基于三參數(shù)雙τ2強(qiáng)度理論的厚壁圓筒極限壓力分析*

陳四利， 李艷宇， 張精禹

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 沈陽(yáng) 110870)

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基于三參數(shù)雙τ2強(qiáng)度理論的厚壁圓筒極限壓力分析*

陳四利， 李艷宇， 張精禹

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 沈陽(yáng) 110870)

為了得到均布載荷作用下拉壓同性材料與拉壓異性材料厚壁圓筒彈塑性分析全過程的統(tǒng)一解析解，采用三參數(shù)雙τ2強(qiáng)度理論對(duì)厚壁圓筒進(jìn)行彈塑性應(yīng)力分析.通過引用三參數(shù)雙τ2強(qiáng)度理論中的極限應(yīng)力比α與β對(duì)拉壓同性材料和拉壓異性材料進(jìn)行了統(tǒng)一分析，分別得到了彈性極限壓力、彈塑性極限壓力以及彈塑性區(qū)應(yīng)力與材料的極限應(yīng)力比和彈塑性半徑的關(guān)系式.結(jié)果表明，不僅材料的極限應(yīng)力σt、極限應(yīng)力比α和β對(duì)厚壁圓筒的極限承載能力有影響，而且厚壁圓筒的內(nèi)、外半徑亦與厚壁圓筒的極限壓力有關(guān).

均布載荷； 解析解； 厚壁圓筒； 極限應(yīng)力比； 彈塑性應(yīng)力； 彈性極限壓力； 彈塑性極限壓力

Tresca強(qiáng)度理論和Mises屈服準(zhǔn)則只適用于拉壓同性材料，而在實(shí)際工程中，大部分材料均屬于拉壓異性材料，因此，采用Tresca強(qiáng)度理論和Mises屈服準(zhǔn)則對(duì)這類材料進(jìn)行彈塑性分析將產(chǎn)生較大誤差.近年來(lái)，對(duì)于拉壓異性材料厚壁圓筒或厚壁圓環(huán)的彈塑性分析引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，并且取得了良好的進(jìn)展[1-5].1990年統(tǒng)一強(qiáng)度理論提出之后，楊宇宙[6-7]、敖文剛[8]均采用雙剪統(tǒng)一理論進(jìn)行了厚壁圓筒極限載荷統(tǒng)一解的分析，不同之處在于其充分考慮了中間主應(yīng)力σ2對(duì)材料的影響.本文采用三參數(shù)雙τ2強(qiáng)度理論對(duì)厚壁圓筒進(jìn)行極限壓力分析，在考慮中間主應(yīng)力對(duì)材料的影響以及材料極限拉壓比不同的基礎(chǔ)上，充分思量了不同材料的剪拉比不同的特點(diǎn)，使其更好地適用于不同材料的極限應(yīng)力分析.

1　三參數(shù)雙τ2強(qiáng)度理論

(1)

假設(shè)3種極限應(yīng)力狀態(tài)分別為單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)、單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)以及純剪切應(yīng)力狀態(tài).設(shè)單軸壓縮極限應(yīng)力為σc，單軸拉伸極限應(yīng)力為σt，剪切極限應(yīng)力為τk，將3種極限應(yīng)力表示3個(gè)主應(yīng)力，并引入極限應(yīng)力比α和β，其中，α=σc/σt，β=τk/σt，分別代入式(1)可求得3個(gè)參數(shù)的表達(dá)式，即

(2)

將式(2)及主剪應(yīng)力和平均應(yīng)力表達(dá)式代入式(1)，可得新的三參數(shù)雙τ2強(qiáng)度理論表達(dá)式，即

(3)

2　厚壁圓筒的極限壓力分析

圖1為厚壁圓筒模型.某受均布荷載作用下的厚壁圓筒，外半徑為rm，內(nèi)半徑為rn，其受均布荷載為q，假設(shè)材料為理想塑性不可壓縮，對(duì)此圓筒進(jìn)行極限壓力分析.

2.1彈性狀態(tài)

由于外壓為正，則徑向正應(yīng)力σρ為壓應(yīng)力，環(huán)向正應(yīng)力σφ為拉應(yīng)力，應(yīng)力分布大致如圖2所示.

圖1　厚壁圓筒模型Fig.1　Model for thick-wall cylinder

根據(jù)徐芝綸[12]的彈性力學(xué)解答可知其邊界條件為

圖2　應(yīng)力分布Fig.2　Stress distribution

(4)

式中，ρ為厚壁圓筒的徑向半徑.進(jìn)一步可求得在外壓作用下其彈性解為

(5)

(6)

根據(jù)平面應(yīng)變狀態(tài)即εz=0可得

(7)

取μ=0.5，則式(7)可整理為

(8)

由式(4)～(6)可知

σ1=σφ≥σ2=σz≥σ3=σρ

(9)

將式(9)分別代入主剪應(yīng)力的公式可得

(10)

將式(10)代入式(1)中的第一式整理可得

(11)

則彈性極限載荷為

(12)

式中：

應(yīng)用統(tǒng)一強(qiáng)度理論求得的彈性極限載荷為

(13)

式中，b為反映中間主應(yīng)力效應(yīng)的參數(shù).

