正則化方法在結(jié)構(gòu)模型修正中的應(yīng)用研究*

李英超， 王樹(shù)青， 張　敏

(1.魯東大學(xué)土木工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025； 2.中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266100)

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研究簡(jiǎn)報(bào)

正則化方法在結(jié)構(gòu)模型修正中的應(yīng)用研究*

李英超1， 王樹(shù)青2， 張敏2

(1.魯東大學(xué)土木工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025； 2.中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266100)

大型結(jié)構(gòu)的模型修正求解問(wèn)題多呈現(xiàn)不同程度的病態(tài)，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的微小誤差都有可能造成求解的失效。該文研究了測(cè)量噪聲影響下模型修正病態(tài)系統(tǒng)的求解問(wèn)題。首先，介紹了結(jié)構(gòu)模型修正的求解問(wèn)題以及數(shù)學(xué)上常用的正則化方法；然后，通過(guò)一懸臂梁模型數(shù)值算例探討了截?cái)嗥娈愔捣纸庹齽t化方法和“L”曲線法在結(jié)構(gòu)模型修正求解中的適用性。結(jié)果顯示，適當(dāng)?shù)恼齽t化可以有效的解決模型修正病態(tài)系統(tǒng)的求解問(wèn)題；另外，該方法對(duì)于部分滿足離散Picard條件的模型修正方程同樣適用。最后，通過(guò)一導(dǎo)管架平臺(tái)物理模型試驗(yàn)對(duì)該正則化方法的實(shí)用性進(jìn)行了驗(yàn)證。

模型修正； 病態(tài)；正則化；導(dǎo)管架平臺(tái)

引用格式：李英超， 王樹(shù)青， 張敏. 正則化方法在結(jié)構(gòu)模型修正中的應(yīng)用研究[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(9)： 107-115.

LI Ying-Chao， WANG Shu-Qing， ZHANG Min. Study on the application of regularization method in structural model updating[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(9)： 107-115.

一個(gè)反應(yīng)實(shí)際的有限元模型是進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算分析和安全評(píng)估的基礎(chǔ)。然而在實(shí)際工程中，有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間往往存在差異，解決這一問(wèn)題的常用方法是模型修正[1]。

近年來(lái)，隨著模型修正方法的日趨成熟，學(xué)者和工程師們將其應(yīng)用到了橋梁[2-3]、房屋[4]和海洋平臺(tái)[5-7]等土木工程領(lǐng)域。然而，大量研究表明，簡(jiǎn)單的將現(xiàn)有的模型修正方法應(yīng)用到海洋平臺(tái)、橋梁等復(fù)雜的結(jié)構(gòu)上，效果并不理想。究其原因：從技術(shù)本身來(lái)講，動(dòng)力模型修正是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的反問(wèn)題，修正方程常呈現(xiàn)病態(tài)，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的微小誤差將會(huì)引起解的“振蕩”；另外模型修正方程的解往往具有非唯一性，此時(shí)只能通過(guò)估計(jì)方法給出最優(yōu)解，估計(jì)誤差的大小與方程的病態(tài)性以及實(shí)測(cè)信息的數(shù)量和精度直接相關(guān)[8]。從工程角度來(lái)講，海洋平臺(tái)等三維結(jié)構(gòu)在建模中通常需要進(jìn)行大量的簡(jiǎn)化，實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性較多；另外，受工作環(huán)境限制，實(shí)測(cè)信息量非常有限，且受噪聲污染較嚴(yán)重。因此，研究實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)含噪聲情況下模型修正病態(tài)方程組的求解問(wèn)題，對(duì)于模型修正方法推向工程應(yīng)用具有重要的意義。

