氣相色譜中粒子運(yùn)動(dòng)行為的隨機(jī)行走模擬

郭 彥， 傅應(yīng)強(qiáng)， 趙健偉

(1.南京信息工程大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇南京 210044；2.南京大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，生命分析化學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210093)

氣相色譜在揮發(fā)性化學(xué)物質(zhì)的分離、鑒定和定量分析上占有重要的地位，它在環(huán)境、工業(yè)、生物、法醫(yī)等方面也有著突出的應(yīng)用[1 - 3]。氣相填充柱色譜是最早發(fā)展起來(lái)的色譜技術(shù)，相關(guān)色譜理論，如經(jīng)典的速率理論、板高方程等也是最早被提出并完善的，在此基礎(chǔ)之上色譜理論被進(jìn)一步拓展到了開(kāi)管柱以及液相色譜中。基于宏觀的擴(kuò)散理論，人們對(duì)氣相色譜的保留值、半峰寬，色譜操作條件的優(yōu)化已有大量的實(shí)驗(yàn)研究。在色譜理論的推進(jìn)和深化過(guò)程中，從微觀層面上對(duì)它的分離及條件控制的模擬也顯得至關(guān)重要。譬如，Dondi等應(yīng)用蒙特卡羅方法模擬了非線性色譜并優(yōu)化了操作條件，并對(duì)Langmuir吸附模型相關(guān)的色譜熱力學(xué)進(jìn)行了研究[4]。Siepmann等應(yīng)用蒙特卡羅方法研究了氣液色譜中烷烴、醇、芳烴等物質(zhì)的界面吸附、分配、保留機(jī)理等[5 - 7]。Tanaka等應(yīng)用實(shí)驗(yàn)結(jié)合半經(jīng)驗(yàn)量化計(jì)算的方法研究了氫/氘同位素在疏水作用上的影響[8]。Sun等運(yùn)用分子動(dòng)力學(xué)模擬了配體密度對(duì)蛋白質(zhì)在疏水電荷誘導(dǎo)色譜上吸附、脫附和構(gòu)型變化的影響[9]。Gorbunov等應(yīng)用自編程的色譜二維可視模型研究了不同吸附作用下嵌段共聚物在液相色譜中的分配系數(shù)[10]。Sarti等應(yīng)用數(shù)學(xué)模型描述了蛋白質(zhì)在膜親和色譜中的純化過(guò)程[11]。這些理論研究為色譜實(shí)驗(yàn)提供了豐富的基礎(chǔ)理論，然而，由于計(jì)算量的限制，這些理論研究主要集中在色譜熱力學(xué)上，如吸附模型、兩相分配等。

色譜在分離科學(xué)中占據(jù)不可或缺的地位也和它的動(dòng)力學(xué)內(nèi)容，如速率理論、流出曲線、待分離粒子的遷移過(guò)程等密不可分。色譜動(dòng)力學(xué)不僅能促進(jìn)提升色譜熱力學(xué)研究的理論層次，而且能夠?qū)ιV分離的本質(zhì)，操作條件的優(yōu)化等起到關(guān)鍵性的指導(dǎo)作用。在理論層面上研究色譜動(dòng)力學(xué)，就需要對(duì)整個(gè)色譜體系構(gòu)建模型，繁復(fù)且計(jì)算量大。而隨機(jī)行走特別適合用來(lái)模擬這種大規(guī)模體系。隨機(jī)行走是Pearson在1905年引入的一項(xiàng)數(shù)學(xué)模型，用于描述在給定時(shí)間內(nèi)連續(xù)且隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡[12]。隨機(jī)行走最顯著的優(yōu)勢(shì)在于它提取了運(yùn)動(dòng)行為中的關(guān)鍵性因素，并對(duì)其采取了適當(dāng)且合理的近似，因而簡(jiǎn)化了計(jì)算量，使得隨機(jī)行走能夠運(yùn)用在一些大規(guī)模的模擬體系中，如土壤和生物組織中的擴(kuò)散問(wèn)題[13,14]、藥物輸運(yùn)[15,16]、神經(jīng)傳導(dǎo)[17]和晶體生長(zhǎng)[18,19]等。