2.2塑性區(qū)

隨著均布載荷的繼續(xù)增加，當(dāng)均布載荷大于圓筒所能承受的彈性極限載荷，即q>qem時(shí)，圓筒的外壁將發(fā)生塑性變形，內(nèi)壁附近仍然為彈性變形，且隨著q的繼續(xù)增加，塑性區(qū)將不斷擴(kuò)展，其模型如圖3所示.

圖3　彈塑性分析模型Fig.3　Elastic plastic analysis model

假定彈塑性區(qū)的半徑為rs，將圓筒的彈性區(qū)和塑性區(qū)近似認(rèn)為是兩個(gè)圓筒，此時(shí)的外壓為qa，rn≤r≤rs為彈性區(qū)，rs≤r≤rm為塑性區(qū).在塑性區(qū)范圍內(nèi)應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)條件，分別為屈服條件與平衡方程，其平衡方程為

(14)

(15)

將式(15)代入式(14)中可得

(16)

根據(jù)邊界條件

(17)

可解得其塑性區(qū)的應(yīng)力為

(18)

而在彈性區(qū)rn≤r≤rs，應(yīng)滿足邊界條件

(19)

且在r=rs處符合連續(xù)性條件，在r=rs處材料剛好發(fā)生屈服，計(jì)算可得彈性區(qū)的應(yīng)力為

(20)

(21)

其中，將ρ=r=rs代入式(11)、(12)，可得到qe，qe為應(yīng)用本文理論求得的彈性極限載荷.

(22)

隨著q的不斷增大，塑性區(qū)不斷向內(nèi)擴(kuò)展，當(dāng)ρ=r=rn時(shí)，整個(gè)厚壁圓筒將全部處于塑性狀態(tài)，此時(shí)，又稱為全塑性狀態(tài).將r=rn代入式(22)，可得到塑性極限載荷，即

(23)

應(yīng)用統(tǒng)一強(qiáng)度理論求得的彈性極限載荷為

(24)

對(duì)于拉壓同性材料其塑性極限載荷為

(25)

3　結(jié)　論

本文應(yīng)用已提出的三參數(shù)雙τ2強(qiáng)度理論對(duì)受均布外載荷作用下的厚壁圓筒進(jìn)行了極限壓力分析，得到其變形全過程的解析解，其結(jié)論如下：

1) 對(duì)拉壓同性材料與拉壓異性材料的厚壁圓筒進(jìn)行了分析，得到了一個(gè)統(tǒng)一的理論表達(dá)式；

2) 通過引用的極限應(yīng)力比α與β可知，厚壁圓筒的極限承載能力不僅與材料的拉伸強(qiáng)度有關(guān)，材料的極限壓拉比α以及極限剪拉比β亦對(duì)其極限承載能力有一定影響；

3) 厚壁圓筒的極限承載能力與厚壁圓筒的半徑有關(guān)，且給定不同材料的σt、極限應(yīng)力比α與β即可得到不同材料的厚壁圓筒的極限壓力.

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(責(zé)任編輯：鐘媛英文審校：尹淑英)

Limit stress analysis for thick-wall cylinder based on tri-parameter and twinτ2strength theory

CHEN Si-li, LI Yan-yu, ZHANG Jing-yu

(School of Architecture and Civil Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

In order to obtain the unitive analytical solution of whole elastic-plastic analysis process for the thick-wall cylinder prepared by two materials with the same tensile and compressive strengths as well as the different tensile and compressive strengths under the effect of uniformly distributed load, the elastic-plastic stress analysis for the thick-wall cylinder was carried out with the tri-parameter and twinτ2strength theory. Through quoting the limit stress ratioαandβin the tri-parameter twinτ2strength theory, the uniform analysis for the materials with the same tensile and compressive strengths as well as the different tensile and compressive strengths were performed. In addition, the elastic limit pressure and elastic-plastic limit pressure as well as the relationship between the stress in the elastic and plastic zone, limit stress ratioαandβof materials and elastic-plastic radius were obtained, respectively. The results show that not only the material limit stressσt, limit stress ratioαandβhave certain influence on the ultimate bearing capacity of thick-wall cylinder, but also the limit pressure of thick-wall cylinder is associated with its inside and outside radius.

uniformly distributed load; analytical solution; thick-wall cylinder; limit stress ratio; elastic-plastic stress; elastic limit pressure; elastic-plastic limit pressure

2015-11-03.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51279109).

陳四利(1959-)，男，遼寧綏中人，教授，博士，主要從事環(huán)境巖土工程材料理論與試驗(yàn)等方面的研究.

建筑工程

10.7688/j.issn.1000-1646.2016.05.14

TU 501

A

1000-1646(2016)05-0555-05

*本文已于2016-05-12 14∶01在中國(guó)知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20160512.1401.040.html