上述病態(tài)方程組的求解問(wèn)題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域并不罕見(jiàn)，常用的手段是正則化方法。最早的正則化方法由Tikhonov[9]提出，通過(guò)正則化參數(shù)的選擇，使得正則解在最小二乘解和最小范數(shù)解之間取得平衡，從而控制解的振蕩和修正的擬合程度。目前最常用的正則化方法主要依據(jù)矩陣的奇異值分解(SVD)技術(shù)，如截?cái)嗥娈愔捣纸?TSVD)方法[10-12]。文獻(xiàn)[8]對(duì)各種正則化方法進(jìn)行了較系統(tǒng)深入的研究，針對(duì)不同規(guī)模的病態(tài)系統(tǒng)提出了適用的正則化方法，并指出利用正則化方法求解不適定問(wèn)題的關(guān)鍵是正則化參數(shù)的選擇，這一過(guò)程通常需要借助一些數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)手段，如Morozov偏差準(zhǔn)則，廣義交叉檢驗(yàn)法， “L”曲線法等，這些方法均需要進(jìn)行大量的試算。

正則化方法盡管在理論上比較完善，但在模型修正的實(shí)際應(yīng)用中卻仍然存在一些問(wèn)題，如對(duì)于不同問(wèn)題，同一算法表現(xiàn)出的收斂性卻不同，很難用一個(gè)通用的方法解決不適定問(wèn)題[13]。

本文將數(shù)學(xué)上常用的TSVD正則化方法和“L”曲線法引入到結(jié)構(gòu)模型修正線性方程組的求解中，然后通過(guò)一懸臂梁數(shù)值算例來(lái)探討該方法的適用性，最后通過(guò)一海洋平臺(tái)物理模型試驗(yàn)對(duì)該方法的實(shí)用性作進(jìn)一步驗(yàn)證。研究中，模型修正線性方程組的構(gòu)建方法采用文獻(xiàn)[14]提出的交叉模型交叉模態(tài)方法，受篇幅限制，不再對(duì)該方法進(jìn)行詳細(xì)介紹。

1　模型修正求解問(wèn)題

現(xiàn)有的模型修正方法，雖然思路不盡相同，但大多可歸結(jié)為線性方程組

Ax=b

(1)

根據(jù)m和n的大小關(guān)系，式(1)所示線性方程組有三種情況：

(1)當(dāng)rank(A)

(2)當(dāng)rank(A)=n,m=n，稱為適定系統(tǒng)，可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)求逆來(lái)進(jìn)行求解，x=A-1b；

(3)當(dāng)rank(A)=n,m>n，稱為超定系統(tǒng)，通常采用最小二乘解來(lái)逼近真實(shí)解；

而多數(shù)實(shí)際問(wèn)題均屬于欠定系統(tǒng)、超定系統(tǒng)或者兩種系統(tǒng)的組合，稱為混合待定系統(tǒng)。對(duì)于各類問(wèn)題，比較通用的求解方法是奇異值分解法(SVD)。

對(duì)式(1)的系數(shù)矩陣A做奇異值分解：

A=UΣVT。

(2)

(3)

其中對(duì)角陣Σr=diag(σ1,σ2,…,σr)的對(duì)角元素為矩陣A的奇異值，且滿足σ1≥σ2≥…≥σr>0，r為A的秩。

將酉矩陣U和V分別記為U=(u1,u2,…,um)，V=(v1,v2,…,vn)，其中u1,u2,…,um和v1,v2,…,vn分別為酉矩陣U和V的列向量，則(2)式可寫(xiě)為

(4)

方程(1)的解可寫(xiě)為：

(5)

當(dāng)有限元自由度較大，修正參數(shù)較多且靈敏度差異較大時(shí)，模型修正方程組多呈現(xiàn)不同程度的病態(tài)，測(cè)量數(shù)據(jù)含有噪聲時(shí)，會(huì)導(dǎo)致該線性方程組的求解發(fā)生“振蕩”，很難得到有物理意義的修正結(jié)果。通常可以通過(guò)系數(shù)矩陣的條件數(shù)來(lái)判斷其病態(tài)性，即最大奇異值與最小奇異值之比。條件數(shù)越大，系統(tǒng)的病態(tài)性越強(qiáng)，解越不穩(wěn)定。

測(cè)量噪聲影響下病態(tài)方程組的求解是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。Hansen[15]指出，對(duì)于式(1)所示線性方程組，如果滿足以下3個(gè)條件，則可以通過(guò)正則解來(lái)逼近精確解。

