轉動效應對恒星熱力學結構與演化的影響研究

王江濤，宋漢峰，2，3，邰麗婷

（1.貴州大學理學院物理系，貴州貴陽 550025；2.中國科學院天體結構與演化重點實驗室，云南昆明 650011；3.中科院國家天文臺-貴州大學天文聯(lián)合研究中心，貴州貴陽 550025）

G為引力常量，P為壓強，t為時間.能量轉移方程：

其中Xn是元素n的質量分數，右邊第二項表示核反應對化學元素豐度的影響.相應的邊界條件為

物理·自然·技術·社會

轉動效應對恒星熱力學結構與演化的影響研究

王江濤1，宋漢峰1，2，3，邰麗婷1

（1.貴州大學理學院物理系，貴州貴陽 550025；2.中國科學院天體結構與演化重點實驗室，云南昆明 650011；3.中科院國家天文臺-貴州大學天文聯(lián)合研究中心，貴州貴陽 550025）

轉動效應對恒星結構與演化的兩大方面的影響體現在動力學效應和元素混合上.本文利用國際MESA程序，研究了轉動效應對20 M⊙恒星在主序階段熱力學結構的影響.發(fā)現轉動的動力學效應能使恒星中心溫度變低，減少了恒星表面的不透明度，中心平均分子量和表面熵.由于動力學效應對恒星熱結構的調整，降低了恒星的氫燃燒率，恒星向低溫和低光度端演化.轉動的元素混合效應減小了恒星的中心溫度、密度、壓強、緊密度、表面不透明度和平均分子量，使恒星表面氦元素、氮元素明顯超豐，中心燃燒核區(qū)域變大，延長恒星在主序階段的壽命.

恒星結構與演化；轉動；元素混合

探索恒星的結構與演化是天體物理學的基礎任務，它對人們了解星系和宇宙的演化都有重要意義.近年來人們認識到轉動效應是影響恒星結構與演化非常重要的物理因素［1-13］.轉動效應對恒星結構與演化的影響體現在兩方面：動力學和元素混合效應.轉動的動力學效應指的是恒星由于受到慣性離心力的作用，赤道半徑變長，由原來的球對稱變成旋轉橢球體.這時等勢面（保守轉動時，等壓面與等勢面重合）的熱力學參量，如溫度、壓強等變成二維，即它們是半徑和余緯度的函數.恒星輻射沿轉動軸的輻射梯度將大于赤道面輻射梯度，使恒星極區(qū)溫度較高，赤道區(qū)溫度較低，出現等勢面上平均重力加速度變小，平均光度和溫度變小的引力昏暗的現象.由于這些變化是轉動離心力引起的，因此稱為轉動的動力學效應.

轉動效應對恒星演化的另一個重要效應是元素混合和角動量轉移.主要原因是轉動效應產生了許多流體運動的不穩(wěn)定性.如引力昏暗效應形成極點和赤道的溫差，驅動流體熱不穩(wěn)定產生.它使極區(qū)流體沿等勢面的子午線運動至赤道面上，并在赤道面上沿赤道半徑向內運動至恒星中心，這種運動稱為子午環(huán)流.轉動恒星中的子午環(huán)流是一種非常重要的物質運動.它對恒星結構與演化有三方面的重要影響.第一，子午環(huán)流將極區(qū)的熱流補充至赤道處，企圖使恒星在等勢面上達到熱平衡.第二，子午環(huán)流產生恒星內部到外部的化學元素混合.將中心核反應區(qū)的氦、氮等元素搬運到恒星表面，產生這些元素的超豐現象.第三，恒星演化初期，子午環(huán)流以熱時標由恒星外部向內部傳輸角動量，使恒星內部角動量變大，同一位置的角速度變大，相反外部的角速度變小，產生角速度梯度，形成有剪切的較差轉動.

