基于LMI的連續(xù)時間線性時滯系統(tǒng)有限頻模型降階

杜鑫，范培兵，劉夫偉

（1.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200072；

2.華為技術(shù)有限公司，上海 200040）

基于LMI的連續(xù)時間線性時滯系統(tǒng)有限頻模型降階

杜鑫1，范培兵1，劉夫偉2

（1.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200072；

2.華為技術(shù)有限公司，上海 200040）

針對連續(xù)時間線性時滯系統(tǒng),研究了在系統(tǒng)工作頻率范圍為已知有限區(qū)間情形下的有限頻模型降階問題.通過引入有限頻域內(nèi)誤差傳遞函數(shù)的最大奇異值函數(shù)作為指標(biāo)函數(shù),對模型逼近性能進(jìn)行了刻畫,進(jìn)而結(jié)合一些基礎(chǔ)性的矩陣不等式技術(shù)和線性時滯系統(tǒng)性能進(jìn)行分析,得到了保持降階模型穩(wěn)定性的有限頻模型逼近性能優(yōu)化設(shè)計條件,這些條件以線性矩陣不等式（linear matrix inequalities,LMIs）的形式表示,易于檢驗和數(shù)值求解.最后,算例驗證了結(jié)果的有效性.

模型降階；有限頻域；線性時滯系統(tǒng)；線性矩陣不等式

建立一個描述系統(tǒng)動力學(xué)的數(shù)學(xué)模型是對許多工程實際系統(tǒng)進(jìn)行仿真、分析及綜合利用的必要前提.對于一些儲能元件個數(shù)較多的動態(tài)系統(tǒng)如電路系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng)等來說，通常通過機(jī)理分析等方法得到的系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的階數(shù)較高，從而給后續(xù)的系統(tǒng)仿真、分析帶來了數(shù)值計算及物理實現(xiàn)上的困難.針對這類問題，一個廣泛采用的解決方案是對原模型進(jìn)行模型降階［1-3］，即通過數(shù)學(xué)方法求取一個盡可能逼近原系統(tǒng)在工作頻率范圍內(nèi)的動態(tài)響應(yīng)特性的降階模型.在過去的30多年時間里，模型降階問題受到了包括應(yīng)用數(shù)學(xué)、控制理論等領(lǐng)域的廣泛關(guān)注.常見的模型降階方法有基于矩匹配的有理插值方法［1,3］、基于奇異值分解的平衡截斷方法［2-3］及各類數(shù)值優(yōu)化方法［4］等.

時滯是一類常見的工程現(xiàn)象，常出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、傳輸線系統(tǒng)、化工過程系統(tǒng)等［5-6］實際工程系統(tǒng)中.在過去20年時間中對時滯系統(tǒng)各類問題的研究得到了廣泛的關(guān)注［7-16］，其中時滯系統(tǒng)的模型降階問題有著重要的工程應(yīng)用背景，如RLC電路內(nèi)部鏈接傳輸線系統(tǒng)的建模與仿真等.因此關(guān)于時滯系統(tǒng)的模型降階研究已成為時滯系統(tǒng)研究領(lǐng)域的一個重要分支，相應(yīng)地出現(xiàn)了一些結(jié)果和報道，如文獻(xiàn)［7］給出了基于矩匹配法的時滯系統(tǒng)模型降階算法，這類算法使得降階模型在給定插值頻率點處及其鄰域內(nèi)都有很好的逼近效果，但是對逼近誤差進(jìn)行分析估計比較困難；文獻(xiàn)［8］從標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)格拉姆矩陣的定義出發(fā)，給出了一類時滯相關(guān)的基于位置格拉姆矩陣的平衡截斷模型降階方法；文獻(xiàn)［9-10］從格拉姆矩陣的數(shù)值計算方法出發(fā)，給出了一類快速的基于估計格拉姆矩陣的平衡截斷模型降階方法，但這兩類時滯系統(tǒng)的平衡截斷方法都無法提供標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)平衡截斷理論中的模型逼近誤差來估計上界，也無法保持原系統(tǒng)的穩(wěn)定性.除這兩類主要應(yīng)用于大規(guī)模系統(tǒng)快速模型降階的方法之外，針對相對系統(tǒng)模型階數(shù)不太高的模型降階則主要考慮采用數(shù)值優(yōu)化方法［11-16］，該方法大多基于近年來在各類控制系統(tǒng)相關(guān)問題研究中廣泛采用的線性矩陣不等式優(yōu)化方法［17］.但是，現(xiàn)有的結(jié)果中均采用全頻范圍內(nèi)的逼近性能指標(biāo)，而該指標(biāo)只能對全頻域內(nèi)的逼近誤差進(jìn)行優(yōu)化［12-16］.另外，許多實際工程系統(tǒng)的工作頻率往往為一個已知的有限頻率區(qū)間［18-21］，現(xiàn)有的結(jié)果在逼近誤差上就會顯得比較保守，特別是在頻率范圍較小的情況下，基于全頻性能指標(biāo)而得到的工作頻率范圍內(nèi)的逼近性能往往是不夠理想的.