在氣相色譜中，待分離粒子是限制在有限的空間環(huán)境內(nèi)的，粒子與流動(dòng)相間沒(méi)有相互作用，它的運(yùn)動(dòng)行為跟隨機(jī)擴(kuò)散密切相關(guān)。基于這些相似性，我們應(yīng)用隨機(jī)行走模擬了氣相填充柱色譜中待分離粒子的運(yùn)動(dòng)行為。同時(shí)，還開(kāi)展了相對(duì)應(yīng)的實(shí)際氣相色譜實(shí)驗(yàn)。模擬與實(shí)驗(yàn)得出了相一致的結(jié)果，驗(yàn)證了本隨機(jī)行走模型在氣相色譜模擬上的可應(yīng)用性。本模擬方法對(duì)于色譜操作條件的優(yōu)化，及發(fā)展高效能色譜等具有參考價(jià)值。

1 計(jì)算方法與實(shí)驗(yàn)

1.1 計(jì)算方法

為了研究外部因素對(duì)保留因子，柱效等與色譜動(dòng)力學(xué)相關(guān)參量的影響，我們采用了一種微觀的隨機(jī)模型用來(lái)描述填充柱色譜中分子運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。所用軟件為自主開(kāi)發(fā)的隨機(jī)行走程序，可在Window系統(tǒng)上運(yùn)行[20 - 23]。

1.1.1分離柱分離柱定義為一個(gè)二維平面空間。根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的色譜柱長(zhǎng)，定義長(zhǎng)度為2 m(X方向)，寬度為2 mm(Y方向)，見(jiàn)圖1。在整個(gè)空間內(nèi)，周期性排布著單元格，如圖1中虛框所示。單元格中多邊形為勢(shì)壘，用來(lái)模擬色譜中的固定相。待分離粒子可以在這些空腔內(nèi)(無(wú)勢(shì)壘區(qū)域)自由運(yùn)動(dòng)，但不能進(jìn)入這些勢(shì)壘中。

1.1.2待分離粒子我們以忽略質(zhì)量和體積的粒子(圖1中的灰點(diǎn))來(lái)模擬待分離粒子。粒子的位置用其所在單元格中的相對(duì)于單元格中心點(diǎn)的相對(duì)位置來(lái)描述：

Parrel=Parabs-Cellabs

(1)

其中，Parrel是粒子的相對(duì)位置對(duì)應(yīng)的位矢，Parabs是粒子的絕對(duì)位置對(duì)應(yīng)的位矢，Cellabs是勢(shì)壘中心點(diǎn)的絕對(duì)位置對(duì)應(yīng)的位矢。

圖1 算法模型示意圖。虛框?yàn)橹芷谛耘挪嫉膯卧瘢駜?nèi)的綠色多邊形代表著固定相?；疑珗A點(diǎn)為待分離粒子，紅色曲線為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。桔色箭頭和藍(lán)色箭頭分別代表著橫向速度的方向和擴(kuò)散速度的方向Fig.1 Schematic diagram of the simulated chromatographic system.The dashed box is the repeated arranged subcells,in which the green polygon represents the stationary phase.The grey dot is the point-like molecule,and the red curve is its’ mobile trajectory.The orange and the blue arrows represent the direction of transverse velocity and diffusion velocity,respectively

粒子的速度由兩部分組成。一個(gè)是由驅(qū)動(dòng)力施加的橫向速度，定義為X方向的橫向速度(Vx，單位為mm·s-1)。該速度可以用來(lái)代表實(shí)際實(shí)驗(yàn)中載氣的流速。另一個(gè)速度是擴(kuò)散速度，該速度是與溫度相關(guān)的一個(gè)變量。在本文中該擴(kuò)散速度的初始賦值是遵照氣體布朗運(yùn)動(dòng)估算得出的。粒子擴(kuò)散的運(yùn)動(dòng)方向隨機(jī)生成,在以粒子為中心的0≤α<2π范圍內(nèi)等概率分布，α為方向角。粒子達(dá)到勢(shì)壘邊界上時(shí)，將按照彈性碰撞模型處理，即粒子的擴(kuò)散速度大小不變，方向按照反射定律進(jìn)行反射后繼續(xù)在色譜柱中運(yùn)動(dòng)。