當流體剪切運動的Richardson數小于臨界Richardson數（0.25）時，會產生剪切不穩(wěn)定，稱為動力學剪切不穩(wěn)定性，相應的湍流為剪切湍流［14］.該不穩(wěn)定性以動力學時標進行.在大質量恒星中，當熱擴散時標遠小于角動量擴散時標（黏性時標）時（小于Prandtl數時），這時的不穩(wěn)定性以熱時標進行，稱為長期剪切不穩(wěn)定.恒星內的Prandtl數一般約為10-6，滿足產生長期剪切不穩(wěn)定性的條件.轉動效應同時激發(fā)了許多不穩(wěn)定性，如：Solberg-Hoiland不穩(wěn)定性和GSF不穩(wěn)定性等.子午環(huán)流被認為是傳輸角動量的主要物理機制，而剪切湍流被認為是混合化學元素的主要方式［15］.

本文將分別研究這兩種效應對恒星中心熱結構的影響，而且研究轉動產生的諸多不穩(wěn)定性對大質量恒星的元素擴散和混合的影響.本文第一部分給出基本公式.介紹轉動恒星結構與演化方程，元素擴散方程和角動量轉移方程.給出各種不穩(wěn)定性影響元素擴散過程的擴散系數.第二部分給出數值計算結果，第三部分給出相應結論.

1　理論模型及方程

1.1勢函數及轉動恒星理論模型

以恒星中心為坐標原點，恒星赤道平面上過坐標原點的任一線為x軸，恒星自轉角速度為Ω，恒星的轉動軸為z軸，并與赤道平面垂直.Kippenhahn& Thomas（1970）［16］最先給出了保守轉動下（剛性轉動和Ω（s）=const的轉動，s為流體元到轉軸的垂直距離）恒星的結構演化方程.按照洛希模型，等勢面定義為

其中m和r分別為恒星總的質量和半徑，rpol為恒星極半徑，對應等壓面的面積記為Sp，它所包含的體積為Vp.由于在等壓面上的重力加速度的大小并不是常數，故重力加速度可以寫為：

由于轉動的動力學形變，數值計算和求解二維恒星結構和演化方程將非常復雜和困難，對討論恒星演化是非常不便的.然而Kippenhahn& Thomas（1970）［16］提出將三維模型等價地用一維模型來計算的方法（即KT70方法［16］）.該方法把變形的恒星用一個等價球來代替，此球稱為等價拓撲球.將非球對稱變形恒星等勢面上各個物理量的平均值作為等價拓撲球上對應各物理量的值.這樣可將變形的二維恒星模型用一維恒星模型近似處理.這個方法被國際上絕大多數天文學家認同并采用［5-7，17-19］.

定義

式中dn是兩個相鄰等壓面的壓強p=const和 p+dp=const之間的距離.

轉動恒星結構方程為：

式中ρ為恒星密度，rP為VP所對應的等效半徑，mP為等壓面SP所對應的質量.

G為引力常量，P為壓強，t為時間.能量轉移方程：

式中κ為不透明度，LP為通過等壓面Sp的能流. a為輻射常量，T為溫度，c真空中的光速.方程（5）和方程（6）中的fT、fp是為體現轉動動力學效應帶來的對恒星結構與演化影響的修正因子，它們是

1.2擴散系數，角動量傳輸方程和元素擴散方程

1.2.1元素擴散方程和各種不穩(wěn)定性造成的元素擴散系數

轉動引起的元素混合和角動量轉移主要都是由流體的不穩(wěn)定性發(fā)生時流體元運動混合造成的. Endal&Sofia（1978）［20］和Pinsonneaultetal（1989）［9］假定長期不穩(wěn)定性的元素混合率與角動量再分布（轉移）率成正比，可以得到由不穩(wěn)定導致的元素混合的徑向擴散方程為［21］

其中Xn是元素n的質量分數，右邊第二項表示核反應對化學元素豐度的影響.相應的邊界條件為

方程（8）中的D為元素擴散系數，包括對流和半對流及各種不穩(wěn)定性對元素擴散的影響，可以表示為［21］

其中Dconv為對流影響系數，Dsem為半對流影響系數，DSSI為長期剪切不穩(wěn)定影響系數，DDSI為動力學剪切不穩(wěn)定影響系數，DSHI為Solberg-H?iland不穩(wěn)定影響系數，DES為子午環(huán)流影響系數，DGSF為Goldreich-Schubert-Fricke不穩(wěn)定影響系數.