(1)矩陣A的條件數(shù)非常大；

(2)矩陣A的奇異值逐漸下降趨于零；

通?？梢援?huà)出系數(shù)矩陣A的奇異值曲線(SVD曲線)和離散傅里葉系數(shù)曲線(Picard曲線)，當(dāng)SVD曲線在Picard曲線上方時(shí)，表示滿足該條件；當(dāng)在下方或重合時(shí)即不滿足該條件。離散Picard條件的物理意義在于檢驗(yàn)線性系統(tǒng)的病態(tài)性及受噪聲污染的程度。

2　正則化方法

本節(jié)介紹病態(tài)線性方程組求解中常用的兩種正則化(Regularization)方法：吉洪諾夫(Tikhonov)[9]正則化方法和截?cái)嗥娈愔捣?TSVD)[11-12]。

2.1 吉洪諾夫(Tikhonov)正則化方法

對(duì)于不適定的修正方程組，最小二乘解的目標(biāo)是使修正后模型得到最好的擬合，但對(duì)某些參數(shù)，會(huì)出現(xiàn)解的振蕩，從而失去物理意義；而最小范數(shù)解可以避免出現(xiàn)解的振蕩，但其修正擬合效果較差。

(6)

其中Γ為Tikhonov正則化矩陣，通常為微分算子或加權(quán)傅里葉算子的離散形式，用以保證解的光滑性。一般取Γ=I或Γ=αI，其中α被稱為正則化參數(shù)，用于控制最小二乘解和最小范數(shù)解之間的平衡。當(dāng)α值較大時(shí)，可以保證‖x‖值較小，但可能會(huì)導(dǎo)致解不滿足Ax=b；反之，如果α值較小，雖然能得到滿足方程組的解，但該解會(huì)發(fā)生振蕩，使得模型修正失去物理意義。α通常取為A的某個(gè)奇異值，它的取值對(duì)求解非常關(guān)鍵。

假定A的奇異值分解為(4)，則方程組(1)的正則解可寫(xiě)為

(7)

其中，

(8)

稱為Tikhonov因子，它依賴于奇異值σi和正則化參數(shù)α。當(dāng)f(σi)為1時(shí)，式(7)即為(5)。由此可見(jiàn)，非零α的作用是過(guò)濾掉小奇異值對(duì)解的貢獻(xiàn)，從而起到穩(wěn)定解的作用。

2.2 截?cái)嗥娈愔捣纸?TSVD)正則化方法

截?cái)嗥娈愔捣ㄖ苯由釛壥?5)中的小奇異值。即取過(guò)濾因子為：

(9)

如果取σ1≥…≥σk≥α≥σk+1≥…≥σr≥0，則正則解為

(10)

其中k稱為截?cái)鄶?shù)，當(dāng)k=rank(A)時(shí)，式(10)即為式(5)所示最小二乘解。

截?cái)嗥娈愔捣ǖ葍r(jià)于用矩陣

(11)

來(lái)近似系數(shù)矩陣A。

TSVD正則化方法是Tikhonov正則化方法的一個(gè)特例，該過(guò)程直接舍棄了小奇異值對(duì)解的貢獻(xiàn)，一般適用于系數(shù)矩陣A的奇異值呈階梯型分布病態(tài)問(wèn)題[16]。對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)有限元模型修正問(wèn)題，其方程組系數(shù)矩陣的奇異值多呈階梯型分布，因此在本文研究中選用TSVD正則化方法進(jìn)行研究。

2.3 正則化參數(shù)的選取

當(dāng)系統(tǒng)滿足離散Picard條件時(shí)，對(duì)于正則化參數(shù)α∈(0,∞)或k∈(1,r)，曲線(ln(‖Γx‖2)，ln(‖b-Ax‖2))形狀呈“L”型，被稱為“L”曲線，如圖1所示，其角點(diǎn)正好使得最小二乘解和最小范數(shù)解得到平衡。因此可通過(guò)畫(huà)出“L”曲線來(lái)選擇正則化參數(shù)。如當(dāng)采用TSVD正則化方法時(shí)，可通過(guò)該曲線的最大曲率來(lái)確定角點(diǎn)，從而確定截?cái)鄶?shù)k。

