Hilbert空間連續(xù)K-框架的冗余與擾動(dòng)性

范麗蘭, 舒志彪

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州　350116)

?

Hilbert空間連續(xù)K-框架的冗余與擾動(dòng)性

范麗蘭, 舒志彪

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州350116)

基于連續(xù)K-框架的定義， 給出了Hilbert空間連續(xù)K-框架的兩個(gè)等價(jià)刻畫. 在連續(xù)K-框架中挖去部分元素還構(gòu)成連續(xù)K-框架的兩個(gè)充分條件和不構(gòu)成連續(xù)K-框架的一個(gè)充分條件, 利用合成算子和兩個(gè)連續(xù)Bessel映射的有界線性算子SF, G去刻畫連續(xù)K-框架. 最后討論Hilbert空間連續(xù)K-框架的擾動(dòng).

連續(xù)K-框架; Hilbert空間; 冗余; 擾動(dòng)

1　引言

目前學(xué)者對(duì)連續(xù)K-框架研究甚少, 而連續(xù)K-框架比K-框架更一般, 因此在K-框架中成立的命題在連續(xù)K-框架不一定成立. 所以, 很有必要對(duì)連續(xù)K-框架進(jìn)行更深入的研究. 本文討論了在Hilbert空間連續(xù)K-框架的兩種等價(jià)刻畫， 討論了連續(xù)K-框架的擾動(dòng)和冗余性.

本文采用的記號(hào)如下: H表示一個(gè)可分復(fù)Hilbert空間, Ω表示一個(gè)測(cè)度空間, 其上的測(cè)度記為μ. 對(duì)兩個(gè)Hilbert空間H1, H2, 用L(H1, H2)表示所有H1到H2的有界線性算子的集合. 設(shè)T∈L(H1, H2), K∈L(H), 用R(T)表示T的值域, FK(H)表示H中所有連續(xù)K-框架集合.

定義1設(shè)(Ω,μ)為測(cè)度空間, 且μ是σ-有限測(cè)度,K∈L(H)， 映射F:Ω→H稱為H中的連續(xù)K-框架, 若滿足以下兩個(gè)條件:

1)F是弱可測(cè)的, 即對(duì)任意的f∈H,φ:Ω→C,φ(ω)=〈f,F(ω)〉,ω∈Ω,φ是Ω上的可測(cè)函數(shù).

2) 存在正數(shù)A,B使得

(1)

A, B分別是連續(xù)K-框架的下界和上界. 如果(1)式中右邊的不等式成立, 則稱F為H中的連續(xù)Bessel映射, 簡(jiǎn)稱Bessel映射.

注1若有界線性算子K=I, 則連續(xù)K-框架就變成了連續(xù)框架(見文[5]).

注 2在下文如無特別說明, 都假定K具有閉值域, 因?yàn)檫@樣才能保證K+的存在.

本文中還經(jīng)常用到有界線性算子的偽逆, 為此給出偽逆的定義.

定義2設(shè)H1,H2是兩個(gè)Hilbert空間,Q∈L(H1,H2), 稱Q+:H2→H1為Q的偽逆算子, 如果Q+滿足QQ+Q=Q. 特別地, 若y∈R(Q), 有QQ+y=y.

引理1[14]設(shè)H1,H2為可分Hilbert空間,T1∈L(H1,H2) ,T2∈L(H1,H2). 則下面的論述等價(jià).

1)R(T1)?R(T2);

3) 存在有界線性算子X∈L(H1,H2)使得T1=T2X.

2　主要結(jié)論

定理1設(shè)K1,K2∈L(H), 則當(dāng)且僅當(dāng)R(K1)?R(K2)時(shí), FK1(H)?FK2(H).

證明1) 充分性. 設(shè)R(K1)?R(K2), 則利用引理1, 可得對(duì)?f∈H有

下面的定理比文獻(xiàn)[9]中命題2.5更一般, 即當(dāng)K=I時(shí)即命題2.5.

定理2設(shè)(Ω,μ)為測(cè)度空間, 且μ是σ-有限的,K∈L(H), 則{F(ω)}ω∈Ω?H是連續(xù)K-框架且界為A,B的充要條件是

(2)

對(duì)任意的f∈D都成立, 其中D是H的一個(gè)稠密子集.