本研究考慮已知工作頻率范圍情形下的連續(xù)時間線性時滯系統(tǒng)的模型降階問題，首先引入一個有限頻誤差系統(tǒng)傳遞函數(shù)的最大奇異值函數(shù)來作為模型在工作頻率范圍內(nèi)逼近精度的衡量指標(biāo)，然后結(jié)合投影引理、Schur補(bǔ)引理等基本的不等式工具以及一些已有的線性時滯系統(tǒng)有限頻性能分析結(jié)果［22-24］，推導(dǎo)出相應(yīng)的可優(yōu)化有限頻逼近性能的線性矩陣不等式設(shè)計條件，同時還給出了保持降階模型穩(wěn)定性的設(shè)計條件，進(jìn)而將所考慮的模型降階問題轉(zhuǎn)化為一組基于線性矩陣不等式（linear matrix inequalities，LMIs）的優(yōu)化問題，可方便地通過Matlab中的LMIs求解工具箱進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值求解.最后，通過數(shù)值算例驗證了本方法的有效性.

1 問題描述

考慮如下方程描述的連續(xù)時間線性時滯系統(tǒng)：

式中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u（t）∈Rl為系統(tǒng)輸入向量，y（t）∈Rm是系統(tǒng)輸出向量，A，Ad，B，C，Cd，D為系統(tǒng)參數(shù)矩陣，d＞0為未知的定常時延，假設(shè)其上界為已知常數(shù)該系統(tǒng)在頻域內(nèi)的表現(xiàn)形式為

式中，U（jω），X（jω）和Y（jω）分別為信號u（t），x（t）和y（t）經(jīng)傅里葉變換后的頻域表達(dá)形式.系統(tǒng)輸入輸出信號之間的關(guān)系可進(jìn)一步表達(dá)為Y（jω）=G（jω）U（jω），其中G（jω）為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，

本研究討論由方程（1）或（2）描述的線性時滯系統(tǒng)有限頻模型降階問題，即求取一個階數(shù)低于給定系統(tǒng)的降階系統(tǒng)：

式中，xr（t）∈Rr為降階系統(tǒng)的低維狀態(tài)向量，u（t）∈Rl為和原系統(tǒng)相同的輸入向量，yr（t）∈Rm為降階系統(tǒng)的輸出向量，Ar,Adr,Br,Cr,Cdr,Dr為待求的參數(shù)矩陣.同樣，降階系統(tǒng)也可以在頻域上進(jìn)行描述，其輸入輸出的頻域關(guān)系為Yr（jω）=Gr（jω）U（jω），其中Gr（jω）為降階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，

且該降階系統(tǒng)與原系統(tǒng)在給定頻率范圍內(nèi)的誤差逼近性能滿足

以上文章并非寫出履歷的事實，而是從“追求真理”的角度整理自己的思想問題。而從書名可知，為使佛教相關(guān)人士注意，此文章包含偏差及強(qiáng)調(diào)。敘述自誕生至開始修習(xí)洋學(xué)的前半部分相當(dāng)于長岡時期的事，后半部分則相當(dāng)于東京大學(xué)時期的事。

來作為模型逼近性能的刻畫指標(biāo)，通過設(shè)計相應(yīng)的優(yōu)化算法使得該指標(biāo)函數(shù)極小，進(jìn)而給出相應(yīng)的降階系統(tǒng)模型.

