

即

預(yù)防性維護的時間和成本會隨著預(yù)防性維護次數(shù)的增加而發(fā)生改變，引入預(yù)防性維護的時間系數(shù)χi和成本系數(shù)δi的概念后，其公式如下所示：

其中，χi＞1，δi＞1.

為了得到最大的利潤率，我們要分別求出生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、維護成本和生產(chǎn)延遲成本.在這些因素中，設(shè)備的維護成本和生產(chǎn)延遲成本是和設(shè)備的服務(wù)時間相關(guān)的，設(shè)備服務(wù)時間的計算公式如下所示：

因此任務(wù)m的總完成時間由加工時間、預(yù)防維護時間、更換時間及小修維護時間構(gòu)成，如以下公式所示：

其中Np代表預(yù)防性維護的次數(shù)，ts代表隨機故障的小修維護時間，k代表隨機故障次數(shù)，Nr代表更換次數(shù)，tr代表單次更換的時間.

任務(wù)m的生產(chǎn)延遲時間為θm，k，tdm代表任務(wù)m的預(yù)定交貨時間，則有公式為：θm，k=max（0，tcm-tdm）.（10）

接下來我們要求出生產(chǎn)全過程中的總利潤，由生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、小修維護成本、預(yù)防性維護成本、更換成本及生產(chǎn)延遲成本等幾個要素組成.公式如下：

然后得到總利潤率，其公式為：

4　數(shù)值實例

在研究設(shè)備維護相關(guān)問題的時候，我們通常設(shè)定設(shè)備的失效率服從二參數(shù)的威布爾分布.在本文中，設(shè)置一個全新的機器，指該機器設(shè)備在其初始狀態(tài)時失效率為0，其失效率服從二參數(shù)的威布爾分布，令該分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)分別為1.5和100h，因此設(shè)備在第一個預(yù)防性維護周期內(nèi)的失效率公式如下：

本文將可靠性閾值設(shè)定為0.7，第一次預(yù)防性維護的時間和成本分別為3h和200元，小修維護的時間和成本分別為15h和300元，更換的時間和成本分別是6h 和500元.我們將設(shè)備壽命減少系數(shù)設(shè)定為α1=α2=…=αi=0.1，而設(shè)備故障率增加系數(shù)設(shè)定為βi=1.2i-1，另外，預(yù)防性維護的時間系數(shù)和成本系數(shù)分別設(shè)定為χi=1.1和δi=1.2.現(xiàn)在我們給出了在這臺設(shè)備上要進行的四個任務(wù)，其相關(guān)信息如以下表1所示.

表1　四個任務(wù)的基本信息

由于本文設(shè)定的預(yù)防性維護是非等周期的不完美預(yù)防性維護，在組織生產(chǎn)的同時，隨時預(yù)測設(shè)備的可靠性，一旦設(shè)備可靠性不高于設(shè)定的可靠性閾值，就對設(shè)備進行預(yù)防性維護，所以本文中涉及到的預(yù)防性維護是非等周期的不完美預(yù)防性維護.在本案例中，通過計算，對設(shè)備進行維護的信息列表如下表2所示.

表2　設(shè)備預(yù)防性維護信息及rct

根據(jù)表2中最后一列的信息，rct的值在第三次預(yù)防性維護時是最小的，因此這是一個轉(zhuǎn)折點，說明在此時刻，執(zhí)行預(yù)防性維護是不經(jīng)濟的，所以應(yīng)該改成更換的維護方式，也就是說應(yīng)該在第三個預(yù)防性維護周期結(jié)束時對設(shè)備進行更換，這樣一來第四次預(yù)防性維護周期就變成

了50h.那么對設(shè)備進行的維護方案及其各項數(shù)據(jù)信息如下表3所示.

表3　設(shè)備維護方案相關(guān)信息

要求得最佳的任務(wù)排序及將全過程的總利潤率最大化，我們運用列舉的方法將所有可能的情況都計算出來，得到以下的表4.

表4　各種任務(wù)排序下的總利潤及總利潤率

從表4的最后一列各種排序方案得到的總利潤率的數(shù)值大小，我們得到最后一行中的排序方案是最佳的方案，因為在這種情況下我們得到了最大的總利潤率，為44.95元/h.在這種情況下的四個任務(wù)的加工時間安排如以下表5所示.