1.1.3運(yùn)動(dòng)過(guò)程粒子和勢(shì)壘的相互作用可以用多種模型來(lái)描述，本模擬中采用彈性碰撞模型簡(jiǎn)化了粒子與固定相的作用。假定粒子在某段時(shí)間之內(nèi)速度的方向和大小不發(fā)生變化,即速度和時(shí)間步(即粒子在程序中的行走時(shí)間單位與實(shí)際物理單位之間的比值,程序中采用0.005 s·step-1)決定了粒子一步隨機(jī)行走的步長(zhǎng)。在不受到勢(shì)壘阻礙的情況下,根據(jù)速度、每步時(shí)間和粒子的當(dāng)前位置即可確定粒子完成一步行走之后所處的位置。若粒子與勢(shì)壘發(fā)生碰撞,它的橫向速度不變，擴(kuò)散速度大小不變，方向按照反射定律進(jìn)行反射。時(shí)間也劃分為兩部分，分別為粒子運(yùn)動(dòng)到碰撞點(diǎn)前、后所需要的時(shí)間。碰撞前時(shí)間作用于碰撞前速度矢量，碰撞后時(shí)間作用與碰撞后速度矢量，據(jù)此可以確定碰撞之后的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡。粒子若干個(gè)時(shí)間段內(nèi)位置參數(shù)的時(shí)間積分,即可以確定整個(gè)時(shí)間段內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡：

(2)

1.2 色譜實(shí)驗(yàn)

高純N2、高純H2、空氣和標(biāo)準(zhǔn)CH4(體積含量為3.2×10-6，剩余為Ar)，均購(gòu)買于南京紅健氣體有限公司。實(shí)驗(yàn)所使用的氣相色譜儀為Agilent GC-6890N系統(tǒng)，配備氫火焰離子化檢測(cè)器(FID)。填充柱為不銹鋼材質(zhì)，尺寸為2 m(X方向)×2 mm(Y方向)，內(nèi)填充固定相13XMS(載體粒徑60～80目)。爐溫和檢測(cè)器溫度分別設(shè)置為60 ℃和200 ℃。H2流速為30 mL·min-1，空氣流速為400 mL·min-1。載氣為N2，流速設(shè)為30 mL·min-1，在此載氣流速下樣品CH4氣體的保留時(shí)間為2.05 min。每次實(shí)驗(yàn)以不分流的方式進(jìn)樣，進(jìn)樣體積均為10 mL。為了考察溫度和壓力的影響，實(shí)驗(yàn)中的爐溫及載氣流速會(huì)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。

2 結(jié)果與討論

2.1 粒子的擴(kuò)散行為

為了評(píng)價(jià)模擬中粒子的擴(kuò)散行為，分析了粒子的均方位移(MSD)。均方位移是指粒子位移平方的平均值，用來(lái)表征粒子運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的微觀物理量，同時(shí)它也是一個(gè)受溫度影響的物理量。在模擬程序中，均方位移定義為[24]：

(3)

其中，N代表粒子數(shù)目，t為時(shí)間，ri(t)-ri(0)為在t時(shí)間內(nèi)的位移矢量。

如果以時(shí)間為橫坐標(biāo)，均方位移的斜率即為擴(kuò)散系數(shù)D：

〈r2(t)〉=2dDt

(4)

其中，d是多維體系的維數(shù)。據(jù)此可以推導(dǎo)出在二維體系中擴(kuò)散系數(shù)的表達(dá)式：

(5)

圖2 不同溫度條件下粒子的均方位移Fig.2 Mean square displacement under different temperature conditions

圖3 不同橫向速度條件下保留時(shí)間的柱狀統(tǒng)計(jì)分布圖Fig.3 Statistical distribution of the retention times with different transverse rates The particle size of stationary phase is 205 μm;temperature is 200 ℃.

圖2為在不同模擬溫度下，均方位移隨時(shí)間的變化曲線。由圖可見(jiàn)，當(dāng)溫度比較低的時(shí)候，粒子的均方位移隨時(shí)間呈線性變化，說(shuō)明粒子的自發(fā)運(yùn)動(dòng)是一個(gè)自由擴(kuò)散的過(guò)程。從斜率上可以求出粒子的擴(kuò)散系數(shù)。如，在溫度20、40、60 ℃(曲線g、h和i)時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)分別為2.72×10-3、3.12×10-3和3.52×10-3mm2·s-1。這些數(shù)值與文獻(xiàn)中報(bào)道的通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法求解出的氣體的擴(kuò)散系數(shù)非常接近，均在同一個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi)[25,26]。在模擬的溫度區(qū)間內(nèi)，當(dāng)溫度升高，均方位移隨時(shí)間呈現(xiàn)曲線變化，說(shuō)明除了擴(kuò)散行為外，粒子還有具有明顯的流動(dòng)行為[27]。同時(shí)，曲線的曲率隨著溫度的升高而變大，表明擴(kuò)散系數(shù)與溫度之間應(yīng)呈指數(shù)函數(shù)的變化關(guān)系。

