擾動(dòng)因素下含相依索賠的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型*

覃利華 方世祖

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧，530004）

擾動(dòng)因素下含相依索賠的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型*

覃利華 方世祖

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧，530004）

本文研究一類帶有擾動(dòng)且含相依索賠的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，考慮兩種類型的索賠：主索賠和副索賠，主索賠以一定的概率引起副索賠且副索賠可能以一定的概率延遲到下一個(gè)時(shí)間段發(fā)生.通過引入輔助模型，利用遞歸等方法，得到了該模型下的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)和破產(chǎn)概率的明確表達(dá)式.最后給出了索賠額服從幾何分布的數(shù)值模擬.

復(fù)合二項(xiàng)模型 擾動(dòng) 相依索賠 Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù) 破產(chǎn)概率

1　引言

近年來，關(guān)于復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的研究在破產(chǎn)理論領(lǐng)域中受到諸多研究者的關(guān)注，Li［1］等對(duì)此模型的研究有一個(gè)比較完整的綜述.具有相依索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型已成為破產(chǎn)理論界研究的熱點(diǎn).Yuen和Guo［2］討論了具有延遲索賠的復(fù)合二項(xiàng)模型，獲得了有限時(shí)間破產(chǎn)概率的遞推公式，并且得到了最終破產(chǎn)概率的顯性表達(dá)式，Xiao和Guo［3］則得到了破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字聯(lián)合分布的遞推公式.劉和彭［4］等研究了索賠相依的二項(xiàng)模型，當(dāng)主索賠額大于給定的閥值時(shí)就隨機(jī)產(chǎn)生副索賠，得到了有限時(shí)間內(nèi)生存概率的遞推解，并在特殊情形下獲得了有限時(shí)間生存概率和最終破產(chǎn)概率的明確表達(dá)式，劉和劉［5］等則得到了 Gerber-Shiu貼現(xiàn)罰金數(shù).孫［6］討論了索賠具有時(shí)間相關(guān)性的復(fù)合二項(xiàng)模型，得到了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的漸進(jìn)解和解析解.在實(shí)際生活中，保險(xiǎn)業(yè)勢(shì)必會(huì)受到一些不確定的隨機(jī)因素（如投資，收益，付款等）的干擾，它對(duì)盈余過程勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生一定的影響.隨著破產(chǎn)論的不斷深入，這方面的研究也得到了一些研究者的關(guān)注，如Si［7］討論了帶有擾動(dòng)的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題.易和胡［8］研究了帶擾動(dòng)且含副索賠的破產(chǎn)問題，得到了破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字聯(lián)合分布的遞推公式.綜合以上的因素，本文進(jìn)一步討論了帶擾動(dòng)相依索賠的復(fù)合二項(xiàng)模型的破產(chǎn)問題，給出了相應(yīng)模型Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)，并且得到了破產(chǎn)概率的明確表達(dá)式.

2　數(shù)學(xué)模型

考慮一類相依索賠的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，它主要包括主索賠和由它引起的副索賠兩種索賠.假設(shè)在任一時(shí)間區(qū)間（n-1，n］內(nèi)發(fā)生一次主索賠的概率為p ，不發(fā)生主索賠的概率為q =1-p（0≤p≤1），并且不同時(shí)間區(qū)間內(nèi)主索賠的發(fā)生是相互獨(dú)立的.假設(shè)主索賠可能引起一次副索賠的發(fā)生，副索賠都可能以概率θ與它相關(guān)的主索賠同時(shí)發(fā)生，也可能以概率1-θ延遲到下一個(gè)時(shí)間區(qū)間發(fā)生.

假設(shè)保險(xiǎn)公司在每一單位時(shí)間區(qū)間的始端收取一個(gè)單位的保費(fèi)，則盈余過程為

為了保證公司的正常運(yùn)行，進(jìn)一步假設(shè)pμX+pμY＜1，即保證有正的安全負(fù)荷系數(shù).

定義破產(chǎn)時(shí)刻為

最終破產(chǎn)概率為

折現(xiàn)罰金期望函數(shù)為

3　主要結(jié)論

依據(jù)主索賠和副索賠是否同時(shí)發(fā)生，模型（1）可以分為兩種情形：第一種是，主副索賠同時(shí)發(fā)生，則盈余過程在每個(gè)時(shí)間段發(fā)生更新，只是初始盈余發(fā)生變化；第二種是，副索賠延遲到下一個(gè)時(shí)間段發(fā)生.對(duì)于第二種情形，需要引入一個(gè)輔助模型

其中U*（0）=0，Y表示被延遲的副索賠額.

