時標上一類時滯中立型動力方程的非振動解

劉光輝,王 佩

(湖南工程學(xué)院 理學(xué)院,湘潭 411104)

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時標上一類時滯中立型動力方程的非振動解

劉光輝,王 佩

(湖南工程學(xué)院 理學(xué)院,湘潭 411104)

考慮了時標上時滯中立型動力方程(x(t)-cx(t-τ))Δ+q(t)x(t-σ)=0,其中τ>0,σ≥0為常數(shù),q(t)∈Crd[T,R+).運用壓縮映射原理獲得了該方程非振動解存在的充分條件.

時標;中立型;振動;時滯

StefanHilger[1]對時標上時滯動力型方程開創(chuàng)性的研究,引起了廣泛關(guān)注.近些年，很多學(xué)者對時標上動力方程解的有界性、漸近性、全局吸引性進行了深入研究,不斷取得新結(jié)果[2-5].但對解的非振動性理論研究卻甚少，時標上微分方程的非振動性理論不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著重要的意義，而且它本身對金融、期貨、生物制藥、環(huán)境科學(xué)、自動控制系統(tǒng)等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型的解的討論有著重要的應(yīng)用背景.

1 預(yù)備知識

將離散和連續(xù)形式統(tǒng)一起來的時標(實數(shù)R的任意一個非空閉子集稱作一個時標，本文以符號T表示)．常用的集合，如R,Z,N,[0,1]∪N，都是時標.但有理數(shù)集,無理數(shù)集,開區(qū)間(0,1)等都不符合時標定義，都不是時標.時標上一階中立型動力方程的定性研究并不多，文獻[7]考慮了

解的振動性.文獻[8]考慮了

(x(t)-x(t-r))Δ+P(t)x(t-θ)-Q(t)x(t-δ)=0.

的有界解.

本文考慮時標上一類中立型動力方程:

(x(t)-cx(t-τ))Δ+q(t)x(t-σ)=0

(1)

這里τ>0,σ≥0為常數(shù),q(t)∈Crd[T,R+).

2 主要結(jié)果

(2)

成立.這里M1<1,M2>M1>0，且

(3)

設(shè)X(t)是所有rd連續(xù)有界向量函數(shù).設(shè)

(4)

定義算子T:A→X如下:

顯然TX是rd連續(xù)的,對于每一個X∈A,當t≥t1時,由(2),(3)有:

2(1-c)-M1≤M2

又由(2)有:

因此TA?A.故A是有界的閉凸子集.

下證T為一壓縮算子.

對于?X1,X2∈A,t≥t1,有:

這表明:

從而T為壓縮映射.因此存在一不動點X,TX=X,為(1)的一非振動解.證畢.

定理2 當-1

(5)

設(shè)X(t)是[t0,)上的rd連續(xù)有界向量函數(shù).設(shè)

(6)

定義算子T:A→X如下:

顯然TX是連續(xù)的,對于每一個X∈A,當t≥t1時,由(5)與(6)有:

2(1-c)-L1≤L2.

又

因此TA?A.故A是有界的閉凸子集.

下證T為一壓縮算子.

對于?X1,X2∈A,t≥t1,有:

這表明:

[1] S.Hilger.Analysis onmeasure Chains A Unified Approach to Continuous and Discrete Calculus[J].Results inmatematics 1990,18: 18-56.

[2] S.H.Saker.Oscillation of Second-order Nonlinear Neutral Delay Dynamic Equations on Time Scales [J].Journal of Computational and Appliedmatematics,2005,39(3): 377-396.

[3] E.Akin Bohner,J.Hoffacker.Oscillation Properties of an Emden-Fower Type Equations on Discrete Time Scales[J].Diff.Eqns.Appl.,2003,9:603-612.

[4] 楊 軍，張玉靜.時標上二階混合型邊值問題的正解存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2008,31(4): 592-598.

[5]m.Bohner,J.E.Castillo.mimeticmethods onmeasure Chadynamic ins[J].Comput.math.Appl.,2001,42: 705-710.

[6] R.P.Agarwal,M.Bohner,S.H.Saker.Oscillation of Second Order Delay Dynamic Equations[M].Canad.Appl.Math.Quart,Accepted for Publication,2001:193-199.

[7] 劉光輝,夏文華.測度鏈上一階中具有多時滯的非線性中立型泛函微分方程的振動性[J].湖南工程學(xué)院自科版,2011(4)：35-37.

[8] 劉蘭初,劉光輝.測度鏈上具有正負系數(shù)的中立型動力方程的有界解[J].江西師范大學(xué)學(xué)報,2006(4)：336-338.

Nonoscillatory Solutions for One Netural Dynamic Equation onmeasure Chains

LIU Guang-hui,WANG Pei

(College of Science,Hunan Institute of Engineering,Xiangtan 411104,China)

measure chains; netural; nonoscillatory solution

2015-11-25基金項目：湖南省教育廳科研資助項目(13C188).作者簡介：劉光輝(1974-),男,碩士,講師，研究方向：泛函微分方程及其應(yīng)用.

O175.1

A

1671-119X(2016)02-0053-03