經(jīng)歷操作過程建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

劉雪梅

“三角形的三邊關(guān)系”是在學(xué)生初步了解三角形一些基本特征的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，學(xué)生雖然知道了三角形有三條邊，但對三角形“邊”的研究卻是首次接觸，短短的四十分鐘之內(nèi)要讓學(xué)生從抽象的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)三角形三邊的關(guān)系，并加以應(yīng)用并非那么容易。備課時(shí)，我一直在思考：如何讓學(xué)生既學(xué)到知識又能滲透數(shù)學(xué)模型思想？為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我采取了“一明一暗”兩條線協(xié)同并進(jìn)的教學(xué)思路。既讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)中歸納得出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一結(jié)論；同時(shí)又讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題——大膽猜測——多種方法驗(yàn)證——?dú)w納得出結(jié)論——靈活應(yīng)用”這一數(shù)學(xué)乃至科學(xué)研究的一般方法和過程，讓學(xué)生在學(xué)到知識的同時(shí)，逐步滲透數(shù)學(xué)建模思想。

一、提出問題，初步探模

1.案例描述：談話交流，引入新課

師：孩子們，我們已經(jīng)初步認(rèn)識了三角形，誰能說說三角形有什么特征？

生：三角形有3個(gè)角、3條邊、3個(gè)頂點(diǎn)。

師：說得真好！還有誰要補(bǔ)充？

生：三角形是由三條線段首尾相接的圖形。

師：是不是，同學(xué)們？

生：是！

師：那下面的圖形哪個(gè)是三角形呢？

生：（舉手）第4個(gè)。

師：那第1個(gè)為什么不是？

生：因?yàn)樗旅婺菞l線是彎曲的。

師：是的，三角形的三條邊都是直的。那第二個(gè)為什么不是呢？

生：因?yàn)樗娜龡l邊沒有首尾相接。

師：不錯(cuò)！第三個(gè)呢？

生：因?yàn)橛幸粭l線段多出來一點(diǎn)了。

師：（機(jī)智地牽引）也就是說，我們沒有充分利用這三條線段的長度，是嗎？

生：是！

過渡：如果老師也給你提供這樣的3條線段，你能圍一個(gè)三角形嗎？

生：能！

2.案例思考

教師通過回顧舊知，進(jìn)一步使學(xué)生明確三角形的基本特征，尤其“三角形是三條邊首尾相接圍成的封閉圖形”這一要點(diǎn)，為學(xué)生接下來的“圍一圍”操作活動(dòng)以及“什么樣的三條線段才能圍成一個(gè)三角形？”的活動(dòng)猜想提供了一定的依據(jù)。最后創(chuàng)設(shè)了“給你提供3條線段，你能圍一個(gè)三角形嗎？”這樣的問題情境，為學(xué)生自主學(xué)習(xí)搭建一個(gè)平臺，讓學(xué)生在老師略帶“挑釁”的激勵(lì)下積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)研究，在更自由、更廣闊的空間中去合作、探索和發(fā)現(xiàn)。

二、操作質(zhì)疑，探究新模

1.案例描述：動(dòng)手操作，引發(fā)沖突

生：（動(dòng)手圍三角形）

師：（激勵(lì)）嗯，真不錯(cuò)，有的孩子動(dòng)作很快?。ㄟ呇惨曔呏笇?dǎo)）

師：你們太棒了，這么短的時(shí)間就圍成啦？唉？好像還有同學(xué)沒圍成嘛？這樣吧，小組同學(xué)幫幫他，看他怎么回事，怎么沒圍成呢？

生：（小組里積極互助）（有人舉手求助）老師，他這個(gè)圍不成！

師：（參與到小組中看看）

生：（圍不成的學(xué)生舉手）

師：怎么了？還圍不成??！這樣吧，讓劉老師來試試？（將一學(xué)生的紙條放上展示

臺：3cm、5cm 、10cm）圍成了嗎？

生：沒有！

師：嗯，是圍不成嘛！什么原因呢？

生：（指展示臺）因?yàn)檫@兩條太短了！它們接不起來。

師：是嗎？你關(guān)注了線段的長度，真不錯(cuò)！那么怎樣才能讓它們接起來呢？

生：把下面這個(gè)根10cm的換短一些。

師：不錯(cuò)。如果下面的這根長度不變，還有別的辦法嗎？

生：可以把上面兩根加長。

師：唉，可以嗎？我們來試試。（把3cm、5 cm換成4cm、6cm）

2.案例描述：互動(dòng)思考，引發(fā)猜想

師：（邊操作邊敘述）想象一下，如果我讓4cm和6cm這兩條線段往下壓，會和10 cm的線段圍成三角形嗎？

生1：它們會成一條直線。

生2：它們會合在一起。

師：也就是說，三個(gè)頂點(diǎn)會在一條-----直線上！真的會是這樣嗎？想不想看一下？來，我們一起看。（師演示4cm和6cm兩條線段往下壓，先壓一段）這是三角形嗎？（師演示4cm和6cm繼續(xù)往下壓，直到接上）接是接上了，是三角形嗎？

生：不是！

師：還沒圍成，那怎么辦？

生：把4cm和6cm再加長！

師：再加長，一定能圍成三角形嗎？

生：行，只要讓上面兩條線段加起來大于下面那條線段就可以了！

師：嗯，有想法！到底行不行呢，我們用事實(shí)說話，一起來看大屏幕。（師演示圍5cm、7cm 、10cm）成了嗎？

生：成了！

師：（同時(shí)出示三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)）同學(xué)們，通過剛才的實(shí)驗(yàn)操作，我們一起來回顧一