圖1　“L”曲線圖

“L”曲線法選取正則化參數(shù)的物理意義明確，應(yīng)用簡(jiǎn)單，因此本文選擇該方法進(jìn)行適用性探討。

3　懸臂梁模型數(shù)值研究

本節(jié)通過(guò)一懸臂梁模型數(shù)值算例，將TSVD正則化方法應(yīng)用到模型修正線性方程組的求解中，通過(guò)與基于SVD的最小二乘解修正結(jié)果比較，探討該正則化方法在該類模型修正中的適用性。

3.1 模型介紹

一鋼制二維懸臂梁長(zhǎng)1m，彈性模量E=2.06×1011N/m2，密度為ρ=7 850kg/m3，截面為30mm×20mm。將梁均勻劃分為20個(gè)單元，如圖2所示，共有21個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)固定，共有60個(gè)自由度。通過(guò)特征值分解可以得到其模態(tài)頻率和振型。

圖2　懸臂梁模型

算例中實(shí)測(cè)模型是通過(guò)修改有限元模型各單元的剛度矩陣來(lái)進(jìn)行模擬的。假定實(shí)測(cè)模型與有限元模型相比各單元間有均值為0.1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.01，且呈正態(tài)分布的的剛度誤差。通過(guò)特征值分解，得到修改后模型的模態(tài)頻率和振型來(lái)模擬實(shí)測(cè)模型的模態(tài)參數(shù)。

由于在模態(tài)測(cè)試中，模態(tài)頻率的識(shí)別結(jié)果一般較準(zhǔn)確，而振型的識(shí)別結(jié)果常常受測(cè)量噪聲的影響較嚴(yán)重，因此在本算例中假定實(shí)測(cè)模態(tài)振型含有噪聲。為探討正則化方法的實(shí)用性，本算例首先設(shè)定噪聲水平為1%，添加方式為φi,j=φi,j(1+εRi,j)，其中ε為噪聲水平；Ri,j為均值為0，方差為1的高斯隨機(jī)數(shù)，φi,j為對(duì)應(yīng)于第i個(gè)自由度的第j階振型值。即在通過(guò)數(shù)值模擬獲得的實(shí)測(cè)模態(tài)振型的基礎(chǔ)上添加一定水平的高斯白噪聲。

有限元模型與實(shí)測(cè)模型的前5階模態(tài)對(duì)比如表1所示，頻率誤差均大于5%，振型吻合程度較好。

3.2 基于SVD的最小二乘解修正

利用CMCM方法對(duì)20個(gè)單元的剛度矩陣進(jìn)行修正，修正系數(shù)取各個(gè)單元的彈性模量。取前5階實(shí)測(cè)模態(tài)和前5階有限元分析模態(tài)，建立模型修正的線性系統(tǒng)Ax=b；其中，size(A)=25×20；cond(A)=2.6536×106；rank(A)=20，與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等，因此理論上有解。

用奇異值分解法(SVD)求取方程組的最小二乘解，并對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，結(jié)果如表1所示。修正后有限元模型的頻率會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)，振型MAC值嚴(yán)重偏離1，因此基于SVD的最小二乘解會(huì)導(dǎo)致沒(méi)有物理意義的修正。

導(dǎo)致以上結(jié)果的主要原因是系數(shù)矩陣A的條件數(shù)較大(cond(A)= 2.6536×106)，方程組呈現(xiàn)一定程度的病態(tài)，在測(cè)量噪聲的影響下，最小二乘解發(fā)生“振蕩”，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真實(shí)值，導(dǎo)致模型修正失去物理意義。

表1　基于SVD的最小二乘解修正結(jié)果

3.3基于TSVD的正則解修正

對(duì)于3.2中構(gòu)建的線性系統(tǒng)Ax=b，畫(huà)出其Picard曲線(其中SVD表示奇異值曲線和Picard表示傅里葉系數(shù)曲線)，如圖3所示?？梢钥闯觯仃嘇的奇異值逐漸趨向于零；但從第17個(gè)奇異值開(kāi)始，不能滿足離散Picard條件。因此該方程組滿足可正則化求解的前兩個(gè)條件，但只能部分滿足第三個(gè)條件(離散Picard條件)。

