一種單連桿機(jī)械臂柔性關(guān)節(jié)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

安凱，王飛飛

（山東航天電子技術(shù)研究所，山東煙臺264003）

一種單連桿機(jī)械臂柔性關(guān)節(jié)的滑模變結(jié)構(gòu)控制

安凱，王飛飛

（山東航天電子技術(shù)研究所，山東煙臺264003）

研究一種帶柔性關(guān)節(jié)的單連桿機(jī)械臂的跟蹤控制問題，其中體現(xiàn)關(guān)節(jié)柔性的是連接單連桿機(jī)械臂和驅(qū)動電機(jī)的兩個仿腱線彈簧。利用Lagrange方程導(dǎo)出跟蹤控制問題的數(shù)學(xué)模型，引進(jìn)滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)，給出Hurwitz多項式的確定以及滑?？刂破鞯脑O(shè)計方法，并討論Hurwitz多項式的根對控制效果的影響。將滑?？刂破鞯谋硎臼酱敫櫩刂茊栴}的數(shù)學(xué)模型中，得到狀態(tài)變量的非線性微分方程組，利用Matlab進(jìn)行仿真，得到了理想的控制輸出效果。

單連桿機(jī)械臂；柔性關(guān)節(jié)；最優(yōu)滑模跟蹤控制；多目標(biāo)規(guī)劃

0　引言

由于柔性機(jī)械臂具有慣量低、能耗低、模態(tài)頻率低、質(zhì)量輕、工作效率高和載荷質(zhì)量比大等特點，已廣泛應(yīng)用于航空航天、精密加工、坐標(biāo)測量等領(lǐng)域。然而，柔性機(jī)械臂極易產(chǎn)生彈性振動，末端難以精確定位使其控制器的設(shè)計面臨重大挑戰(zhàn)，特別是在路徑生成和跟蹤的情形。通常此類非線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計方法是首先通過反饋線性化將機(jī)械臂動力學(xué)方程化為線性方程[1?5]，然后利用線性系統(tǒng)的技術(shù)設(shè)計控制器。但對于柔性機(jī)械臂，由于反饋線性化方法在控制器設(shè)計過程中不能充分獲取非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性，因此跟蹤誤差難以消除。為了設(shè)計控制器使機(jī)械臂末端精確到達(dá)指定位置或跟蹤預(yù)定的路徑，許多研究者引進(jìn)了微分幾何的方法用于對柔性關(guān)節(jié)的控制。Yim[6]，Oh and Lee[7]提出一種基于Backstepping設(shè)計的自適應(yīng)輸出反饋控制器，以解決柔性關(guān)節(jié)參數(shù)不確定問題。Moberg等[8]針對三關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型，研究了反饋線性化方法的離散時間實現(xiàn)，對不確定模型的快速跟蹤問題進(jìn)行了仿真。Lin等[9]以及Spong[10]等人還將反饋線性化和積分流型技術(shù)引入非線性系統(tǒng)的控制中。Tomei[11]和Yeon[12]等人分別利用簡單的PD控制和穩(wěn)健的H∞控制實現(xiàn)了柔性關(guān)節(jié)的穩(wěn)健控制。上述控制方法的一個共同的特點是控制器一經(jīng)確定，在控制過程中不能根據(jù)非線性系統(tǒng)的輸出進(jìn)行適時調(diào)整，也不能充分獲取非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性，因此必然產(chǎn)生跟蹤誤差。

滑模變結(jié)構(gòu)控制作為一種非線性控制方法，與常規(guī)控制方法的根本區(qū)別在于控制的不連續(xù)性。它利用一種特殊的滑模控制方式，強(qiáng)迫系統(tǒng)的狀態(tài)變量沿著人為規(guī)定的狀態(tài)空間的滑動超平面滑到期望點。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)穿越滑動超平面時，反饋控制的結(jié)構(gòu)將發(fā)生變化，迫使系統(tǒng)狀態(tài)變量回到該滑動超平面。因此滑模變結(jié)構(gòu)控制對非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性和外在環(huán)境擾動等因素具有一定的適應(yīng)能力，對系統(tǒng)中存在的不確定性具有極強(qiáng)的魯棒性?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的動態(tài)過程由到達(dá)階段和滑動模態(tài)運動階段構(gòu)成，只要在到達(dá)階段保證系統(tǒng)狀態(tài)能趨近并進(jìn)入滑動模態(tài)，就可以保證滑動模態(tài)運動階段的穩(wěn)定性。機(jī)械臂的關(guān)節(jié)柔性是影響機(jī)械臂動態(tài)精確度和穩(wěn)定性的重要因素。雖然在控制器設(shè)計中考慮關(guān)節(jié)的柔性因素能改善系統(tǒng)的綜合性能指標(biāo)，但同時也因為受柔性因素影響控制器設(shè)計變得更加復(fù)雜。本文針對一種單連桿機(jī)械臂柔性關(guān)節(jié)模型，引入滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，以增強(qiáng)控制器對關(guān)節(jié)柔性導(dǎo)致的系統(tǒng)不確定性及外部擾動的自適應(yīng)性，保證控制系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。

