開爾文定理的一個(gè)注記及其應(yīng)用

劉延柱

（上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，上海 200240）

開爾文定理的一個(gè)注記及其應(yīng)用

劉延柱

（上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，上海 200240）

開爾文-臺(tái)特-切塔耶夫定理中關(guān)于含保守力和陀螺力的線性系統(tǒng)穩(wěn)定性條件指出：若保守系統(tǒng)不穩(wěn)定，特征值無零根且具有偶數(shù)個(gè)正實(shí)根，則陀螺力的加入可使系統(tǒng)轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.若正實(shí)根為奇數(shù)個(gè)，則加入陀螺力也不可能改變系統(tǒng)的不穩(wěn)定性.定理不涉及有零根情形.作為開爾文定理的補(bǔ)充，本文基于二自由度系統(tǒng)證明：若保守系統(tǒng)不穩(wěn)定，正實(shí)根為奇數(shù)個(gè)，且特征值存在零根，則陀螺力的加入也能使系統(tǒng)轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.作為定理的實(shí)際應(yīng)用，討論勻速旋轉(zhuǎn)的非慣性坐標(biāo)系中的平衡穩(wěn)定性問題.若將旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的離心慣性力視為有勢(shì)力，則成為包含離心力勢(shì)能的形式上的保守力場(chǎng).由于受擾運(yùn)動(dòng)有科氏慣性力出現(xiàn)，此類系統(tǒng)與慣性參考系的保守力場(chǎng)并不等同，不允許應(yīng)用拉格朗日定理以勢(shì)能極小值條件判斷其平衡穩(wěn)定性.利用開爾文定理的上述補(bǔ)充條件，科氏慣性力的加入可改變此形式上保守系統(tǒng)的穩(wěn)定性.以圓軌道二體系統(tǒng)和限制性三體問題的拉格朗日點(diǎn)的一次近似穩(wěn)定性為例.僅考慮萬有引力場(chǎng)和離心慣性力場(chǎng)，為含零根和一個(gè)正實(shí)根的不穩(wěn)定保守系統(tǒng).增加科氏慣性力項(xiàng)可使不穩(wěn)定轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.

開爾文定理，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，科氏慣性力

引言

開爾文（Lord Kelvin）和臺(tái)特（Tait PG）于1879年提出，后經(jīng)切塔耶夫（Chetayev N G）嚴(yán)格證明的判斷線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定理指出：若保守系統(tǒng)不穩(wěn)定，特征值無零根且不穩(wěn)定度（具有正實(shí)根特征值的數(shù)目）為偶數(shù)，則陀螺力的加入可使系統(tǒng)轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.若不穩(wěn)定度為奇數(shù)，則加入陀螺力也不可能改變系統(tǒng)的不穩(wěn)定性［1-7］.定理不涉及有零根情形.本文基于二自由度系統(tǒng)證明：若保守系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定度為奇數(shù)，且特征值存在零根，則陀螺力的加入也能使系統(tǒng)轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.似可作為開爾文定理中關(guān)于陀螺力影響保守系統(tǒng)穩(wěn)定性的補(bǔ)充.

勻速旋轉(zhuǎn)的非慣性參考系中的離心慣性力若視為有勢(shì)力，則成為包含離心力勢(shì)能在內(nèi)的形式上的保守力場(chǎng).但由于受擾運(yùn)動(dòng)中有科氏慣性力出現(xiàn)，此類系統(tǒng)與慣性參考系的保守力場(chǎng)并不等同.由于未考慮科氏慣性力因素，不允許應(yīng)用拉格朗日定理以勢(shì)能極小值條件判斷其平衡穩(wěn)定性.根據(jù)開爾文定理的上述補(bǔ)充條件，科氏慣性力的加入可使此形式上的保守系統(tǒng)從不穩(wěn)定轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.以圓軌道二體系統(tǒng)和限制性三體問題的拉格朗日點(diǎn)的一次近似穩(wěn)定性為例.

1 開爾文定理的補(bǔ)充條件

定理：若保守系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定度為奇數(shù)，且特征值存在零根，則陀螺力的加入能使系統(tǒng)轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.