對流運動造成的元素混合系數Dconv，它可以表示為

半對流的擴散系數Dsem的計算按照［22］

當熱擴散時標遠遠小于角動量時標（黏性時標）時，出現長期剪切不穩(wěn)定.長期剪切不穩(wěn)定造成的元素混合系數為

由于轉動造成恒星產生熱不穩(wěn)定，從而形成恒星內部的大尺度子午環(huán)流，其擴散系數為

Goldreich&Schubert（1969）［26］和Fricke（1968）［27］提出在軸對稱擾動下的轉動流體產生的Goldreich-Schubert-Fricke不穩(wěn)定的擴散系數為

1.2.2角動量轉移方程

由于這些不穩(wěn)定，產生恒星內部的角動量轉移，其方程可以寫為［20］

上式中的i為質量坐標為m的單位殼層的轉動慣量，設其內半徑為ri，外半徑為ro，則.N為湍動黏度，可以寫為

2　數值計算方法及結果

我們采用Paxton et al.（2011，2013）［28，29］編寫的MESA（ModulesforExperimentsinStellar Astrophysics）程序，做數值計算.初始模型選取為：零齡主序的恒星質量為20 M⊙，采用標準初始金屬豐度為XH=0.707，Z=0.01，混合長參數取為2.0.星風公式采用Vink，de Koter&Lamers（2001）［30］做計算.

2.1轉動的動力學效應對演化的影響

選取4種情況，初始赤道轉動速度分別選取vini，1=0 km/s（實線），vini，2=300 km/s（點線），vini，3= 450 km/s（點劃線），vini，4=550 km/s（劃線）.在所有計算情況中，僅考慮轉動離心力造成的動力學效應對恒星結構和演化的影響.而不考慮轉動不穩(wěn)定性造成的元素擴散和角動量轉移效應的影響.

圖1（a）給出轉動恒星中心密度在不同初始赤道速度情況下整個主序階段的變化.為了仔細分辨各條曲線的差別，圖1（b）給出轉動恒星在0—6Ma（6百萬年）演化的情況.發(fā)現在主序演化的大部分階段（小于6 Ma），隨著轉動角速度的增加，恒星中心密度增加.物理上可以解釋為：假設恒星赤道平面上一點P，在非轉動下，壓強梯度與重力相平衡.由于轉動離心力削弱了重力，流體元趨于向內運動，以獲得更大的重力與原來的壓強梯度平衡.因此，轉動的動力學效應使恒星趨于向中心集中，更適合洛希模型.另外Claret（1999）［31］等人觀測發(fā)現，轉動恒星的拱線運動常數明顯比非轉動恒星小.主要原因是轉動增加了恒星的中心集中，趨向質點模型，減少拱線運動率.但在主序后期（大于6 Ma），初始赤道轉動速度快的恒星的中心密度變小，這是由于快速轉動恒星中心燃燒區(qū)收縮造成的.原因是主序后期恒星中心燃燒核收縮在其邊界形成μ梯度，μ梯度抑制子午環(huán)流向外傳輸角動量，中心核轉動速度加快，不利于更多的外殼物質向中心坍縮.

圖1　恒星的中心密度隨時間的變化.圖中實線、點線、點劃線、劃線分別對應恒星初始赤道轉動速度為0，300 km/s、450 km/s、550 km/s 4種情況的演化

圖2　恒星中心溫度的變化，圖中4條曲線與圖1有相同的含義

圖3給出恒星中心壓強的變化.發(fā)現中心壓強的變化趨勢與中心密度變化趨勢相同.這說明恒星中心壓強的變化更依賴于中心密度的變化.在主序前期，初始快速轉動的恒星趨于增加中心壓力，而在主序后期趨于減少中心壓力.

