非線性三階三點(diǎn)邊值問題的擬上下解方法*

韓如霞

（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津，300401）

非線性三階三點(diǎn)邊值問題的擬上下解方法*

韓如霞

（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津，300401）

通過構(gòu)造擬上下解的單調(diào)迭代過程，在擬解對(duì)之間利用Sadvoskii不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了Banach空間非線性三階三點(diǎn)邊值問題解的存在性.

擬上下解對(duì) 非緊性測(cè)度 凝聚映射 Sadvoskii不動(dòng)點(diǎn)定理

1　引言

考慮非線性三階三點(diǎn)邊值問題

上下解方法和單調(diào)迭代技巧是研究微分方程初邊值問題的有力工具，其優(yōu)點(diǎn)是不但能得到解的存在性，而且能得到求解的迭代過程.擬上下解方法則是上下解方法的推廣，自從V. Lakshmikantham等提出擬上下解的概念，并通過擬上下解對(duì)的混合單調(diào)迭代序列獲得了一階常微分方程u′=f（t，u）的初值問題的擬解對(duì)的存在性［1-2］，隨后人們開始了用擬上下解方法對(duì)微分方程解的存在性的研究，2001年，李永祥對(duì)Banach空間內(nèi)一階常微分方程的初邊值問題運(yùn)用一種擬上下解方法證明其解的存在性［3］；2005年，劉旭對(duì)Banach空間內(nèi)的二階邊值問題運(yùn)用擬上下解方法證明了其解的存在性［4］；2013年，李強(qiáng)對(duì)Banach空間中一類二階三點(diǎn)邊值問題運(yùn)用擬上下解方法證明了其解的存在性［5］.受此上的啟發(fā)，本文在緊型條件下，通過非緊性測(cè)度的精巧計(jì)算，利用擬上下解單調(diào)迭代方法及Sadvoskii不動(dòng)點(diǎn)定理討論了非線性三階三點(diǎn)邊值問題（1）擬解對(duì)的存在性及其擬解對(duì)之間解的存在性.

2　預(yù)備知識(shí)

定義2.1［7］設(shè)E是實(shí)Banach空間，S是E中的有界集.

稱為集合S 的Kuratowski非緊性測(cè)度，其中diam（Bi）表示集合Bi的直徑.

顯然，0≤α（S）≤+∞.

引理2.1［6］若βη≠1，則對(duì)y∈C［0，1］，邊值問題

證明 由T的定義得.

顯然，Tn：C［I，E］→C［I，E］是正有界線性算子.

由范數(shù)的定義和格林函數(shù)的性質(zhì)有

又因?yàn)?/p>

引理2.4［7］設(shè)E是實(shí)Banach空間，S 是E中的有界集，則α（S）=0的充要條件是S 是相對(duì)緊集.

引理2.5［7］若B?C［I，E］等度連續(xù)且有界，則

引理2.6［8］若B=un｛｝?C［I，E］有界，則有

引理2.7［9］若有界，則存在可列子集，使得.

引理2.8［4］若等度連續(xù)，則等度連續(xù).

引理2.9（Sadvoskii）［10］設(shè)D是E中有界凸閉集（D不一定有內(nèi)點(diǎn)），A：D→D是凝聚映象，則A在D中必有不動(dòng)點(diǎn).

定義2.2［10］設(shè)E1，E2是Banach空間，D ?E1.設(shè)A：D →E2連續(xù)且有界.如果存在常數(shù)k≥0，使對(duì)任何有界集S?D，都滿足α（A（S））≤kα（S），則稱A是D上的k-集壓縮映象.特別地，k＜1時(shí)的k-集壓縮映象稱為嚴(yán)格集壓縮映象.如果對(duì)任何非相對(duì)緊的有界集S?D，都滿足α（A（S））≤α（S），則稱A是D上的凝聚映象.

顯然，嚴(yán)格集壓縮映象必為凝聚映象.