2.2 壓力影響

氣相色譜對(duì)于壓力變化比液相色譜更加的敏銳。在實(shí)際色譜實(shí)驗(yàn)中，如果壓力增大，死時(shí)間和CH4氣體的出峰時(shí)間會(huì)縮短。載氣的流速由柱長(zhǎng)和死時(shí)間計(jì)算得出。相應(yīng)的，載氣的流速隨著壓力的增大而增大。因而在模擬中，采用橫向速度Vx作為壓力大小的度量。Vx的取值設(shè)定是在實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，略有擴(kuò)展而來(lái)。

圖3為隨著壓力變化，粒子保留時(shí)間的柱狀統(tǒng)計(jì)分布圖。其中，溫度固定為200 ℃，勢(shì)壘粒徑為205 μm。勢(shì)壘粒徑的設(shè)置也是根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)中固定相載體的大小(60～80目)而定的。固定相填充率和形狀等對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)行為的影響可以參看我們以前的報(bào)道[22]。圖3中，每個(gè)Vx條件下的柱狀圖都分別為1 000個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由圖可見(jiàn)，這些柱狀分布峰符合高斯正態(tài)分布，峰形光滑，無(wú)缺陷，且對(duì)稱性好。壓力增大勢(shì)必引起橫向速度的增加，因而在保留時(shí)間的統(tǒng)計(jì)圖上，保留時(shí)間減小與預(yù)期結(jié)果相符，出峰時(shí)間從319 s縮短至126 s。值得注意的是，壓力增大還引起了統(tǒng)計(jì)峰峰形的變化，峰形逐漸變窄變尖銳，說(shuō)明柱效也相應(yīng)增加。半峰寬(FWHM)是色譜流出曲線的一項(xiàng)重要參數(shù)，涉及到色譜動(dòng)力學(xué)和組分分離方程。在其它條件不變的情況下，半峰寬的大小與柱效的高低成反比[28]。

圖4 平均保留時(shí)間(a)和半峰寬(b)隨橫向速度的變化曲線；插圖分別為各自相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 The plots of the average retention time (a) and the full width (b) at half maximum versus the transverse rates;Insets are corresponding experimental results,respectively

圖4為平均保留時(shí)間和半峰寬隨Vx變化的曲線圖，插圖分別為相對(duì)應(yīng)的色譜實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。在實(shí)際色譜實(shí)驗(yàn)中，N2的壓力只能在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，流速過(guò)大或過(guò)小都會(huì)使得檢測(cè)器熄火。圖4顯示平均保留時(shí)間隨著Vx的增大而指數(shù)衰減。壓力增大，粒子受到的驅(qū)動(dòng)力增加，通過(guò)色譜柱的時(shí)間也就越短。實(shí)驗(yàn)中當(dāng)Vx從1.8×104增大到2.6×104μm·s-1時(shí)，出峰時(shí)間從175 s縮短至114 s。在相同Vx變化區(qū)間內(nèi)，模擬結(jié)果從141 s縮短至127 s。模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致。模擬中隨著壓力的增大，半峰寬先有個(gè)陡降的過(guò)程，再緩慢減小。而緩慢減小的區(qū)間與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是相吻合的。由于我們所采用的簡(jiǎn)化模型，忽略了兩相間的分配平衡，所以模擬得出的半峰寬比實(shí)際結(jié)果要窄。根據(jù)速率理論，半峰寬減小的變化趨勢(shì)說(shuō)明無(wú)論是在模擬中還是在實(shí)驗(yàn)中，Vx都是設(shè)定在低流速區(qū)。半峰寬的減小對(duì)應(yīng)于板高的減小，也就是柱效的增加。從模擬結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在低流速區(qū)，我們可以通過(guò)施加一個(gè)適當(dāng)?shù)母邏簛?lái)縮短分析時(shí)間，提高柱效。

圖5 不同溫度條件下保留時(shí)間的柱狀統(tǒng)計(jì)分布圖Fig.5 Statistical distribution graph of the retention times with different temperature The particle size of stationary phase is 205 μm.The flow rate is 1.67×104 μm·s-1.