圖3　Picard曲線圖(ε=1%)

對(duì)于以上部分滿足離散Picard條件的模型修正線性方程組，本文嘗試采用TSVD正則化方法進(jìn)行求解，并用“L”曲線法選取截?cái)鄶?shù)k。

通過(guò)大量試算，畫(huà)出該系統(tǒng)的“L”曲線，如圖4所示。將“L”曲線上位于角點(diǎn)左側(cè)最靠近的點(diǎn)選為截?cái)鄶?shù)，此時(shí)k=7。

圖4　“L”曲線圖(ε=1%)

根據(jù)式(10)求出該方程的正則解，并對(duì)初始模型進(jìn)行修正，結(jié)果如表3和4所示(ε=1%工況對(duì)應(yīng)結(jié)果)。通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，基于正則化求解的模型修正效果很好。由此說(shuō)明，對(duì)于部分滿足離散Picard條件的模型修正線性方程組，同樣可正則化求解。

為驗(yàn)證“L”曲線法對(duì)截?cái)鄶?shù)選取的有效性，分別取k=6， k=8兩種情況來(lái)進(jìn)行模型修正，結(jié)果如表2所示。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，截?cái)鄶?shù)取7時(shí)修正效果最好。說(shuō)明“L”曲線法對(duì)于截?cái)鄶?shù)的選取是適用的。

表2　不同截?cái)鄶?shù)的模型修正結(jié)果比較

3.4 TSVD正則化方法的噪聲魯棒性探討

為探討TSVD正則化求解方法在不同測(cè)量噪聲水平下的適用性，本部分增加五種噪聲工況：0.5%、 3%、5%、10%和20%進(jìn)行對(duì)比研究。修正方程組的構(gòu)建方式和噪聲添加方式同上。

采用奇異值分解法(SVD)進(jìn)行求解，并對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，各噪聲工況下結(jié)果類似于3.2，修正后有限元模型的頻率會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)，振型MAC值會(huì)更差，因此最小二乘解會(huì)導(dǎo)致沒(méi)有物理意義的修正。

分別畫(huà)出各噪聲工況下的Picard曲線和“L”曲線，如圖5～9，通過(guò)比較可以看出，隨著噪聲水平的提高，方程組對(duì)離散Picard條件的滿足程度逐漸降低。另外 “L”曲線逐漸趨于平滑，當(dāng)噪聲水平達(dá)到10%、20%時(shí)，很難通過(guò)“L”曲線選定截?cái)鄶?shù)k，如圖8～9所示。但對(duì)于能夠通過(guò)“L”曲線選定出截?cái)鄶?shù)的4個(gè)噪聲工況，均可以通過(guò)TSVD方法獲得較理想的修正結(jié)果，如表3～4所示。

表3　基于TSVD正則解的模型修正結(jié)果(模態(tài)頻率)

表4　基于TSVD正則解的模型修正結(jié)果(模態(tài)振型)

圖5　Picard曲線和“L”曲線(ε=0.5%)

圖6　Picard曲線和“L”曲線(ε=3%)

圖7　Picard曲線和“L”曲線(ε=5%)

圖8　Picard曲線和“L”曲線(ε=10%)

圖9　Picard曲線和“L”曲線(ε=20%)

4　導(dǎo)管架平臺(tái)物理模型試驗(yàn)研究

4.1 模型試驗(yàn)

試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑槟硨?dǎo)管架平臺(tái)的縮尺簡(jiǎn)化模型，如圖6所示。材料為鋼材，除導(dǎo)管腿選用Φ20mm×2mm鋼管外，其它桿件均為Φ10mm×2mm的鋼管。由下而上各層高度分別為：0.41m，0.88m，1.25m和1.53m；工作點(diǎn)高度為1.33m。各層橫撐平面尺寸分別為：基底，0.77m×0.54m；一層，0.693m×0.487m；二層，0.6m×0.424m；三層，0.535m×0.375m；工作點(diǎn)以上， 0.52m×0.365m。甲板采用700mm×545mm×10mm的鋼板模擬，柱腳采用螺栓固定。