1　單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型

單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型如圖1所示[13]。單連桿機(jī)械臂通過兩個仿腱線性彈簧固連在電機(jī)上，以產(chǎn)生關(guān)節(jié)的柔性。電機(jī)固定在機(jī)械臂的基座上，基座平面與水平面平行。θ表示電機(jī)的角位移或連桿偏離豎直方向的角度，α表示柔性關(guān)節(jié)產(chǎn)生的偏差角度，θ+α表示連桿的實際角度。

圖1　單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型

由Euler?Lagrange方程，柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的能量方程為：

式中：

式中，電機(jī)的扭矩τ是由加在電樞兩端的電壓u產(chǎn)生的，它們之間的關(guān)系為：

由式（1）的前一個方程得：

由式（1）的后一個方程得：

式（2）和式（3）聯(lián)立得：

則機(jī)械臂的運動方程可表示為：

2　滑模變結(jié)構(gòu)控制

以yd表示理想輸出，則跟蹤誤差為e=yd-y，定義滑模函數(shù)為：

式中c1，c2，c3是使多項式λ3+c3λ2+c2λ+c1為Hurwitz多項式的參數(shù)。

因此滑動模態(tài)s(t)=0是Lyapunov穩(wěn)定的。

3　滑動模態(tài)控制參數(shù)的選擇

滑動模態(tài)s(t)=0的Lyapunov穩(wěn)定性意味著：

但這并不意味著e→0。由于：

的特征方程為：

根據(jù)高階線性微分方程理論，微分式（5）的解可表示為eλ1t，eλ2t，eλ3t，其中λ1，λ2，λ3是式（6）的根。因此只要λ1，λ2，λ3的實部均為負(fù)數(shù)，式（4）就意味著e→0。為簡單起見可以選擇式（6）的根均為負(fù)數(shù)，甚至全部為重根。比如λ=-λ0（λ0>0）是式（6）的3重根，則式（6）可表示為：

圖2　軌跡跟蹤(s(t)=e+3+3+)

對比這三幅圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著特征根絕對值的增大，輸出逼近理想輸出的速度逐步提高，逼近過程中的最大偏差也在逐步縮小。需要指出的是盡管式（6）的根-λ0的絕對值越大，與此對應(yīng)的式（5）中的e收斂于0的速度越快，而且如下的仿真結(jié)果也說明了這一點，但選擇另外的η>0進(jìn)行的仿真說明，增大特征式（6）的根-λ0的絕對值，非線性系統(tǒng)的輸出y收斂于理想輸出yd的速度不一定加快，逼近過程中的最大偏差也不一定會縮小。

圖3　軌跡跟蹤(s(t)=8e+12+6?+)

圖4　軌跡跟蹤(s(t)=27e+27+9?+)

在如下的仿真中η=27，而且通過另外的仿真可以看出，在s(t)一定時，從η=0.4開始直到η=27輸出y收斂于理想輸出yd的速度逐步加快，逼近過程中的最大偏差也逐步縮小。

盡管不能得出式（6）的根以及η與收斂逼近過程中的最大偏差的普遍結(jié)論，但上述事實至少可以說明：不能一概通過增大特征根絕對值的方法改善逼近效果；特征根以及η的選擇既與輸出逼近理想輸出的速度有關(guān)，也與輸出逼近理想輸出的最大偏差有關(guān)，特征根以及η應(yīng)視實際問題的側(cè)重點作出選擇。

4　仿真

為計算方便，假定所有參數(shù)為1，理想輸出為：

于是在滑模控制之下系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

于是：

令A(yù)=0.1，按照特征方程

的3個重根為-1，-2和-3分別取

構(gòu)造滑動模態(tài)，利用Matlab解微分方程組（7），輸出和理想輸出依次如圖2～圖4所示。圖5是選擇s(t)=27e+27+9?+時得到的微分方程組（7）的解。

圖5　狀態(tài)變量(s(t)=27e+27+9?+

5　結(jié)語

由于特征方程為：

的根全部為負(fù)數(shù)是p3+c3p2+c2p+c1為Hurwitz多項式的充分條件，因此多項式：

是Hurwitz多項式。其中λ1，λ2，λ3是任意的三個正數(shù)。因此Hurwitz多項式的選擇具有相當(dāng)大的任意性，可以通過λ1，λ2，λ3的選擇獲得更好的控制效果，比如收斂速度更快以及更小。