下：三條線段要想圍成三角形，看來跟線段的什么有關(guān)呢？需要符合什么樣的條件??？

生：我覺得三條線段要想圍成三角形跟線段的長度有關(guān)，要讓上面兩條線段加起來的和大于下面那條最長線段，才可以圍成三角形。

師：同學(xué)們，你們同意嗎？

生：同意！

師：準(zhǔn)確地說，就是（邊說邊貼黑板貼：兩條較短線段的長度和大于最長線段能圍成三角形）那它們的和要等于最長線段呢？小于呢？（板書：等于小于不能圍成三角形）

師：這就是我們共同研究的初步發(fā)現(xiàn)。那么，對于這個(gè)發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們有疑問嗎？（預(yù)設(shè)：①有，……；好！等會兒我們來一一驗(yàn)證?、跊]有；那么到底對不對呢，還需要我們?nèi)ヲ?yàn)證）

3.案例思考

學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)：有的同學(xué)用三條線段能圍成三角形，有的則圍不成三角形，事實(shí)推翻了學(xué)生頭腦中以前的錯(cuò)誤認(rèn)知，激起了思維的矛盾，使學(xué)生不得不重新認(rèn)識三角形三邊之間的關(guān)系。這種重新認(rèn)識是學(xué)生對三角形三邊關(guān)系認(rèn)識上的第一層次。教師抓住這一契機(jī)巧妙設(shè)疑：為什么有的三條線段不能圍成一個(gè)三角形？怎樣的三條線段才能夠圍成一個(gè)三角形呢？學(xué)生經(jīng)歷擺的過程直觀地發(fā)現(xiàn)：兩條較短線段長度之和小于或等于最長線段時(shí)，不能圍成三角形，只有大于最長線段時(shí)，才能圍成三角形，得出了三角形兩條短邊之和大于最長邊的結(jié)論。至此，學(xué)生初步認(rèn)識了三角形三邊的關(guān)系。這種初步認(rèn)識是學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的第一次建模，也是認(rèn)識上的第二層次，是學(xué)生思維發(fā)展必然經(jīng)歷的一個(gè)階段。

三、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，深入建模

1.案例描述

師：剛才，你們也圍成了一些三角形，看看，是不是兩條較短線段的長度和大于最長線段，互相說一說！（教師巡視）

師：來！先請你說你這個(gè)三角形較短線段是幾厘米和幾厘米？

生1：（6cm、7cm 、9cm）較短線段是6cm和7cm，6+7>9，所以能圍成三角形。

師：說的真完整！再請一位同學(xué)來說。（請三位同學(xué)分別說）

師：（3cm、7cm 、7cm）你們有疑問嗎？

生：沒有！

師：它哪有兩條較短線段呀？它不就只有一個(gè)3cm最短嗎？

生：它兩條較長的線段都是7cm，所以只要任選其中一條和最短的線段3cm加起來就可以了。

師：（找到一個(gè)等邊三角形：5cm、5cm 、5cm）那這個(gè)三角形，它哪來的較短線段？

哪來的最長線段呀？

生：就是隨便哪兩個(gè)5cm加起來都大于另一個(gè)5cm，所以都能圍成三角形。

師：所以，任選兩條線段加起來的和都大于另一條線段，是嗎？但是我們在圍三角形的時(shí)候還有這樣一種三角形，它三條線段長度各不相同，那你說，它任意兩條線段的和都大于第三條線段嗎？（設(shè)問、驗(yàn)證）

生（大膽猜測）：是的，任意兩條線段的和都大于第三條線段，不然就圍不成三角形了。

師：比如說------

生：比如說最短的兩條加起來一定大于最長的那條。

師：那如果我把這樣的三角形三條邊給它標(biāo)上號，分別是，那么+和什么關(guān)系？

生：+肯定是大于的，否則它就圍不成三角形了。

師：（PPT出示+>）那+呢？

生：+肯定是大于的，最長的一條線段跟最短的一條線段相加，最長的線段本來就大于了，再加上肯定比大了。

師：哦，太好了，不但會思考而且會推理，真棒！再來看，+和比呢？

生：+肯定大于，因?yàn)楹投急却?，它們加起來一定比大?/p>

師：所以，對于這樣的三角形，它也是任意兩條線段的和大于第三條線段。

師：在三角形中，我們可以把圍成三角形的這三條線段叫做三角形的邊（PPT出示：邊）那么，同學(xué)們，你們又有什么新的發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。（PPT出示）（揭示板書及課題）

2.案例思考

數(shù)學(xué)模型的形成是一個(gè)逐步抽象的過程，怎樣抽象和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型呢？學(xué)生通過大量的操作感悟和理性分析，已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。原本以為“三角形兩條短邊之和大于最長邊”的結(jié)論會得到教師的肯定，然而，教師的反應(yīng)僅僅是“是嗎？”二字，這使學(xué)生敏感地意識到這種表達(dá)可能有問題，問題出在哪呢？學(xué)生不得不深思。教師適時(shí)引出兩組數(shù)據(jù)（3cm、7cm 、7cm；5cm、5cm 、5cm），也就是當(dāng)沒有兩條較短線段，也沒有最長線段的時(shí)候如何檢驗(yàn)學(xué)生先前得出的結(jié)論呢？最后學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)：在三角形中，任意兩邊之和都大于第三邊。對“任意”二字的理解，使學(xué)生對三角形三邊之間關(guān)系的認(rèn)識得到了深化。這種深化的認(rèn)識和理解是學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的再次建模，是認(rèn)識上的第三層次。最后，教師引入用字母式子表示，體現(xiàn)了規(guī)律的簡潔性。至此，學(xué)生對數(shù)學(xué)模型完成了建構(gòu)，理解也更加深刻。