為模擬在役平臺(tái)的不同損傷工況，立柱、斜撐和橫撐均設(shè)有局部損傷件(如圖10中帶有替換件位置，分別對(duì)應(yīng)于有限元模型的25、51和60單元)。

圖10　鋼質(zhì)導(dǎo)管架模型及測(cè)試儀器

測(cè)試采用加速度傳感器，信號(hào)(經(jīng)內(nèi)部放大)直接接入PL16-DCB8 數(shù)據(jù)采集儀，然后通過(guò)網(wǎng)線接入電腦。傳感器布置方案如圖11所示，共有62個(gè)自由度進(jìn)行了測(cè)試。在模型試驗(yàn)中，采用力錘敲擊頂層甲板角部，同時(shí)激發(fā)兩個(gè)方向的彎曲模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)。由特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(ERA)識(shí)別到的結(jié)構(gòu)前三階頻率分別為：10.9026Hz，11.0321Hz和14.7827Hz。模態(tài)測(cè)試其它詳細(xì)過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

圖11　傳感器布置示意圖

采用文獻(xiàn)[10]中介紹的最優(yōu)擬合法對(duì)實(shí)測(cè)模態(tài)進(jìn)行插值擴(kuò)階，振型圖如圖12所示。

圖12　實(shí)測(cè)振型

4.2 有限元模型

應(yīng)用Matlab編程，建立該試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠邢拊Ｐ腿鐖D13所示。桿件采用兩節(jié)點(diǎn)三維梁?jiǎn)卧?，?dǎo)管架中每根桿劃分為1個(gè)單元，共計(jì)72個(gè)桿單元；甲板采用四節(jié)點(diǎn)殼單元，共劃分為5個(gè)單元。彈性模量取為E=2.06×1011N/m2，密度ρ=7 850kg/m3，采用一致質(zhì)量矩陣。通過(guò)特征值分解，得到有限元模型的模態(tài)頻率和振型。通過(guò)表5中有限元模態(tài)與實(shí)測(cè)模態(tài)的對(duì)比可以看出，第三階模態(tài)誤差相對(duì)較大。

圖13　導(dǎo)管架平臺(tái)有限元模型

4.3 有限元模型修正

(1) 修正參數(shù)選擇

通過(guò)試算發(fā)現(xiàn)，在總質(zhì)量一定的條件下，甲板的單元?jiǎng)澐旨百|(zhì)量矩陣的構(gòu)建方法，對(duì)第3階頻率影響較大。對(duì)于本模型，雖然甲板總質(zhì)量是確定的，但在有限元模型中只劃分了五個(gè)單元(如圖13中73～77單元)，且大小不一，勢(shì)必會(huì)造成較大的建模誤差。另外由于替換件的設(shè)置，局部法蘭連接亦會(huì)造成實(shí)際模型與有限元模型之間的誤差。

因此，可以初選甲板73～77單元的質(zhì)量矩陣，以及25、51和60單元的剛度矩陣作為修正對(duì)象，修正參數(shù)為相應(yīng)的質(zhì)量修正系數(shù)β74, β75, β76, β77和剛度修正系數(shù)α25, α51, α60，共8個(gè)。

(2)模型修正

用前3階實(shí)測(cè)模態(tài)和前5階有限元分析模態(tài)構(gòu)建15個(gè)CMCM方程，方程組系數(shù)矩陣的秩為8，求解8個(gè)未知數(shù)，理論上有唯一解。

采用SVD方法求取修正方程組的最小二乘解，并對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，結(jié)果如表5所示，修正后模型的的頻率和振型與實(shí)測(cè)值吻合程度比初始有限元模型更差，修正求解失效。

由該方程組的Picard曲線(如圖14所示)可以看出，該系統(tǒng)滿足可正則求解的前兩個(gè)條件，部分滿足離散Picard條件，因此可考慮采用TSVD正則化方法進(jìn)行求解。