利用隨機(jī)搜索法[14]對參數(shù)λ1，λ2，λ3進(jìn)行隨機(jī)搜索顯然可找到更好的解，但運算量特別大。其實，控制器設(shè)計過程中，η>0的選擇也與控制效果密切相關(guān)。η過大可以縮短過度時間，使收斂速度加快，但同時也容易導(dǎo)致“過調(diào)”，使增大[15]。將這樣的最優(yōu)滑模跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化成一個多目標(biāo)規(guī)劃問題，從而直接求出4個待定參數(shù)λ1，λ2，λ3和η的值，甚至將微分方程組中變量的個數(shù)由4推廣到自然數(shù)n，直接求出η和(λ+λ1)(λ+λ2)…(λ+λn-1)=λn-1++…+中λ1,λ2,…,λn-1的值是一個需要進(jìn)一步研究的問題。

[1]BASCETTA L，ROCCO P.Revising the robust?control design for rigid robot manipulators[J].IEEE Transactions on Robotics，2010，26（1）：180?187.

[2]SONG B，MILLS J，LIU Y，et al.Nonlinear dynamic modeling and control of a small?scale helicopter[J].International Journal of Control，Automation and Systems，2010，8（3）：34?543.

[3]CHWA D.Tracking control of differential?drive wheeled mobile robots using a backstepping?like feedback linearization[J]. IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，Part A：Systems and Humans，2010，40（6）：1285?1295.

[4]ORIOLO G，LUCA A，VENDITTELLI M.WMR control via dy?namic feedback linearization：design，implementation，and ex?perimental validation[J].IEEE Transactions on Control Sys? tems Technology，2002，10（6）：835?852.

[5]HYOCHOONG B，JUNG S L，EUN Y J.Nonlinear attitude control for a rigid spacecraft by feedback linearization[J]. KSME International Journal，2004，18（2）：203?210.

[6]YIM W.Adaptive control of a flexible joint manipulator[C]// Proceedings of IEEE International Robotics&Automation. Seoul，Korea：IEEE，2001：3441?3446.

[7]OH J H，LEE J S.Control of flexible joint robot system by backstepping design approach[C]//Proceedings of IEEE Inter?national Conference on Robotics&Automation.[S.l.]：IEEE，1997：3435?3440.

[8]MOBERG S，HANSSEN S.On feedback linearization for ro?bust tracking control of flexible joint robots[J].IFAC Proceedings Volumes（IFAC?PapersOnline）；2008，17（1）：1?25.

[9]LIN L C，YUAN K.Control of flexible joint robots via external linearization approach[J].Journal of Robotic Systems，2007，1（1）：1?22.

[10]SPONG M W，KHORASANI K，KOKOTOVIC P V.An integra manifold approach to the feedback control of flexible joint ro?bots[J].IEEE Journal of Robotics and Automation，1987，3（4）：291?300.

[11]TOMEI P.A simple PD controller for robots with elastic joints [J].IEEE Transactions on Automatic Control，1991，36（10）：1208?1213.

[12]YEON J S，PARK J H.Practical robust control for flexible joint robot manipulators[C]//Proceedings of IEEE International ConferenceonRoboticandAutomation.Pasadena，CA，USA：IEEE，2008：3377?3382.

[13]AHMAD M A，RAMLI M S，RAJA I，et al.The investiga?tions of input shaping with optimal state feedback for vibra?tion control of a flexible joint manipulator[C]//2009 Con?ference on Innovative Technologies in Intelligent Systems and Industrial Applications（CITISIA 2009）.Sunway Campus，Malaysia：[s.n.]，2009：446?451.

[14]安凱，邢進(jìn)生，邱祖廉.模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二階段變半徑隨機(jī)搜索算法[J].自動化學(xué)報，2000，26（5）：616?622.

[15]安凱，馬佳光，傅承毓.由Z傳遞函數(shù)確定PID控制器參數(shù)[J].光電工程，2001，28（6）：7?9.

Sliding mode variable structure control for flexible joint of single connecting?rod mechanical arm

AN Kai，WANG Feifei
（Shandong Aerospace Electro?technology Institute，Yantai 264003，China）

Tracking control problem of a single connecting?rod mechanical arm with flexible joint based on sliding mode variable structure control is studied.The flexibility of the joint is incarnated by two linear springs in a tendon?like fashion.The mathematical model of the tracking control is formulated with Lagrange equations.The technique of sliding mode variable struc?ture control is introduced.The methods to choose the coefficients of Hurwitz polynomial and design the sliding mode controller are given.The effect of the roots of the Hurwitz polynomial on the tracking result is discussed in this paper.The controller ex?pression is introduced into the mathematical model for the tracking control to obtain a set of nonlinear differential equations of status variable.The ideal control output effect was got by simulation with Matlab.

single connecting?rod mechanical arm；flexible joint；optimal sliding mode tracking control；multiple objective programming

TN911?34；TP273

A

1004?373X（2016）02?0004?05

10.16652/j.issn.1004?373x.2016.02.002

安凱（1957—），研究員，博士后。主要從事光學(xué)工程、智能控制和機(jī)器人方面的研究。

2015?07?14

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃“973”資助（2013CB733000）