相應(yīng)地，定義破產(chǎn)時(shí)刻為

最終破產(chǎn)概率為

折現(xiàn)罰金期望函數(shù)為

注意到只有在有主索賠發(fā)生的情況下才受到干擾項(xiàng)的產(chǎn)生，根據(jù)是否有主索賠發(fā)生和副索賠是否延遲發(fā)生.對(duì)于第一種情形（模型（1）），由全概率公式得：

當(dāng)u≥0且u≠x時(shí)，

當(dāng)u=x時(shí)，如果總索賠額大于u+1時(shí)，雖然破產(chǎn)發(fā)生了，但因?yàn)槌跏加嗍莤，故此時(shí)破產(chǎn)前盈余仍是x.因此

其中

類似地，對(duì)于模型（2），有

當(dāng)u≥0且u≠x時(shí)，

當(dāng)u=x時(shí)，

其中

由（3）和（4）式，對(duì)u從0到∞求和得

同理由（6）和（7）式，可以得到

由（10）和（11）式得到以下定理：

定理1 當(dāng)u=0時(shí)，模型（1）的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)為

其中W和W1分別由（5）和（8）式得到.

證明 由（10）和（11）式可以得到

由（14）式可以得到

將（15）式代入（13）式，得到

由（16）式即可得到（12）式.

推論1 當(dāng)u=0，a=0時(shí)，這對(duì)應(yīng)于不帶擾動(dòng)項(xiàng)的風(fēng)險(xiǎn)模型，其破產(chǎn)概率為

證明 由（5）式有

記

則有

因此

類似地，可以證明

故

定理2 對(duì)?u≥0，模型（1）的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)有如下的遞推公式：

其中x=0，1，2，…，y=1，2，…，W，W1，m（0）分別由式（5），（8），（17）得到.

證明 當(dāng)0≤z＜1，考慮m（u）和m*（u）的母函數(shù)，并對(duì)（3）和（4）式，（6）和（7）式兩端同時(shí)乘以zu+1，并對(duì)u 從0到∞求和，得到

聯(lián)立（19）和（20）式可以得到

然后比較（21）式兩端zu的系數(shù)可以得到（18）式，定理得證.

推論2 當(dāng)u=0，a=0時(shí)，模型（1）的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足

其中

該推論由定理2和（5），（8）式容易證明.

4　應(yīng)用

例 設(shè)主索賠額X和副索賠額Y服從下列的幾何分布

其中0＜α＜1，0＜β＜1，k≥1，求u=0，a=0的破產(chǎn)概率和Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù).

解 由（5）和（8）式有

從這個(gè)例子可以看出，要計(jì)算折現(xiàn)罰金數(shù)和破產(chǎn)概率的初始值，只需給定p的具體值以及X和Y的分布.若令p=0.1，α=0.5，β=0.6及θ=0.4，則由（12），（17）及上兩式，可以得到

在（18）式中令ω（x，y）=1，則（18）式就變成了模型（1）的破產(chǎn)概率，故根據(jù)以上的遞推公式以及m（0），ψ（0）即可得到任意初始值的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)和破產(chǎn)概率，在此不做一一計(jì)算.

5　結(jié)論

本文研究的模型為一類帶有擾動(dòng)且含相依索賠的二項(xiàng)模型，相依索賠的研究會(huì)有一定的難度，但筆者通過引入輔助模型，分別得到初始值為0的破產(chǎn)概率和期望折現(xiàn)罰金函數(shù)，利用遞推法進(jìn)一步得到初始值為u的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)，最后進(jìn)行了數(shù)值算例.在本次研究的基礎(chǔ)上，筆者認(rèn)為還可以進(jìn)一步研究破產(chǎn)前盈余的概率函數(shù)，破產(chǎn)赤字的概率分布函數(shù)以及破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字的聯(lián)合分布函數(shù)等重要的破產(chǎn)量.

［1］Li S，Lu Y，Garrido J.A review of discrete-time risk models［J］.Rev R Acad Cien Serie A Mat.2009，103（2）：321-337.

［2］Yueu K C，Guo J Y.Ruin probabilities for time-correlated claims in the compound binominal model［J］. Insurance：Mathematics and Economics，2001，29：47-57.

［3］Xiao Y T，Guo J Y.The compound binomial risk model with time-correlated claims［J］.Insurance Mathematics and Economics，2007，41（1）：124-133.

［4］劉東海，彭丹，劉再明.相依索賠的二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào).2009，24（3）：259 -265.

［5］劉東海，劉再明，龔日朝.相依索賠的二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu貼現(xiàn)罰函數(shù)［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué).2012，29（2）：35-39.

［6］孫歆.索賠具有時(shí)間相關(guān)性的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.畢節(jié)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2012，30（8）：51-58.

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［8］易亞利，胡源艷，歐詩德.一類帶擾動(dòng)含副索賠離散模型的幾個(gè)破產(chǎn)問題［J］.數(shù)學(xué)雜志.2013，33（4）：709 -716.

The Compound Binomial Model with Perturbation and Correlated Claims

Qin Lihua Fang Shizu
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangxi University，Nanning 530004，China）

This paper researches the compound binomial model with perturbation and correlated claims.Two types of individual claims，the main claims and by-claims，are considered，where by-claims are caused by main claims with a certain probability and may remain some time with a certain probability.By introducing a supplementary risk model and using recursive methods，the Gerber-Shiu discounted penalty function and the explicit expression of the ruin probability are obtained.A numerical example is given for geometrical claims.

Compound binomial risk model Perturbation Correlated claim Gerber-Shiu discounted penalty function Ruin probability

2016年01月13日