圖14　Picard曲線

采用L曲線法選取截?cái)鄶?shù)k=5(如圖15所示)。根據(jù)公式(10)求取該方程組的正則解，并對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，結(jié)果如表5所示。修正后模型的前三階頻率和振型均有所改善，尤其對(duì)于初始誤差較大的第三階模態(tài)，修正效果較好。

圖15　“L”曲線

階數(shù)Modes實(shí)測(cè)頻率Measuredfrequency/Hz初始有限元模型InitialFEmodel頻率Frequencies/Hz誤差Errors/%MAC修正后模型(SVD)Updatedmodel頻率Frequencies/Hz誤差Errors/%MAC修正后模型(TSVD)Updatedmodel頻率Frequencies/Hz誤差Errors/%MAC110.90310.896-0.060.931310.9310.2570.072210.897-0.0060.9460211.03211.019-0.120.918112.50513.40.066111.03200.9401314.78314.392-2.640.999914.2053.90.018514.810.0180.9992

5　結(jié)論

本文對(duì)模型修正病態(tài)方程組的求解問(wèn)題進(jìn)行了探討，將數(shù)學(xué)上常用的TSVD正則化方法和“L”曲線法引入到了模型修正線性方程組的求解中，通過(guò)數(shù)值和試驗(yàn)研究得出以下結(jié)論：

(1)當(dāng)模型修正方程組呈現(xiàn)一定程度的“病態(tài)”時(shí)，在測(cè)量噪聲的影響下，最小二乘解容易導(dǎo)致模型修正失效。采用TSVD正則化方法進(jìn)行求解可有效的解決這一問(wèn)題；

(2)模型修正線性方程組通常只能部分滿足離散Picard條件，TSVD正則化方法對(duì)此同樣適用；

(3)TSVD正則化方法求解的關(guān)鍵是截?cái)鄶?shù)的選取，本文研究證明“L”曲線法對(duì)于截?cái)鄶?shù)的選取是有效的，但曲線的繪制過(guò)程需要進(jìn)行大量的試算。

(4)當(dāng)噪聲水平較大時(shí)，“L”曲線趨于平直，很難通過(guò)“L”曲線法對(duì)截?cái)鄶?shù)進(jìn)行選取，因此尚需要探討其它方法。

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責(zé)任編輯陳呈超

Study on the Application of Regularization Method in Structural Model Updating

LIYing-Chao1，WANGShu-Qing2，ZHANGMin

(1.CollegeofCivilEngineering,LudongUniversity,Yantai264025，China; 2.CollegeofEngineering,OceanUniversityofChina,Qingdao266100，China)

Whilemodelupdatingequationsoflargestructuresalwayspresentsill-conditioning,smallerrorsinthemeasureddatawouldcauseafailuresolution.Inthispaper,thesolutionproblemofill-conditionedandnoisypollutedmodelupdatingequationsisstudied.First,theregularizationmethodscommonlyusedinmathematicsareintroducedtosolvethemodelupdatingequations.Then,numericalexampleofancantileverbeamisstudiedtodiscusstheapplicabilityoftheregularizationmethod.Resultsshowthattheill-conditionedmodelupdatingsystemcanbesolvedeffectivelywithproperregularization.Inaddition,themethodcanalsobeappliedtothemodelupdatingequationswhichpartiallysatisfiesthediscretePicardcondition.Finally,anexperimentstudyofajacketplatformstructureisconductedtoverifythepracticabilityoftheregularizationmethod.

modelupdating；ill-condition；regularization；jacketplatform

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51379196；51209189)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2013EEQ006)；泰山學(xué)者工程專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)；魯東大學(xué)科研基金項(xiàng)目(LY2013027)資助

2015-03-20；

2015-12-15

李英超(1985-)，女，博士，講師。E-mail:yingchao.ouc@163.com

O302;O327

A

1672-5174(2016)09-107-09

10.16441/j.cnki.hdxb.20150032

Supported by the National Natural Science Foundation of China(51379196；51209189); Natural Science Foundation of Shandong Province(ZR2013EEQ006); Taishan Scholars Program of Shandong Province ; Science Foundation of Ludong University(LY2013027)