快速傅立葉變換FFT算法特點分析

徐美清+孫晨亮

摘 要：快速傅立葉變換FFT是離散傅立葉變換DFT的一種快速算法，計算量小的顯著的優(yōu)點，使得FFT在現(xiàn)代數(shù)字信號處理與數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。但是在利用FFT算法對連續(xù)信號進(jìn)行分析時，存在頻譜混疊、柵欄效應(yīng)及頻譜泄露現(xiàn)象。本文簡單介紹了FFT算法，并對其存在的缺點進(jìn)行了詳細(xì)的分析。

關(guān)鍵詞：傅立葉變換；頻譜混疊；柵欄效應(yīng)；頻譜泄露

1 FFT簡介

快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，簡稱為FFT）并不是一種新的變換， 而是離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，簡稱為DFT）的一種快速算法。在相當(dāng)長的時間里，由于DFT的計算量太大，即使采用計算機(jī)也很難對問題進(jìn)行實時處理，所以并沒有得到真正的運(yùn)用。直到1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey首次提出了DFT運(yùn)算的一種快速算法，后來又有G.Sande和J.W.Tukey的快速算法相繼出現(xiàn)以后，情況才發(fā)生了根本的變化。人們開始認(rèn)識到DFT運(yùn)算的一些內(nèi)在規(guī)律，從而很快地發(fā)展和完善了一套高速有效的運(yùn)算方法，這就是現(xiàn)在人們普遍稱之為快速傅里葉變換FFT的算法。

2 FFT算法的優(yōu)點

FFT算法使DFT的運(yùn)算大大簡化，使其運(yùn)算速度提高了1-2個數(shù)量級，從而使DFT的運(yùn)算在實際中真正得到了廣泛的應(yīng)用。

3 FFT算法的缺點

利用FFT對連續(xù)信號進(jìn)行傅里葉分析時可能造成一定的誤差，從而產(chǎn)生頻譜混疊、頻譜泄漏以及柵欄效應(yīng)現(xiàn)象。

3.1 頻譜混疊

對連續(xù)信號進(jìn)行采樣時，通常假定所處理的信號是帶限的。假設(shè)連續(xù)信號的最高頻率為fh，采樣頻率為fs，那么根據(jù)香農(nóng)定理，為了不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，應(yīng)該有

如果不滿足fs≥2fh，就會產(chǎn)生頻譜的交疊，即頻譜混疊，從而產(chǎn)生失真現(xiàn)象。下面對頻譜混疊現(xiàn)象進(jìn)行舉例說明，假定連續(xù)信號具有4個頻率（5Hz，10Hz，50Hz，80Hz）分量，其采樣點數(shù)為512個，采樣頻率fs為分別取50Hz和200Hz，用FFT對它進(jìn)行頻譜分析，其頻譜圖如下。

通過頻譜圖，我們可以看出采樣頻率對頻譜的影響，當(dāng)采樣頻率為50Hz時并不能分析出原信號中含有的信號，當(dāng)采樣頻率為200Hz時沒有發(fā)生混疊，能準(zhǔn)確的分析出原信號中的頻率分量。但在此需注意兩個問題：第一，對采樣定理中“兩倍”含義的理解，容易產(chǎn)生如下的誤解：“如果采用采樣頻率fs對一個信號進(jìn)行采樣，信號中fs/2以上的信息會消失”，采樣定理的證明過程顯示當(dāng)采用采樣頻率fs對一個信號進(jìn)行采樣，信號中fs/2以上的信息不是消失，而是對稱的映像到fs/2以下的頻帶中，并且和fs/2以下原有的頻率成分疊加起來，從而產(chǎn)生混疊；第二，上述信號是假定帶限的信號，如果連續(xù)信號是非帶限的，那么將無法準(zhǔn)確的從有限的采樣點中分析原始信號的頻譜，而只能通過適當(dāng)提高采樣頻率和增加采樣點來減少對頻譜分析所造成的影響。

3.2 柵欄效應(yīng)

利用FFT計算頻譜，只給出離散點 或 上的頻譜取樣值，也就是只給出了基頻的整數(shù)倍的頻譜值，而不可能得到連續(xù)頻譜函數(shù)， 這就像通過一個“柵欄”觀看信號頻譜，所以只能在離散點上看到信號頻譜， 這種現(xiàn)象稱之為“柵欄效應(yīng)”。減小柵欄效應(yīng)的一個方法就是要使頻域取樣更密，即增加頻域取樣點數(shù)N，在不改變時域數(shù)據(jù)的情況下，必然是在數(shù)據(jù)末端添加一些零值點，使一個周期內(nèi)的點數(shù)增加，但并不改變原有的記錄數(shù)據(jù)。頻譜取樣為 ，的增加必然使樣點間距更近（單位圓上樣點更多），譜線更密，譜線變密后原來看不到的譜分量就有可能看到了。

為更好地說明FFT計算頻譜時存在的問題，對分析對象進(jìn)行一些改動，令f2=49.5Hz，其他頻率成分不變，采樣頻率fs=200Hz，利用Matlab可得其信號和頻譜圖如圖3所示。

雖然采樣的頻率合適了，但是信號的頻率分辨率還是比較低的，并沒能反應(yīng)出頻率為49.5Hz的信號，這就是柵欄效應(yīng)的結(jié)果。

3.3 頻譜泄漏

對信號進(jìn)行FFT計算，首先必須使其變成有限時寬的信號，這就相當(dāng)于信號在時域乘一個窗函數(shù)如矩形窗，窗內(nèi)數(shù)據(jù)并不改變。時域相乘即v（n）=x（n）·w（n），加窗對頻域的影響，可用下面的卷積公式表示

卷積的結(jié)果，造成所得到的頻譜V（ejω）與原來的頻譜X（ejω）不相同，有失真。這種失真最主要的是造成頻譜的“擴(kuò)散”（拖尾、 變寬），這就是所謂的“頻譜泄漏”。

我們利用SPTOOL工具箱的頻譜分析功能，通過改變窗的類型，分析窗對減小能量泄露的影響。采用WELCH方法，其中采樣頻率Fs=200Hz，F(xiàn)FT采樣點（Nfft）=512，Nwind=256。分別對信號加矩形窗（boxcar）、三角窗（triang）、漢寧窗（hanning）、漢明窗（hamming）和布萊克曼窗（blackman）后頻譜圖如圖4至圖6所示。

從這些加窗后的頻譜圖分析比較可以看出，矩形窗的頻譜的主瓣比較小，但是它對旁瓣的抑制卻是比較差的；三角窗對旁瓣抑制比較好，但代價是犧牲了主瓣，它的主瓣比矩形窗的主瓣寬度增加不少；漢寧窗使能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍左右。

各個頻譜圖上都看不到頻率為49.5Hz的信號，這說明各種窗的加入還是對頻率分辨率有比較大的影響，泄漏造成的后果是降低頻譜的分辨率。此外，由于在主譜線兩邊

形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾（簡稱譜間干擾）， 特別是強(qiáng)信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強(qiáng)信號譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一信號的譜線，從而造成假信號，這樣就會使譜分析產(chǎn)生較大偏差。所以對于窗函數(shù)的選擇需要在主瓣寬度、第一旁瓣水平和旁瓣水平大小隨頻率增加而降低的速度之間進(jìn)行折中選擇。

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