證明：帶陀螺力的二自由度保守系統(tǒng)線性化擾動(dòng)方程的一般形式為

特征方程為

其中

如系統(tǒng)存在零根，則a4=0，即k1與k2的乘積為零.不失一般性，設(shè)k2=0，k1<0.無陀螺力時(shí)（g= 0）有正實(shí)根，保守系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定度為1.增加陀螺力后非零特征值為

2 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參考系

在以角速度ωc勻速旋轉(zhuǎn)的保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)存在雅可比積分［3-4］.

其中H為哈密頓函數(shù)，V為勢(shì)能，T2為相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，的負(fù)值為離心慣性力的勢(shì)能.其中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離. 將-T0與V之和作為修正勢(shì)能（modified potential energy），記作V*［7］.將保守力與離心慣性力合成的力場(chǎng)視為形式上的特殊保守力場(chǎng)，則勻速旋轉(zhuǎn)的非慣性參考系與慣性參考系的保守力場(chǎng)即在形式上一致.雅可比積分可改寫為

如質(zhì)點(diǎn)處于相對(duì)平衡狀態(tài)，則T2為零，V*必取駐值.質(zhì)點(diǎn)受擾產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，非零的動(dòng)能T2為擾動(dòng)速度的正定二次型.如V*為擾動(dòng)的正定函數(shù)，則哈密頓函數(shù)H亦為正定.取H為李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)李雅普諾夫定理，非慣性系中的相對(duì)平衡穩(wěn)定.V*的正定性條件即函數(shù)極小值條件.從而證明，修正勢(shì)能V*在平衡位置處取孤立極小值為平衡穩(wěn)定性的充分條件.拉格朗日定理似可擴(kuò)展至勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參考系［1-3］.

以上證明過程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)雖無問題但理論根據(jù)有誤.受擾運(yùn)動(dòng)由于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的科氏慣性力因不做功而與修正勢(shì)能V*無關(guān).以不含科氏慣性力因素的修正勢(shì)能V*為依據(jù)不可能對(duì)穩(wěn)定性做出正確判斷.有關(guān)教材列舉的用拉格朗日定理判斷此類系統(tǒng)的典型例題為受旋轉(zhuǎn)圓環(huán)約束的質(zhì)點(diǎn)平衡穩(wěn)定性.由于科氏慣性力與質(zhì)點(diǎn)受約束的相對(duì)運(yùn)動(dòng)正交不影響穩(wěn)定性判斷僅為特例［1-3］.一般情況下不允許利用拉格朗日定理判斷勻速旋轉(zhuǎn)非慣性系中的平衡穩(wěn)定性.

3 二體系統(tǒng)的穩(wěn)定性

作為最基本的天體力學(xué)問題，二體系統(tǒng)的穩(wěn)定性已經(jīng)受漫長(zhǎng)歷史的嚴(yán)格檢驗(yàn)成為不爭(zhēng)的事實(shí)，但很難給出簡(jiǎn)明的物理解釋.圓軌道中的衛(wèi)星作穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力與離心慣性力互相平衡.如衛(wèi)星因擾動(dòng)朝地球方向有微小位移，必導(dǎo)致萬有引力增大，離心慣性力減小.如忽略受擾運(yùn)動(dòng)的科氏慣性力，其合力作用方向與擾動(dòng)方向一致而趨向不穩(wěn)定，與實(shí)際存在的穩(wěn)定現(xiàn)象相悖.

以月球和地球組成的二體系統(tǒng)為例.設(shè)地球和月球的質(zhì)量為m1，m2，質(zhì)心O1與O2的距離為d，與系統(tǒng)的質(zhì)心O點(diǎn)的距離a1，a2分別為

月球和地球分別繞O點(diǎn)作半徑a1和a2的圓軌道運(yùn)動(dòng).以O(shè)為原點(diǎn)，過O點(diǎn)的O1與O2連線為x軸，建立軌道平面坐標(biāo)系（O-xy）.設(shè)Gm2為地球和月球的引力參數(shù)，G為萬有引力常數(shù)，（O-xy）的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωc可利用地球?qū)πl(wèi)星的引力與離心力，或衛(wèi)星對(duì)地球引力與離心力的平衡條件解出

