二維對流擴(kuò)散方程的有限元計(jì)算方法

馮立偉+張成+屈福志

摘要：針對二維對流擴(kuò)散方程邊值問題，采用三角形剖分，使用二維線性有限元進(jìn)行計(jì)算分析。采用matlab編寫了計(jì)算程序，使用算例進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明數(shù)值解具有較高的計(jì)算精度。

關(guān)鍵詞：對流擴(kuò)散；有限元；三角形剖分；Matlab

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2016）21-0197-03

Abstract：For two dimensional convection-diffusion equation boundary value problem， using triangulation and using two-dimensional linear finite element were calculated and analyzed. Calculation program is compiled using matlab， and use a numerical example to the numerical experiments are carried out. The experimental results show that the high accuracy of the numerical solution is.

Key words：Convection- diffusion；FEM；Triangle subdivision；Matlab

對流擴(kuò)散方程描述了在自然界中大量出現(xiàn)的對流擴(kuò)散現(xiàn)象，在流體力學(xué)、環(huán)境科學(xué)以及能源開發(fā)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。因此研究對流擴(kuò)散問題的數(shù)值計(jì)算方法就尤為重要[1-3]。求解對流擴(kuò)散方程已有大量有限差分求解方法和有限元求解方法及理論分析[4-10]。本文求解二維對流擴(kuò)散方程，求解區(qū)域采用三角形剖分，在三角形單元上使用線性形狀函數(shù)進(jìn)行有限元離散，給出了詳細(xì)計(jì)算過程，并重點(diǎn)分析了使用matlab編制對應(yīng)的求解程序。數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算方法的有效性。

4 結(jié)論

通過上述兩個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，可看出有限元可實(shí)現(xiàn)對流擴(kuò)散方程的求解，數(shù)值解具有比較高的精度。當(dāng)網(wǎng)格剖分越密數(shù)值解越準(zhǔn)確，擴(kuò)散系數(shù)變小時(shí)誤差變大。

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使用JPEG2000圖像壓縮技術(shù)的優(yōu)勢，在于將JPEG圖像壓縮技術(shù)的效率提高了百分之30，而且對圖像的有損和無損壓縮可以同時(shí)進(jìn)行，圖像壓縮后的畫質(zhì)更為細(xì)膩和平滑，這是對JPEG圖像壓縮技術(shù)的一大革新。另外，將JPEG圖像壓縮技術(shù)的按塊傳輸創(chuàng)新提升為了漸進(jìn)傳輸，方便用戶使用，不必非要接收整個(gè)圖像壓縮碼流，還能隨機(jī)獲取。并可以執(zhí)行傳輸、濾波等操作程序。JPEG2000圖像壓縮技術(shù)如今在很多領(lǐng)域正在被廣泛使用，如數(shù)字醫(yī)療、圖書館、數(shù)碼傳真、打印，移動(dòng)通信等。尤其是在電子商務(wù)中得到用戶的廣泛贊譽(yù)。

3.3 小波變化圖像壓縮技術(shù)

小波變化圖像壓縮技術(shù)是根據(jù)塔式快速小波變換算法將圖像進(jìn)行分解，采用多分辨率的技術(shù)手段的工作原理：首先采用多級(jí)小波進(jìn)行圖像分解，將分解后的系數(shù)量化、編碼，形成小波圖像壓縮。小波圖像壓縮也已經(jīng)擁有了國際壓縮標(biāo)準(zhǔn)，按照MPEG-4進(jìn)行命名[3]。

小波變換圖像壓縮技術(shù)目前的發(fā)展現(xiàn)狀是采用不同算法構(gòu)建三種不同的編碼器：

第一，嵌入式小波零樹圖像編碼是空間小波樹遞編碼，這種小波零樹概念提高了小波系數(shù)的編碼概念，將高頻系數(shù)剔除出去，采用了漸進(jìn)性量化和嵌入式編碼模式，比較方便計(jì)算。小波零數(shù)圖像編碼的使用改變了以往的壓縮編碼器必須使用復(fù)雜的算法才能進(jìn)行信息處理的方式，將計(jì)算方法簡化，而且得到的結(jié)果精確可靠，因此得到了國際認(rèn)可，圖像壓縮數(shù)據(jù)處理的發(fā)展歷程上具有重要的意義。