定義2.3 若v0，w0∈C3［I，E］滿足條件

則稱v0，w0為邊值問題（1）的一對(duì)擬上下解；若上述式子均取等號(hào)，則稱v0，w0為邊值問題（1）的擬解對(duì).

3　主要結(jié)果及證明

定理3.1 設(shè)E 為有序Banach空間，P為E中正規(guī)錐.若邊值問題（1）存在擬上下解對(duì)v0，w0∈C3［I，E］，使得v0≤w0，且f（t，x，y）：I×E×E→E連續(xù)，在［v0，w0］上滿足：

證明 （I）證明擬解對(duì)的存在性

對(duì)?h1，h2∈［v0，w0］，考慮E中三階邊值問題

由引理2.1可知，存在唯一解

①顯然，算子A：［v0，w0］×［v0，w0］→C［I，E］連續(xù)，且方程（1）的解等價(jià)于算子A的不動(dòng)點(diǎn)u=A（u，u）.

②由條件（H1）以及格林函數(shù)G（t，s）≥0可知，算子A：［v0，w0］×［v0，w0］→C［I，E］為混合單調(diào)算子.

③下證：v0≤A（v0，w0），A（v0，w0）≤w0.

④作迭代序列vn=A（vn-1，wn-1），wn=（wn-1，vn-1），n=1，2，….

由A是混合單調(diào)算子，有

下證vn｛｝，wn｛｝收斂.

令B1=vn｛｝，B2=wn｛｝，D=B1∪B2，則B1，B2等度連續(xù)且有界.由引理2.5，引理2.6，條件（H2）及非緊性測(cè)度的性質(zhì)，可得令α（D t（））=φ（t），則φ（t）≤4LTφ（t）.累次使用上述不等式，可得φ（t）≤（4L）nTnφ（t）.兩邊取范數(shù)即得‖φ（t）‖≤（4L）n‖Tn‖‖φ（t）‖.

下證：Q是凝聚映象.

對(duì)任意有界集B?Ω0，B，QB（）等度連續(xù)且有界.根據(jù)引理2.5，引理2.6，引理2.7，條件（H2）及非緊測(cè)度性質(zhì)，可知存在可列子集B0?B使得

［1］Lakshmikantham V，Leela S，Vatsala A S.Method of quasi-upper and lower solutions in abstract cones［J］.Nonlinear Anal，1982，6：833-838.

［2］Guo Dajun，LakshmikanthamV.Coupled fixed points of nonlinear operator with applications［J］. Nonlinear Anal，1987，11：623-632.

［3］李永祥.Banach空間常微分方程的一種擬上下解［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，37（3）：6-11.

［4］劉旭.Banach空間二階邊值問題的擬上下解方法［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，41（2）：4-7.

［5］李強(qiáng).Banach空間中一類二階三點(diǎn)邊值問題的一種擬上下解［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，41（1），15-18.

［6］郭麗君.非線性三階三點(diǎn)邊值問題的正解［D］.收藏地：中國(guó)知網(wǎng)，2008.6.4.

［7］郭大鈞.孫經(jīng)先.抽象空間常微分方程［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1989.

［8］Hein H R.On the behavior of noncompactness with respect to differentiation and integration of vectorvalued function［J］.Nonlinear analysis（TMA），1983，7：1351-1373.

［9］李永祥.抽象半線性發(fā)展方程初值問題解的存在性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48（6）：1089-1094.

［10］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1985.

Quasi-Upper and Lower Solutions of Nonlinear Third-order Three-point Boundary Value Problem

Han Ruxia
（College of Science，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

By employing the Sadvoskii fixed point theorem and constructing the monotone iterative process of the quasi-upper and lower solutions，the existence of solutions between quasi-solutions is obtained for nonlinear third order three point boundary value problems in Banach spaces.

Quasi-upper and lower solutions Measure of noncompactness Condensing map Sadvoskii fixed point theorem

2016年02月17日