對此，我是不敢茍同的。有次，我實在沒忍住，跟她分享了自己的想法：“你總覺得自己是個姑娘，所以不該為生活奔波，理應(yīng)坐享其成?？墒巧顝膩聿粫驗槟闶枪媚锞蜁δ愀裢忾_恩?！?/p>

引理2（投影引理） 給定Γ,Λ,Φ，存在矩陣F滿足ΓFΛT+（ΓFΛT）T+Φ＜0的充分必要條件是

2 主要結(jié)果

首先給出滿足有限頻域內(nèi)性能指標(biāo)的降階系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣設(shè)計條件，然后給出保持降階模型穩(wěn)定性的設(shè)計條件，根據(jù)得出的這兩個設(shè)計條件，降階模型的參數(shù)矩陣可以方便地通過求解一組線性矩陣不等式優(yōu)化問題得出.

“直開臨杪”之“杪”，《全宋詞》有一缺字符，而宋刻本有。依律“凡間謫墮”前缺一字，《全宋詞》有一空方(缺字符)，而宋刻本連書不空。

定理1 考慮方程（1）給出的連續(xù)時間線性時滯系統(tǒng)，其中系統(tǒng)的工作頻率范圍ω∈［ω1,ω2］，如果存在對稱正定矩陣Q11,Q22,Z11,Z22，對稱矩陣P11,P22,P11,P22以及矩陣使得下列線性矩陣不等式成立：

一是檢測+宣傳：營造良好氛圍。一要堅持強(qiáng)化謀劃布局，提升食品安全宣傳資源整合能力、創(chuàng)新線上線下宣傳模式，形成以上帶下、以下促上，上下共同發(fā)力，整體推進(jìn)。二要打破部門間信息壁壘，發(fā)揮各部門便民信息引流作用，將檢測宣傳內(nèi)容與便民信息打造升級為涵蓋全方位監(jiān)管工作的綜合性信息平臺。

那么可給出待求解的降階系統(tǒng)參數(shù)矩陣：

本研究重點討論在已知系統(tǒng)工作頻率范圍為有限區(qū)間ω∈［ω1,ω2］時求取最佳的降階模型參數(shù)矩陣，使得降階系統(tǒng)和原給定系統(tǒng)在已知的工作頻率范圍內(nèi)具有最好的逼近性能.為此，這里選取誤差傳遞函數(shù)在已知工作頻率區(qū)間上的最大奇異值

2項研究[18，21]報道了中藥冷熱交替浸泡治療腦卒中后肩手綜合征的BI評分結(jié)果。各研究間統(tǒng)計學(xué)異質(zhì)性較大(P=0.11，I2=61%)，采用隨機(jī)效應(yīng)模型進(jìn)行分析。Meta分析結(jié)果顯示：試驗組BI評分高于對照組，差異有統(tǒng)計學(xué)意義[SMD=2.68，95%CI(1.94,3.43)，P<0.000 01]，見圖4。

證明 由給定時滯系統(tǒng)模型及待求的降階時滯系統(tǒng)模型，可得出二者之間的誤差系統(tǒng)為

式中，ye（t）=y（t）-yr（t）為模型逼近誤差，xe（t）=［x（t）Txr（t）T］T為誤差系統(tǒng)的增廣狀態(tài)向量.誤差系統(tǒng)的參數(shù)矩陣分別為

肌膚補(bǔ)水除了使用補(bǔ)水保濕的孕婦護(hù)膚品外，最健康的方式就是通過飲食補(bǔ)水來潤澤肌膚，再輔助孕期專用的護(hù)膚品，加上規(guī)律的飲水，就可以幫助孕媽們甩掉缺水肌膚，重拾水潤嫩白肌，也讓冬日不再那么干燥。