圖3　恒星中心壓強的變化，圖中4條曲線與圖1有相同的含義

圖4　恒星中心集中度的變化

圖5

圖6　恒星在赫羅圖中的演化.圖中4條曲線與圖1有相同的含義

2.2元素混合對恒星結構與演化的影響

為了研究轉動產生的不穩(wěn)定性對恒星結構與演化的影響，我們仍選擇恒星質量為20 M⊙，初始赤道轉動速度取為250 km/s，僅分兩種情況討論.第一種情況不考慮轉動激發(fā)的各種不穩(wěn)定性對元素混合的作用（實線），第二種則考慮轉動產生的各種不穩(wěn)定性對元素混合的作用（點線）.

圖7給出兩種情況下恒星中心溫度、密度、壓強、中心集中度、中心平均分子量和表面不透明度的變化.發(fā)現在相同時刻，轉動造成的元素混合效應使恒星演化至中后期具有較低的中心溫度、密度、壓強、集中度、平均分子量和表面不透明度，但在主序結束時中心集中度較高，達到3×104.這是轉動造成的元素混合使中心氫豐度增加表面氫豐度減少，中心氦豐度減少和表面氦豐度增加造成的.

圖7

圖8給出兩種情況下中心氫、表面氦，氮元素以及氫燃燒輪廓隨時間的變化.圖8（a）給出兩種情況的中心氫豐度的變化，比較兩種情況可以看出，轉動混合效應使恒星中心具有較高的中心氫.原因是：1）轉動產生的不穩(wěn)定性將恒星外包層的氫帶到恒星中心，使中心氫的豐度增加；2）轉動的動力學效應使恒星中心溫度變低，產能率變低，可以剩余較多的氫元素.圖8（b）給出在t≈7.6 Ma時兩種情況的氫豐度輪廓.發(fā)現不考慮轉動混合效應的模型，中心氫豐度為零，考慮轉動混合效應的情況時，在該時刻的中心質量氫豐度為0.0689.同時可以看出，不考慮轉動混合效應時，中心氫的燃燒核的邊界為4.596 M⊙，而轉動混合效應造成此時的中心氫的燃燒核的邊界為5.575 M⊙，因而轉動混合效應可以增加恒星中心對流核的大小，使燃燒核的外邊界變大，可以使外包層中氫元素進入核反應區(qū)參與核反應.圖（c）給出兩種情況下表面氦豐度的變化.發(fā)現當不考慮轉動混合效應時，表面氦元素無變化（氦質量豐度為0.2828），但考慮轉動混合效應時，主序結束時，氦質量豐度為0.2842，氦質量豐度增加了1.005倍.表明轉動不穩(wěn)定性產生的元素混合，將中心核反應區(qū)的氦，擴散至恒星表面，使表面氦元素有明顯的超豐現象.從圖8（d）中可以看出，氮元素增豐比較明顯.不考慮轉動時，氮元素質量豐度為5.0408×10-4保持不變，考慮轉動混合后，主序結束后氮元素質量豐度為1.4627×10-3，其豐度增加了約2.8倍，氮增豐遠比氦超豐明顯.總之，轉動混合將能解釋4He，14N等元素超豐的現象.

圖8

3　結論

轉動對恒星結構與演化產生非常重要的影響.它主要對恒星產生兩方面的作用——動力學效應和元素混合.它們的影響體現在：

1）轉動的動力學效應使恒星演化具有較低的中心溫度，較大的等價半徑.

在主序前，中期階段，轉動的動力學效應使恒星中心密度和壓強變高，這是由于離心力減弱了局地重力，流體元向內收縮以獲得更大的重力來抵抗壓強梯度的緣故.隨后，由于恒星燃燒核收縮，形成的μ度抑制子午環(huán)流傳輸角動量，使轉動核角速度加快，不利于外邊界物質向中心坍縮形成，造成其中心密度變小.

2）演化初期，由于轉動的動力學效應，中心密度變高，平均密度變低，所以恒星的緊密度變高.發(fā)現恒星緊密度的變化趨勢與中心密度，中心壓強等變化趨于一致.轉動的動力學效應趨于使表面不透明度、中心平均分子量和表面熵減小.轉動的動力學效應由于改變了等勢面的形狀，減小了表面的平均重力加速度，使恒星在主序階段向HR圖的低溫低光度方向演化.