表5　預(yù)防性維護下最優(yōu)工作排序的各項任務(wù)加工開始時間及完成時間

該設(shè)備的服務(wù)時間及其維護時間安排如以下圖4表示.

圖4　設(shè)備時間安排圖

通過這個案例，我們可以看出，對于本文建立的總利潤率的模型，可以解決單機生產(chǎn)系統(tǒng)中的非等周期不完美預(yù)防性維護和生產(chǎn)之間的聯(lián)合優(yōu)化問題，尋得最佳的工作調(diào)度方案，通過對rct值的判斷進行使用預(yù)防性維護或者更換維護方式的選擇與決策，以求得最優(yōu)的維護方案，使全過程的總利潤率ω最大化.

5　結(jié)論及展望

在大多數(shù)生產(chǎn)企業(yè)里，設(shè)備扮演了一個很重要的角色.設(shè)備的高可靠性和高可用性是生產(chǎn)獲利的關(guān)鍵.但是設(shè)備的可靠性會隨著使用時間和本身壽命的增長引起的老化過程而逐漸降低，設(shè)備逐漸失效進而發(fā)生故障，從而導(dǎo)致計劃外停機，造成生產(chǎn)計劃和生產(chǎn)線的中斷，使得利潤受損.預(yù)防性維護是降低設(shè)備隨機故障、使設(shè)備維持良好生產(chǎn)狀態(tài)的有效途徑.但是設(shè)備維護是需要花費時間和成本的，這就使維護工作占用了生產(chǎn)時間并提高了生產(chǎn)總成本.所以我們要將生產(chǎn)和維護兩者綜合考慮進行聯(lián)合優(yōu)化，才能提高綜合效益.在對設(shè)備進行維護方案設(shè)計時，應(yīng)將預(yù)防性維護和更換、小修維護等方式結(jié)合起來.在本文中，將預(yù)防性維護設(shè)定為非等周期的不完美維護，而更換就是完美維護方式.本文通過對rct值的判斷進行使用預(yù)防性維護或更換維護方式的選擇與決策，以求得最優(yōu)的維護方案，使全過程的總利潤率ω最大化.在對總利潤率進行計算的時候，考慮的因素有生產(chǎn)價值、生產(chǎn)成本、生產(chǎn)延遲成本及各類維護成本，全面地包括了在生產(chǎn)中涉及的各類成本因素和價值因素.在第四部分的具體案例中，我們看到，本文提出的總利潤率模型可以解決單機生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)和維護聯(lián)合優(yōu)化決策問題，制定最優(yōu)的維護方案來尋求全過程的最大總利潤率.

然而在以后解決相關(guān)問題時，可將解決方法擴展到遺傳算法、啟發(fā)式算法上，所以在今后相關(guān)問題研究中，可以重點進行算法優(yōu)化的研究工作，通過優(yōu)化解決方法來對該問題進行進一步的研究.

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Joint Optimization of Production and Aperiodic Imperfect
Preventive Maintenance for a Single-machine System

Zhao Jiwei
（School of Business，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 20093，China）

As machines wear with usage and age as degradation process，and it can be unavailable due to the scheduled maintenance and unexpected failures.Hence，F(xiàn)or a manufacturing company to be successful，the maintenance are performed when scheduling the production to restore the machines，so that the machines work continuously and the company make more profit.In this paper，from the perspective of the company，a joint optimization strategy of production and aperiodic imperfect preventivemaintenance for Single-machine System is given，and the model which aim to maximise the total profit ratio is established，the factor of production value，production cost，maintenance cost（including the preventive maintenance cost，replacement cost，and minimal repair cost for random failure），and lateness cost are considered in this model.Three types of maintenance are performed to restore the machines：（1）perfect maintenance—the system can be restored to“as good as new”，such as replacement；（2）minimal repair—it is undertaken upon failure and the machine restored“as bad as old”；（3）imperfect preventive maintenance—it makes the machine less deteriorated just between“as good as new”and“as bad as old”after maintenance.Finally，the proposed model is validated by a numerical example.

Single-machine system Preventive maintenance Joint optimization

2016年05月12日