梁振動(dòng)方程一類穩(wěn)定的緊致差分格式

李　鑫

(安徽科技學(xué)院　信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽　鳳陽(yáng)　233100)

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梁振動(dòng)方程一類穩(wěn)定的緊致差分格式

李鑫

(安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽鳳陽(yáng)233100)

針對(duì)四階梁振動(dòng)方程運(yùn)用有限差分方法，構(gòu)造一類無(wú)條件穩(wěn)定的緊致差分格式。利用Fourier級(jí)數(shù)法驗(yàn)證差分格式的收斂性，并運(yùn)用Lax等價(jià)性定理證明了格式的穩(wěn)定性，最后通過(guò)兩組數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明格式的有效性和實(shí)用性，并最終將格式的收斂階精度由之前的o(τ+h2)提高至o(τ+h4)便于科學(xué)和工程計(jì)算中的更好應(yīng)用。

梁振動(dòng)方程；緊致差分格式；收斂性；穩(wěn)定性

梁振動(dòng)方程作為高階偏微分方程中的一類[1]，在大型工程項(xiàng)目和橋梁建設(shè)方面具有廣泛的應(yīng)用。對(duì)于此類方程數(shù)值解的研究，[2-6]中運(yùn)用廣義差分法進(jìn)行計(jì)算，但格式的精度不高；[7-11]中運(yùn)用多辛算法進(jìn)行求解，精度可達(dá)二階；周良強(qiáng)等在[12]中構(gòu)建了高精度差分格式但含有多個(gè)參數(shù)。本文利用緊算子，對(duì)此類方程構(gòu)建無(wú)參數(shù)隱式的緊致差分格式，將格式精度提高至，且證明該格式的無(wú)條件穩(wěn)定性，從而使梁振動(dòng)方程在工程計(jì)算方面得到更好的應(yīng)用。

對(duì)于梁振動(dòng)方程

utt+k2uxxxx=0

本文考慮方程的初邊值問(wèn)題，給出初值條件

和邊值條件

其中長(zhǎng)度l為的梁自由振動(dòng)，兩點(diǎn)簡(jiǎn)支，以u(píng)(x,t)表示位移。

令

v=ut,w=kuxx.

則上述初邊值問(wèn)題可化為如下問(wèn)題：

vt=-kwxx,00wt=-kvxx,00

(1)

v(x,0)=u1(x),w(x,0)=k(u0(x))xx,0

(2)

v(0,t)=v(l,t)=w(0,t)=w(l,t)=0,t>0.

1　相關(guān)符號(hào)的定義和差分格式的建立

對(duì)平面區(qū)域[0,l]×[0,T]作網(wǎng)格剖分，取空間步長(zhǎng)為h=l/J,時(shí)間步長(zhǎng)為τ.xj=jh,tn=nτ,j=0,1,…,J,n=1,2,…,N,N=[T/τ],J,N均為正整數(shù)。為后面表示方便，引入如下記號(hào)：

針對(duì)上述初邊值問(wèn)題(1)-(3)，構(gòu)造如下差分格式：

(4)

(5)

(6)

2　差分格式的截?cái)嗾`差

定理1 差分格式的局部截?cái)嗾`差階為O(τ+h4)

對(duì)于定理1的證明，我們考慮(4)中的第一個(gè)式子，第二個(gè)式子同理可證。上述式子可寫為如下等價(jià)形式：

由Taylor展開(kāi)知：

所以有：

時(shí)間方向的截?cái)嗾`差階為O(τ).

同理，由Taylor展開(kāi)知：

所以有：

空間方向的截?cái)嗾`差階為O(h4)

綜上：由Taylor展開(kāi)，差分格式的局部截?cái)嗾`差階為O(τ+h4)

3　差分格式的穩(wěn)定性和收斂性

對(duì)于上述差分格式，我們采用Fourier級(jí)數(shù)法和Lax等價(jià)性定理來(lái)證明其穩(wěn)定性和收斂性。差分格式(4)-(6)可等價(jià)寫為：

因?yàn)镚*G=GG*所以上述增廣矩陣為正規(guī)陣。

由Von Neumann條件知：上述差分格式(4)-(6)穩(wěn)定。從而有：

定理2 差分格式(4)-(6)無(wú)條件穩(wěn)定。

再由Lax等價(jià)性定理[13]易知：

定理3差分格式(4)-(6)無(wú)條件收斂到問(wèn)題的精確解，且收斂階為O(τ+h4)