3）轉動的元素混合效應使恒星在演化到中后期時有較低的中心溫度、密度、壓強、緊密度、平均分子量和表面熵.在主序結束時，轉動恒星的中心集中度明顯變高.轉動的元素混合效應最主要的功能是使恒星中心的氦、氮元素轉移到恒星表面，解釋這些化學元素觀測超豐的現象.另一方面，包層的氫元素也可以通過混合效應，進入核反應區(qū)，使核反應區(qū)擴大.因此轉動效應的兩個方面對恒星結構與演化均產生重要影響，它們各自的影響對比總結在表1中.

表1　動力學效應和元素擴散效應對恒星結構和演化的影響（其中“—”表示差別較小，區(qū)別不明顯）

［1］ Huang R Q.On rotational mixing in stars［J］.A&A，2004，425：591-594.

［2］ Huang R Q.Evolution of rotating binary stars［J］.A&A，2004，422：981-986.

［3］ Langer N.Coupled mass and angular momentum loss of massive main sequence stars［J］.A&A，1998，329：551-558.

［4］ Meynet G，Maeder A.Stellar evolution with rotation.I.The computational method and the inhibiting effect of the μgradient［J］.A&A，1997，321：465-476.

［5］ Chaboyer B，Zahn J-P.Effect of horizontal turbulent diffusion on transport by meridional circulation［J］.A&A，1992，253：173-177.

［6］ Zahn J.-P.Circulation and turbulence in rotating stars［J］. A&A，1992，265：115-132.

［7］ Talon S，Zahn J-P，Maeder A，et al.Rotational mixing in early-typestars：themain-sequenceevolutionofa 9Msun-star［J］.A&A，1997，322：209-217.

［8］ Maeder A，Zahn J-P.Stellar evolution with rotation.III.MeridionalcirculationwithMU-gradientsandnonstationarity［J］.A&A 1998，334：100-1006.

［9］ Pinsonneault M H，Kawaler S D，Sofia S，et al.Evolutionary models of the rotating sun［J］.ApJ，1989，338：424-452.

［10］ Pinsonneault M H，Kawaler S D，Demarqure P.Rotation of low-mass stars——A new probe of stellar evolution［J］. ApJS，1990，74：501-550.

［11］ Pinsonneault M H，Deliyannis C P，Demarqure P.Evolutionary models of halo stars with rotation.I-Evidence for differential rotation with depth in stars［J］.ApJ，1991，367：239-252.

［12］ 宋漢峰，王靖洲，李云.輻射壓對非同步轉動雙星系統(tǒng)洛希勢函數的影響［J］.物理學報，2013，62：059701-1-059710-9.

［13］ 詹瓊，宋漢峰，邰麗婷，等.轉動潮汐變形雙星理論模型研究［J］.物理學報，2015，62：089701-1-089701-10.

［14］ Maeder A.Stellar Evolution with Rotation［M］.The Evolution of the Milky Way：stars versus clusters：Kluwer Academic Publishers，2000：1-403.

［15］ de Mink S E，Cantiello M，Langer N，et al.Rotational mixinginmassivebinaries.Detachedshort-period systems［J］.A&A，2009，497：243-253.

［16］ Kippenhahn R，Thomas H C.A Simple Method for the Solution of the Stellar Structure Equations Including Rotation and Tidal Forces，in Stellar Rotation［P］.Proceeding of IAU Colloq.4，held at the Ohio State Universi-ty，Columbus，Ohio，8—11 Steptember，1969.Edited by Arne Slettebak.Gordon and Breach Science Publishers，1970：20.

［17］ Endal A S，Sofia S.The evolution of rotating stars.I—Method and exploratory calculations for a 7-solar-mass star［J］.ApJ，1976，210：184-194.

［18］ Maeder A，Meynet G.The Evolution of Rotating Stars［J］.ARA&A，2000，38：143-190.