結(jié)合誤差系統(tǒng)的參數(shù)矩陣形式，可將定理1中的不等式（7）整理為如下緊致形式：

其中

由式（12），根據(jù)引理2（即投影引理）可知

其中M1i,M2i分別表示相應(yīng)的決策變量集合?1,?2中不同的決策矩陣變量.由定理1和2可知

式中，“?”表示相應(yīng)的矩陣對稱項，Tr=［Ir×r0r×（n-r）］T,ωc=0.5（ω1+ω2），以及

注1 結(jié)合定理1和2中給出的設(shè)計條件，可以令有限頻域內(nèi)逼近誤差上界γ為優(yōu)化目標(biāo)，其余涉及的矩陣變量為決策變量，進(jìn)而將本有限頻模型降階問題轉(zhuǎn)化為下列線性矩陣不等式優(yōu)化問題：

由上式以及奇異值的定義可得

即原模型和降階模型之間滿足式（9）所描述的有限頻模型逼近誤差上界，證畢.

3、費用與人員費用。長期以來，科研經(jīng)費管理執(zhí)行以收付實現(xiàn)制為基礎(chǔ)的行政事業(yè)單位會計，沒有費用的概念。黨的十八屆三中全會指出，“財政是國家治理的基礎(chǔ)和重要支柱”，要“建立權(quán)責(zé)發(fā)生制的政府綜合財務(wù)報告制度”。

在許多實際應(yīng)用中，通常給定的系統(tǒng)都是滿足穩(wěn)定性要求的，對模型降階問題而言也往往是要求降階系統(tǒng)保持原系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征，因此在定理1之外還需要附加能使降階模型穩(wěn)定的條件.

定理2 考慮式（1）給出的連續(xù)時間線性時滯系統(tǒng)以及滿足定理1線性矩陣不等式條件的降階系統(tǒng)（8），如果同時存在對稱矩陣使得定理1中的矩陣變量同時滿足

則按照式（8）給出的降階系統(tǒng)為穩(wěn)定的線性時滯系統(tǒng).

證明 根據(jù)降階模型參數(shù)矩陣的求解式（8），可將式（18）重新整理為

對式（19）應(yīng)用引理2（投影引理）可得

由式（20）及文獻(xiàn)［23-24］中給出的關(guān)于線性時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)，可知滿足不等式（18）的降階系統(tǒng)穩(wěn)定.證畢.

基于此，在將PBL融入文檢課教學(xué)時，教師應(yīng)當(dāng)注意以下幾點：①在實施PBL教學(xué)法之前，教師應(yīng)做好充分的引導(dǎo)工作，對PBL的優(yōu)勢、特點、流程等進(jìn)行充分地講解，讓學(xué)生積極接受并快速適應(yīng)新的教學(xué)模式。②在教學(xué)過程中，教師要注意學(xué)生的個體差異，對基礎(chǔ)薄弱或自學(xué)能力差的學(xué)生加強(qiáng)引導(dǎo)。③項目數(shù)量不宜過多，以免學(xué)習(xí)和反思不夠深入。④教師要積極跟進(jìn)本學(xué)科最新的研究動態(tài)，不斷拓展自身的知識結(jié)構(gòu)，提升協(xié)調(diào)能力和管理能力，以便更好地勝任PBL教學(xué)。

注意，一方面Q＞0,Z＞0，另一方面（jω-jω1）（jω-jω2）＞0對任意ω∈［ω1,ω2］均成立，此外根據(jù)文獻(xiàn)［18］中的分析結(jié)果可知因此由式（15）可得

該優(yōu)化問題很容易通過Matlab的LMIs工具箱得到求解.