其中μ=μ1+μ2.因m1?m2，可近似認(rèn)為總質(zhì)心O與地球質(zhì)心O1重合.設(shè)月球質(zhì)心O2受擾后的位置坐標(biāo)為x，y，與O點(diǎn)的距離為（圖1）.此系統(tǒng)的修正勢(shì)能V*為

將平衡狀態(tài)的坐標(biāo)以下標(biāo)s表示，即xs=d，ys=0.采用一次近似穩(wěn)定性判斷方法，考慮科氏慣性力，列出衛(wèi)星在（O-xy）中相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

令

代入方程組（10），僅保留 ξ，η的一次項(xiàng)，化作線性化擾動(dòng)方程

其中

如略去方程組（11）中的科氏慣性力項(xiàng)，將式（12）代入后導(dǎo)出特征方程

除零根λ=0表示衛(wèi)星沿軌道切線方向的隨遇性平衡以外，純虛根λ=±iωc表示指向地球方向的穩(wěn)定平衡，受擾運(yùn)動(dòng)為頻率ωc的周期運(yùn)動(dòng).科氏慣性力的引入使不穩(wěn)定保守系統(tǒng)轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.

圖1 二體系統(tǒng)Fig.1 Two-body system

4 拉格朗日點(diǎn)的穩(wěn)定性

小質(zhì)量物體在二體引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，忽略其對(duì)引力場(chǎng)影響的動(dòng)力學(xué)問題在天體力學(xué)中稱為限制性三體問題，例如飛船在地球-月球引力場(chǎng)中的軌道運(yùn)動(dòng).仍利用二體系統(tǒng)的參考坐標(biāo)系（O-xy），質(zhì)量為m的飛船P在地月引力場(chǎng)中的修正勢(shì)能為

其中ρ1，ρ2為飛船P與O1和O2的距離（圖2）.

圖2 地月系統(tǒng)中的飛船位置Fig.2 Position of the spacecraft in Earth-Moon system

令修正勢(shì)能V*對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)為零，解出小物體在地月引力場(chǎng)中的5個(gè)相對(duì)平衡位置Li（i=1，2，…，5），稱為拉格朗日點(diǎn)（Lagrangian points）［3，6-7］.其中 L1，L2，L3分布在x軸的（-a1，a2），（a2，∞），（-∞，-a1）區(qū)間內(nèi)，L4，L5與地球O1和月球O2構(gòu)成邊長(zhǎng)為d的等邊三角形（圖3）.

圖3 拉格朗日點(diǎn)Fig.3 Lagrangian points

為判斷L4，L5的平衡穩(wěn)定性，計(jì)算V*對(duì)x，y的二階偏導(dǎo)數(shù)，令

得到

其中 δ=m2/（m1+m2）.飛船P在平衡位置附近的線性化擾動(dòng)方程與式（11）相同，僅其中m2以飛船質(zhì)量m代替.將式（17）代入，如略去科氏慣性力項(xiàng)，導(dǎo)出的特征方程與式（13）相同，特征值含一個(gè)零根和一個(gè)正實(shí)根保留科氏慣性力，特征方程變?yōu)?/p>

解出特征根

導(dǎo)出λ的純虛根條件，即一次近似穩(wěn)定性條件

即要求Δ≤0.0385，或 m2≤0.0385（m1+m2）.將地球和月球的質(zhì)量數(shù)據(jù)代入，算出δ=0.012，此條件得到滿足.證實(shí)科氏慣性力的加入使拉格朗日點(diǎn)L4，L5從不穩(wěn)定轉(zhuǎn)為穩(wěn)定［7-10］.

在上述二體系統(tǒng)和拉格朗日點(diǎn)的穩(wěn)定性分析中，式（12）和（17）中修正勢(shì)能 V*的二階偏導(dǎo)數(shù)均小于或等于零，不滿足V*的極小值條件.不可能也不允許用拉格朗日定理判斷其平衡穩(wěn)定性，但不滿足拉格朗日定理的平衡狀態(tài)未必不穩(wěn)定.對(duì)線性化擾動(dòng)方程所做的穩(wěn)定性分析由于存在零根而屬于臨界情形，也不能確定原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但可作為對(duì)二體問題或拉格朗日點(diǎn)等實(shí)際穩(wěn)定性現(xiàn)象的近似解釋.