［19］ Heger A，Langer N.The spin-up of contracting red supergiants［J］.A&A，1998，334：210-220.

［20］ Endal A S，Sofia S.The evolution of rotating stars.Ⅱ-Calculations withtime-dependentredistributionof angular momentum for 7-and 10-solar-mass stars［J］. ApJ，1978，220：279-290.

［21］ Heger A，Langer N，Woosley S E.Presupernova Evolution of Rotating Massive Stars.I.Numerical Method and Evolution of the Internal Stellar Structure［J］.ApJ，2000，528：368-396.

［22］ Langer N，Fricke K，Sugimoto D.Semiconvective diffusion and energy transport［J］.A&A，1983，126：207-208.

［23］ Tassoul J-L.Stellar Rotation［M］.New York，Cambridge University Press，1978：1-256.

［24］ Kippnhahn R.Circulation and Mixing，in Late Stages of Stellar Evolution［P］.Proceedings of the Symposium， Warsaw，Poland，September 10-12，1973.Edited by R.J. Tayler and J.E.Hesser.Symposium sponsored by the International AstronomicalUnionDordrecht，D.Reidel Publishing Co，1974：20.

［25］ Mestel L.Rotation and stellar evolution［J］.MNRAS，1953，113：716-745.

［26］ Goldreich P，Schubert G.Differential Rotation in Stars［J］.ApJ，1967，150：571-587.

［27］ Fricke K.Instabilit?t station?rer Rotation in Sternen［J］. Zeitschrift für Astrophysik，1968，68：317-344.

［28］ Paxton Bill，Bildsten Lars，Dotter Aaron，et al.Modules for Experiments in Stellar Astrophysics（MESA）［J］. ApJS，2011，192：1-110.

［29］ Paxton Bill，Cantiello Matteo，Arras Phil，et al.Modules for Experiments in Stellar Astrophysics（MESA）：Planets，Oscillations，Rotation，and Massive Stars.［J］.ApJS，2013，208：1-43.

［30］ Vink，J S，de Koter A，Lamers H J G L M.Mass-loss predictions for O and B stars as a function of metallicity［J］.A&A，2001，369：574-588.

［31］ Claret A.Studies on stellar rotation.I.The theoretical apsidal motion for evolved rotating stars［J］.A&A，1999，350：56-62.

Investigation on the effect of the rotation on stellar thermal structure and evolution

WANG Jiang-tao1，SONG Han-feng1，2，3，TAI Li-ting1
（1.Department of Physics，College of Science，Guizhou University，Guiyang，Guizhou 550025，China；
2.Key Laboratory for the Structure and Evolution of Celestial，Objects，Chinese Academy of Sciences，Kunming，Yunnan 650011，China；3.Joint Research Centre for Astronomy，National Astronomical Observatory-Guizhou University，Guiyang，Guizhou 550025，China）

The effect of rotation the structure and evolution can be divided into two sections，namely，the dynamical effect and rotational mixing.We have investigated the effect of rotation on the thermal structure of 20 M⊙，adopting the MESA code.The dynamical effect decreases the central temperature，surface opacity，mean molecular weight，and surface entropy.The dynamical effect of rotation can adjust the thermal structure and make the nuclear generation rate lower and cause the star to shift towards lower temperature and luminosity.The rotational mixing can reduce the central temperature，pressure，density，average molecular weight，surface opacity，and central compactness.The chemical elements，such as He，N can be enhanced due to rotational mixing.The region of the nuclear generation can be enlarged and the life span of the star can be extended.

stellar structure and evolution；rotation；mixing of chemical elements

P 144

A

1000-0712（2016）09-0037-09

2015-10-29；

2016-03-02

國家自然科學基金（11463002）、中科院天體結構與演化重點實驗室開放課題（OP201107，OP201405）和貴州大學研究生創(chuàng)新基金（研理工2015055）共同資助

王江濤（1991—），男，陜西扶風人，貴州大學理學院物理系在讀研究生，研究方向：天體物理.

宋漢峰，E-mail：songhanfeng@163.com