注2 定理1給出了當(dāng)系統(tǒng)工作頻率范圍在一個已知的有限頻率區(qū)間下的降階模型參數(shù)設(shè)計條件，在實際工作中還有可能出現(xiàn)系統(tǒng)工作頻率范圍為一個高頻區(qū)間的情形（即|ω|> ωh）.對這類問題可以采用和定理1類似的推導(dǎo)方法，結(jié)合文獻(xiàn)［22-23］中給出的高頻區(qū)間線性時滯系統(tǒng)分析結(jié)果來給出相應(yīng)的設(shè)計條件.

2.2 2型糖尿病 我國2型糖尿病的發(fā)病率逐年增高，這與經(jīng)濟(jì)增長、人民飲食習(xí)慣改變密切相關(guān)?；蚪M學(xué)研究表明，長期高脂飲食會增加厚壁菌門與擬桿菌的比值，并增加變形菌的數(shù)量，導(dǎo)致胰島素抵抗和肥胖，從而增加糖尿病的發(fā)病風(fēng)險[58]。腸道菌群的改變?nèi)缂俳z酵母屬、鏈球菌屬、埃希菌屬及腸球菌屬的減少會降低5-羥色胺的合成，埃希桿菌屬、芽孢桿菌屬以及酵母菌屬的減少會影響多巴胺和(或)去甲腎上腺素的產(chǎn)生，乳桿菌和雙歧桿菌減少會影響丁酸的產(chǎn)生[59]。5-羥色胺、多巴胺等可以改善肥胖，而丁酸可以改善胰島素抵抗[60]并激活腸道腸異生[61]，改善血糖[62]，從而治療2型糖尿病。

注3 對一些具有某些結(jié)構(gòu)特性的線性時滯系統(tǒng)（如輸出時滯矩陣Cd=0），往往希望降階模型也具備類似的結(jié)構(gòu)特征，因此在進(jìn)行優(yōu)化計算時可以對相應(yīng)的矩陣變量作相應(yīng)的結(jié)構(gòu)限制來解決（如要保持降階模型的輸出時滯矩陣為零的狀態(tài)，可以令決策變量

面向未來，海爾廚電繼續(xù)完善“智慧大成套”戰(zhàn)略的步伐不會停歇，致力于通過科技、模式、服務(wù)等多維度的創(chuàng)新，為消費者提供更加舒適、便捷的智慧廚房應(yīng)用體驗，也為廚電行業(yè)的轉(zhuǎn)型升級提供參考方向。據(jù)悉，2019年1季度，海爾廚電將再推出5套成套廚電，全方位滿足用戶的專屬個性化定制需求。

6.dabusu qami arun-a bui ɡebel ，dalai tenɡkis ba na arun-a要問鹽是哪里來的，是從大海和湖泊里來的)

3 算例

考慮在文獻(xiàn)［14］中給出的一個連續(xù)時間線性時滯系統(tǒng)（1），其參數(shù)矩陣為

式中，延時時長d=1.6.在本例中假設(shè)系統(tǒng)的工作頻率范圍ω∈［-0.5,0.5］.注意到系統(tǒng)參數(shù)矩陣Cd=0，為保持這樣一個限制結(jié)構(gòu)，這里采用由定理1和2共同給出的線性矩陣不等式設(shè)計條件來進(jìn)行降階模型參數(shù)矩陣的優(yōu)化計算，同時令其中的矩陣變量其Matlab的計算結(jié)果為

原系統(tǒng)、降階系統(tǒng)以及誤差系統(tǒng)在給定工作頻率范圍內(nèi)的傳遞函數(shù)最大奇異值曲線如圖1所示.相應(yīng)的工作頻率范圍內(nèi)的誤差滿足σmax（G（jω）-Gr（jω））＜0.245 6，?ω∈［-0.5,0.5］.注意到模型降階的本質(zhì)需求為通過降階模型來模擬原系統(tǒng)在給定輸入信號激勵下的輸出響應(yīng)，為進(jìn)一步說明本研究在針對輸入信號為有限頻信號時的有效性和優(yōu)越性，下面給出在兩類輸入信號頻率的帶寬均不超過給定頻率范圍情況下的時域仿真結(jié)果.首先考慮當(dāng)輸入為常見的階躍信號（頻率為零）的情況，采用下式給出的階躍信號