第二，空間樹分層分割方法采用了分層小波樹集合分割算法，減小了編碼符號(hào)集在比特面上的規(guī)模，利用小波系數(shù)幅值衰減規(guī)律構(gòu)成了不同類型的空間零樹，計(jì)算方法也比較簡單，使用嵌入式比特流，提高了編碼器更多的性能。

第三，嵌入型編碼使用的優(yōu)化分層階段算法將小波分為獨(dú)立的碼塊，這些碼塊中帶有子帶部分，每個(gè)碼塊都有編碼，產(chǎn)生帶有SNR擴(kuò)展功能的編碼，支持隨機(jī)存儲(chǔ)圖像功能，與前面所述的兩種算法相比，相對較為復(fù)雜。但是壓縮性能也高。

三種圖像壓縮方法比較起來，小波圖像壓縮方法是目前來說比較被廣泛使用的。小波圖像壓縮方法要得到進(jìn)一步拓展，應(yīng)在與人眼視覺特性的結(jié)合上下功夫，提高圖像質(zhì)量，提高壓縮比，并注意與其他壓縮方法的優(yōu)勢相結(jié)合進(jìn)行研究。

3.4 分形圖像壓縮

分形圖像壓縮，是上世紀(jì)八十年代經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證明得出的壓縮比較高的圖像壓縮技術(shù)，這是基于局部迭代函數(shù)系統(tǒng)理論而產(chǎn)生的圖像壓縮技術(shù)，得到的圖像編碼技術(shù)要比以往的圖像壓縮技術(shù)高幾個(gè)數(shù)量級(jí)，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)自動(dòng)壓縮圖像的功能。

分形圖像壓縮使用的是迭代函數(shù)系統(tǒng)，其工作原理是：首先使用迭代函數(shù)系統(tǒng)定理、拼貼定理，將圖像分割成若干對應(yīng)迭代函數(shù)的子圖像，迭代函數(shù)與子圖像的壓縮比成反比，迭代函數(shù)簡單的子圖像壓縮比會(huì)比較大。解碼過程是利用迭代函數(shù)對應(yīng)子圖像的原理調(diào)出自圖像的原始狀態(tài)。

分形圖像編碼技術(shù)的幾個(gè)主要分項(xiàng)包括：對曲線長度使用類似于亞取樣、內(nèi)插法等進(jìn)行小尺度度量，與分形幾何的肚量方法不同的是采用分形思想，對不規(guī)則、復(fù)雜的圖像進(jìn)行尺度的變化。利用人機(jī)交互的拼貼技術(shù)，采用迭代函數(shù)系統(tǒng)方法，對圖像的整體和局部進(jìn)行表達(dá)，通過仿射系數(shù)的存儲(chǔ)來進(jìn)行變換達(dá)到壓縮的目的。放射變幻可以利用迭代函數(shù)系統(tǒng)達(dá)到比較高的壓縮比。將圖像進(jìn)行全自動(dòng)的分形壓縮，在尋找映射關(guān)系的過程中處理塊與塊之間的局部關(guān)系，取出冗余度，但是存在比較明顯的方塊效應(yīng)。因此在圖像解碼處理中存在一定缺陷。

采用分形圖像壓縮進(jìn)行圖像處理在圖像壓縮技術(shù)領(lǐng)域里并沒有被廣泛使用，主要原因就是其明顯的風(fēng)快效應(yīng)沒有被妥善解決。但是分形圖像壓縮技術(shù)的優(yōu)勢在于它不僅考慮了局部與局部，而且也考慮了局部與整體的相關(guān)性，與自然中的自相似與自仿射的原理有相像，因此還是有一定的使用范圍的。

3.5 其他壓縮技術(shù)