4　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)我們選取兩個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證上述理論的正確性。

算例一

考慮如下的初邊值問(wèn)題：

根據(jù)差分格式(4)-(6)，代入得：

運(yùn)用上述矩陣形式進(jìn)行求解，首先驗(yàn)證格式的時(shí)間方向和空間方向的收斂階。在時(shí)間方向上，我們選取h=0.05,τ=5.0e-005,2.5e-005,1.25e-005,T=0.2,計(jì)算無(wú)窮模誤差‖en‖∞結(jié)果如表1；空間方向我們選取h=0.2,0.1,0.05，τ=h4,T=0.2,計(jì)算‖en‖∞結(jié)果如下表2。從表1、2的結(jié)果很明顯地看出，差分格式(4)-(6)的收斂階為O(τ+h4),與理論證明結(jié)果一致。

表1　差分格式(4)-(6)時(shí)間方向的收斂階

表2　差分格式(4)-(6)空間方向的收斂階

然后，我們分別作出了T=0.2時(shí)方程精確解和數(shù)值解圖像。從圖1對(duì)比可以明顯看出，差分格式(4)-(6)的效果非常好，從而證明了格式的有效性。最后我們?nèi)=0.1,τ=h4,以0.005為節(jié)點(diǎn)，給出了t=0-0.2時(shí)間段內(nèi)每一層的誤差圖(圖2左)，從誤差數(shù)量級(jí)看，精度很高，說(shuō)明該差分格式具有很好的實(shí)用價(jià)值。

圖1　方程精確解圖像(左)和數(shù)值解圖像(右)

圖2　每層誤差圖(左:算例一；右:算例二)

算例二

考慮如下的初邊值問(wèn)題：

同上例，代入差分格式(4)-(6)可得：

我們同樣首先驗(yàn)證格式的收斂階。表3和表4分別給出了差分格式時(shí)間和空間方向的收斂階，結(jié)果驗(yàn)證差分格式(4)-(6)的收斂階為O(τ+h4)與理論結(jié)果吻合。圖3中給出了t=0.05,0.10,0.15,0.20四個(gè)不同時(shí)刻下對(duì)應(yīng)的精確解和數(shù)值解的圖像，圖像表明數(shù)值解的模擬效果很好。從每一層的誤差圖來(lái)看(圖2右)，格式的效果也非常好，實(shí)用性非常高。

表3　差分格式(4)-(6)時(shí)間方向的收斂階

表4　差分格式(4)-(6)空間方向的收斂階

圖3　不同時(shí)刻精確解與數(shù)值解圖像

5　總結(jié)

本文對(duì)于四階梁振動(dòng)方程構(gòu)造穩(wěn)定的緊致差分格式進(jìn)行研究。從理論上證明了差分格式的穩(wěn)定性和收斂性，通過(guò)兩組數(shù)值實(shí)驗(yàn)，很好地驗(yàn)證了理論的推導(dǎo)，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，說(shuō)明了差分格式將計(jì)算精度由之前的O(τ+h2)提升至O(τ+h4)，使之在該類方程的數(shù)值計(jì)算上又更好的應(yīng)用價(jià)值。后期可考慮將這一思路推廣至非線性彈性桿振動(dòng)方程的研究，以便更好地解決此類方程的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。

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(責(zé)任編輯：馬世堂)

A Stable Compact Finite Difference Scheme for the Beam Equation

LI Xin

(College of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Fengyang 233100, China)

In this paper, an unconditional stable compact finite difference scheme is proposed for the beam equation with fourth-order by using the finite difference method.The stability and convergence of the difference scheme are demonstrated by Fourier method and Lax equivalence theorem. Two numerical experiments have been carried out to confirm the effectiveness and the practicability of the scheme and the convergence order is improved at last. The result will promote the better application in science and engineering calculation.

Beam equation; Compact finite difference scheme; Convergence; Stability

2016-02-16

安徽科技學(xué)院自然科學(xué)一般項(xiàng)目(ZRC2016487)。

李鑫(1989-)，男，安徽省鳳陽(yáng)縣人，碩士，助教，主要從事微分方程數(shù)值解研究。

O242.2

A

1673-8772(2016)04-0050-07