圖1 原系統(tǒng)、降階系統(tǒng)以及誤差系統(tǒng)在工作頻率范圍內(nèi)的傳遞函數(shù)的最大奇異值Fig.1 Maximum singular value of transfer functions of original system,reduced-order system and error system

在Matlab中進(jìn)行仿真可以得到如圖2所示的仿真結(jié)果.從圖2可以看出，在相同的階躍信號激勵下，原系統(tǒng)的輸出信號對降階系統(tǒng)的輸出信號具有良好的逼近效果.

4)自愈合效果最佳組合是微膠囊摻量 0.8%、微膠囊粒徑200 μm、養(yǎng)護(hù)齡期7 d、養(yǎng)護(hù)溫度40 ℃。

圖2 原系統(tǒng)和降階系統(tǒng)在階躍輸入信號u1（t）下的輸出響應(yīng)Fig.2 Output response of the original system and the reduced-order system with step input signals u1（t）

接下來考慮一個能量有界的三角形輸入信號：

容易驗證，該信號的主要頻率分量屬于給定的頻率區(qū)間.在該信號激勵下，原系統(tǒng)和降階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)如圖3所示.

圖3中給出的原系統(tǒng)輸出信號和降階系統(tǒng)輸出信號具有非常相似的動態(tài)特性，從時域上說明降階系統(tǒng)和原系統(tǒng)在有限頻輸入信號下的良好逼近性能.圖2和3的結(jié)果表明本方法不失為一類有效的線性時滯系統(tǒng)有限頻模型降階問題的解決方案.

圖3 原系統(tǒng)和降階系統(tǒng)在三角形輸入信號u2（t）下的輸出信號響應(yīng)Fig.3 Output signals of original system and reduced system with sinusoidal input signal u2（t）

4 結(jié)束語

本研究針對時間連續(xù)線性時滯系統(tǒng)，分析了在系統(tǒng)工作頻率范圍為已知有限區(qū)間情形下的模型降階問題.通過引入合適的用于刻畫有限頻域內(nèi)模型逼近性能的指標(biāo)函數(shù)，以及結(jié)合矩陣不等式技術(shù)和線性時滯系統(tǒng)的性能分析方法，推導(dǎo)出了用于求解降階系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣的逼近性能優(yōu)化設(shè)計條件，并給出了保持系統(tǒng)穩(wěn)定的設(shè)計條件.數(shù)值算例驗證了所提出方法的有效性，特別是在系統(tǒng)工作頻率范圍較小的情況下，所得降階模型通?？梢院芎玫乇平Ｐ驮诠ぷ黝l率范圍內(nèi)的時頻域動態(tài)特性.

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LMI based approach for finite-frequency model order reduction of continuous-time linear time-delayed systems

DU Xin1，F(xiàn)AN Peibing1，LIU Fuwei2
（1.School of Mechatronics Engineering and Automation，Shanghai University，Shanghai 200072，China；
2.Huawei Technology Co.，Ltd.，Shanghai 200040，China）

Model order reduction of continuous-time linear time-delayed systems over limited frequency intervals is discussed in this paper.The approximation performance is characterized by introducing an index associated with the finite-frequency maximum singular value of the error transfer function.With the aid of some fundamental matrix inequality techniques,sufficient criterion for stability of the reduced-order model and optimizing finite-frequency approximation error is derived.The model order reduction problems can be tackled by solving the corresponding linear matrix inequalities（LMIs）based optimization problems.A numerical example is given to show effectiveness of the proposed technique.

model order reduction；finite-frequency；linear time-delayed system；linear matrix inequality（LMI）

TP 273

A

1007-2861（2016）04-0408-13

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.04.014

2014-12-02

國家自然科學(xué)基金資助項目（61304143，61174085）

杜鑫（1983—），男，博士，研究方向為模型降階、控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計等. E-mail：duxin@shu.edu.cn