2.3 溫度影響

在模擬程序中，溫度的大小是由擴(kuò)散速度反映，也就是分子的步速。溫度與步速之間為線性關(guān)系，因而通過(guò)步速的調(diào)控來(lái)實(shí)現(xiàn)柱溫的改變。圖5為當(dāng)固定相粒徑和壓力固定不變時(shí)，不同溫度下粒子保留間的統(tǒng)計(jì)柱狀圖。峰形依然符合高斯正態(tài)分布。當(dāng)溫度升高，統(tǒng)計(jì)峰逐漸左移，出峰時(shí)間縮短。我們?cè)趫D中觀察到，隨著溫度的升高，統(tǒng)計(jì)峰先變窄變尖銳，溫度繼續(xù)升高，峰形又會(huì)展寬。

圖6為平均保留時(shí)間和半峰寬隨溫度變化的曲線圖。插圖分別為相對(duì)應(yīng)的色譜實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。在實(shí)際色譜實(shí)驗(yàn)中，為了保證體系的穩(wěn)定性和避免固定液的流失，溫度只能在小范圍內(nèi)調(diào)節(jié)(小于140 ℃)。由圖6可見(jiàn)，在實(shí)驗(yàn)的溫度變化區(qū)間60～140 ℃內(nèi)，保留時(shí)間從123 s 縮短至 82 s。相同區(qū)間內(nèi)，模擬結(jié)果從173 s縮短至161 s。無(wú)論是模擬還是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，保留時(shí)間均隨著溫度的升高而指數(shù)級(jí)衰減的。對(duì)于半峰寬而言，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是單調(diào)遞減的，但模擬結(jié)果給出先減小后增大的變化趨勢(shì)。這可能是由于溫度不僅影響著擴(kuò)散速度，也影響著擴(kuò)散系數(shù)，擴(kuò)散系數(shù)對(duì)于板高的影響本身就是一個(gè)復(fù)雜的變量。在與實(shí)際實(shí)驗(yàn)相同的溫度區(qū)間，半峰寬的變化是一致的。半峰寬在模擬結(jié)果中給出了一個(gè)最小值，也就是在427 ℃左右可以獲得最高柱效。

圖6 平均保留時(shí)間(a)和半峰寬(b)隨溫度的變化曲線;插圖分別為各自相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 The plots of the average retention time (a) and the full width (b) at half maximum versus the temperature;Insets are corresponding experimental results,respectively

在氣相色譜中，溫度是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的影響因素，它在選擇性、分子擴(kuò)散及柱效之間構(gòu)建了一個(gè)平衡。從模擬結(jié)果可以看出柱溫對(duì)于柱效的影響并不是單調(diào)變化的。如果在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中想提升柱效，可以在低流速區(qū)施加一個(gè)適當(dāng)?shù)母邷亍Ｍ瑫r(shí)，模擬結(jié)果給出了最佳柱效的溫度條件。盡管由于實(shí)際操作條件的限制，我們不能此溫度下運(yùn)行色譜柱，但是這對(duì)于其它色譜體系操作條件的選擇還是具有一定的參考意義。

3 結(jié)論

待分離粒子的動(dòng)力學(xué)行為在氣相色譜的研究中至關(guān)重要，它能夠影響色譜動(dòng)力學(xué)的一些基本內(nèi)容，如van Deemter方程、Giddings方程、分離過(guò)程等。本文中運(yùn)用自主開(kāi)發(fā)的隨機(jī)行走軟件對(duì)氣相填充柱色譜中的運(yùn)動(dòng)行為展開(kāi)模擬，并考察了溫度和壓力因素的影響。同時(shí)，我們也在實(shí)際氣相色譜實(shí)驗(yàn)中考察了這兩項(xiàng)影響因素。從模擬與實(shí)際實(shí)驗(yàn)中我們得出了相一致的結(jié)果。由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)操作條件的限制，模擬結(jié)果給出了一個(gè)更寬泛的應(yīng)用區(qū)間。通過(guò)隨機(jī)行走模擬，我們可以從分子層面對(duì)氣相色譜中分子的運(yùn)動(dòng)行為給出合理解釋，并能夠?qū)崿F(xiàn)操作條件的優(yōu)化。