5 結(jié)論

1）作為開爾文定理的補(bǔ)充，有零特征根和奇數(shù)個(gè)正實(shí)根的不穩(wěn)定保守系統(tǒng)也能借助陀螺力轉(zhuǎn)為穩(wěn)定.

2）勻速旋轉(zhuǎn)的非慣性參考系如將離心慣性力作為保守力，形式上可視為含離心力勢(shì)能的特殊保守系統(tǒng).由于忽略坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的科氏慣性力，一般情況下不允許應(yīng)用拉格朗日定理判斷此特殊保守系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.

3）作為陀螺力的科氏慣性力對(duì)勻速旋轉(zhuǎn)非慣性系穩(wěn)定性的影響遵循開爾文定理的補(bǔ)充規(guī)律.對(duì)圓軌道二體問題和拉格朗日點(diǎn)的一次近似穩(wěn)定性的分析證實(shí)上述論斷.

1 王照林.運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性及其應(yīng)用.北京：高等教育出版社，1992（Wang Z L.Stability ofmotion and its applications，Beijing：High Eucation Press，1992，in Chinese）

2 舒仲周，張繼業(yè)，曹登慶.運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性.北京：中國(guó)鐵道出版社，2001（Shu Z Z，Zhang JY，Cao D Q.Stability of motion，Beijing：China Railway Publishing House，2001 （in Chinese））

3 劉延柱.高等動(dòng)力學(xué).北京：高等教育出版社，2001 （Liu Y Z.Advanced dynamics.Beijing：High Education Press，1992（in Chinese））

4 ЧетаевНГ.Усто?чивостьдвижения.М.Гостехиздат，1950（王光亮譯.運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1959）（Chetayev N G.Stability ofmotion，Moscow：National Technical Press，1950，（in Russian））

5 МеркинДР.Гироскопическиесистемы.М.Гостехиздат，1956（MerkinDR.Gyroscopicsystem，Moscow：National TechnicalPress，1950（inRussian）

6 Kreisel M K.Theorie und anwendungen.Berlin：Springer-Verlag，1971（中譯本：賈書惠等譯.陀螺，理論與應(yīng)用.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1983（in Chinese））

7 Meirovitch L.Method of analytical dynamics.New York：McGraw-Hill，1970

8 Rimrott F P J.Introductory orbit dynamics.Braunschweig：Vieweg&Sohn，1989

9 Breakwell J，Pringle Jr R.Resonances affecting motion near the Earth-Moon equilateral libration points.Progress in Astronautics&Aeronautics，1966，17：55～74

10 Leiphltz H.Stability theory.New York：John-Wiley，1987

A NOTE OF THE THEOREM OF LORD KELVIN AND ITS APPLICATION

Liu Yanzhu

（Department of Engineering Mechanics，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

According to the theorem of Lord Kelvin，an unstable conservative system can be stabilized by the gyroscopic force when the number of positive real characteristic roots is even without zero characteristic roots.In this paper，it is proved that an unstable conservative system with zero characteristic roots and an odd number of positive real characteristic roots can also be stabilized by the gyroscopic force.As an application of the theorem of Lord Kelvin，the stability problem in a non-inertial reference frame rotating with constant angular velocity is also discussed.The rotating coordinates system is regarded as a formal conservative system with potential energy including the field of centrifugal inertial force.But the rotating system is notequivalent to the conservative inertial system，because there exists the Coriolis inertial force in perturbed motion.Therefore，the Lagrange theorem of minimal potential energy is not allowed to determine the stability in the formal conservative system.However，when the complimentary condition of Kelvin′s theorem is employed，the unstable formal conservative system can be stabilized by the Coriolis inertial force.The stability problems of two-body system with circle orbit and the Lagrange points of restrict three-body problem are analyzed as examples.Both systems under the action of gravitational and centrifugal force are unstable with one zero and one positive real characteristic root.When the Coriolis inertial force is considered，both unstable systems can be changed to be stable.

theorem of Lord Kelvin，stability theory，rotating coordinates system，coriolis inertial force Received 26 March 2015，revised 22 April 2015.

E-mail：liuyzhc@163.com

10.6052/1672-6553-2015-027

2014-03-26收到第1稿，2014-04-22收到修改稿.

E-mail：liuyzhc@163.com