其他壓縮技術(shù)，還包括NNT壓縮、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓縮等方法。

第一，形狀自適應(yīng)壓縮是將任意形狀的圖像進(jìn)行分塊，每塊都采用DCT變換的方法，實(shí)現(xiàn)形狀自適應(yīng)變換，在變幻過程中可能會(huì)丟失一些空域相關(guān)性。因此會(huì)存在失真的現(xiàn)象。

第二，EGGER方法是對任意形狀圖像進(jìn)行小波變換，其工作原理是將圖像的像素推到與邊界框右邊框平齊的位置，使用小波變換的特性，將高頻部分的邊界部分進(jìn)行合并，引起小波分解，形成小波系數(shù)的相同相位。

第三，形狀自適應(yīng)小波變換包括對任意形狀進(jìn)行熵編碼的擴(kuò)大和嵌入式小波編碼。經(jīng)過對任意形狀可是對象的像素進(jìn)行小波變換，使像素的空域相關(guān)性、子帶區(qū)域?qū)傩园l(fā)生自相似性，實(shí)現(xiàn)任意形狀靜態(tài)的編碼標(biāo)準(zhǔn)能夠很好地表現(xiàn)出來。

第四，上述編碼方法在未來的發(fā)展方向是與人類視覺系統(tǒng)相結(jié)合，對邊緣、紋理、背景等進(jìn)行不同比例的壓縮，得到更大的壓縮比，以便更好的儲(chǔ)存和傳輸[4]。

4 圖像壓縮技術(shù)的未來發(fā)展方向設(shè)想

1）計(jì)算機(jī)速度向著高速方向前進(jìn)。這是計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛躍帶來的結(jié)果，未來可以實(shí)現(xiàn)圖像壓縮的實(shí)時(shí)化。

2）高分辨率。包括分辨率采集的提高和顯示分辨率的提高。在克服顯像管制造技術(shù)的難點(diǎn)、提高圖像圖像刷新存取速度的基礎(chǔ)上，提高分辨率將成為現(xiàn)實(shí)。

3）圖像壓縮實(shí)現(xiàn)立體化的，從二維進(jìn)入三維時(shí)代。是時(shí)利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)的發(fā)展而得到的結(jié)果，未來的圖像壓縮將不再局限于平面，而是實(shí)現(xiàn)三維立體壓縮技術(shù)。

4）利用多媒體技術(shù)來實(shí)現(xiàn)圖像數(shù)據(jù)的壓縮，方便人類接收信息的方式向著多媒體接收的方式發(fā)展。

5）按照人類的意圖和思維方式，使計(jì)算機(jī)能夠自行判斷圖像壓縮技術(shù)，實(shí)現(xiàn)圖像壓縮技術(shù)的智能化。在圖像壓縮中計(jì)算機(jī)就能達(dá)到人腦的主觀和非邏輯思維能力。

6）在計(jì)算機(jī)中植入多功能芯片，實(shí)現(xiàn)圖像壓縮為實(shí)踐服務(wù)的功能。

7）推行新的計(jì)算方法，結(jié)合遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)科，將新的理論，如Fratal理論廣泛應(yīng)用于圖像壓縮技術(shù)中，并可以在物理、數(shù)學(xué)、音樂等學(xué)科中觸類旁通。

5 結(jié)語

在過去數(shù)十年的研究過程中，圖像壓縮技術(shù)取得了很大的成績。例如小波圖像壓縮、分形推向壓縮等先進(jìn)技術(shù)，至今依然是學(xué)術(shù)界熱議的焦點(diǎn)。但是其存在的缺點(diǎn)也必須加以重視，新的技術(shù)必將對之進(jìn)行替代。在今后的發(fā)展中，應(yīng)不斷結(jié)合本文提及的視覺神經(jīng)等其他學(xué)科的運(yùn)用，將圖像壓縮技術(shù)引領(lǐng)入更加寬泛、更加廣闊的研究領(lǐng)域，讓圖像壓縮技術(shù)在信息發(fā)達(dá)的當(dāng)今社會(huì)中，得到更長遠(yuǎn)的發(fā)展和更加有益的利用。

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