2) 必要性. 先證明F是以B為界的Bessel映射.

那么存在m∈N, 使得

(3)

(4)

兩邊同時(shí)取和可得

(5)

這與式(3)矛盾, 所以F是以B為界的Bessel映射.

下面再證F的下界為A.

(6)

因此

(7)

利用式(6), (7)和三角不等式, 可得

因?yàn)棣诺娜我庑? 故結(jié)論得證.

接下來討論Hilbert空間連續(xù)K-框架的冗余性, 即在連續(xù)K-框架中刪除一些元素后是否還構(gòu)成連續(xù)K-框架. 一般情況下, 在連續(xù)K-框架的基礎(chǔ)上刪除某些元素后不能確定是不是連續(xù)K-框架. 下面給出刪除某些元素后還構(gòu)成連續(xù)K-框架的兩個(gè)充分條件和一個(gè)不構(gòu)成連續(xù)K-框架的一個(gè)充分條件.

引理 2[15]設(shè)(Ω,μ)為測(cè)度空間,μ是σ-有限測(cè)度,H是n維的Hilbert空間,F:Ω→H是一個(gè)Bessel映射, 則

定理3設(shè)(Ω,μ)為測(cè)度空間, 且μ是σ-有限測(cè)度, {F(ω)}ω∈Ω為n維的Hilbert空間H中的連續(xù)K-框架, 且界為A,B. 設(shè)ΩI?Ω,I是指標(biāo)集, 且R(K)?H是閉的, 則下面的敘述成立.

由此可得

(8)

又{F(ω)}ω∈Ω為H中的連續(xù)K-框架, 且界為A,B, 即有

(9)

聯(lián)合式(8)和(9)得

(10)

另一方面, 設(shè)f∈R(K)⊥?H, 對(duì)任意的g∈H, 有〈K*f,g〉=〈f,Kg〉=0, 所以

(11)

(12)

定義5[9]設(shè)(Ω,μ)為測(cè)度空間,μ是σ-有限的,F,G是Ω→H的連續(xù)Bessel映射, 上界分別為B,D>0, 定義算子

(13)

定理4設(shè)(Ω,μ)為測(cè)度空間,μ是σ-有限測(cè)度,F,G是Ω→H的連續(xù)Bessel映射, 且上界分別為B,D>0.

2) 如果存在λ1,λ2∈(-1, 1), 使得

(14)

2) 對(duì)?f∈H, 由式(14)可得

(15)

證明由三角不等式和式(15), 對(duì)?f∈H有

所以

同理得

所以

[1]DUFFINRJ,SCHAEFFERAC.AclassofnonharmonicFourierseries[J].TransactionsoftheAmericanMathematicalSociety, 1952, 72(2): 341-366.

[2]DAUBECHIESI,GROSSMANNA.MEYERY.Painlessnonorthogonalexpansions[J].JournalofMathematicalPhysics, 1986, 27(5): 1 271-1 283.

[3]KOVACEVICJ,CHEBIRAA.AnIntroductiontoframes[J].FoundationsandTrendsinSignalProcessing, 2008, 2(1): 1-94.

[4]ALIST,ANTOINEJP,GAZEAUJP.Coherentstates,waveletsandtheirgeneralizations[M].NewYork:Spring-Verlag, 2000.

[5]ALIST,ANTOINEJP,GAZEAUJP.ContinuousframesinHilbertspaces[J].AnnalofPhysics, 1993, 222(1): 1-37.

[6]ASKARI-HEMMATA,DEHGANMA,RSDJABALIPOURM.Generalizedframesandtheirredundancy[J].ProceedingsoftheAmericanMathematicalSociety, 2001, 129(4): 1 143-1 147.

[7]GABARDOJP,HAND.Framesassociatedwithmeasurablespaces[J].AdvancesinComputationalMathematics, 2003, 18(2/4): 127-147.

[8]FORNASIERM,RAUHUTH.Continuousframes,functionspaces,andthediscretizationproblem[J].JournalofFourierAnalysisandApplications, 2005, 11(3): 245-287.

[9]RAHIMIA,NAJATIA,DEHGHANYN.ContinuousframesinHilbertspaces[J].MethodsofFunctionalAnalysisandTopology, 2006, 12(2): 170-182.

[10]AZHIMIA,BEHESHTIM.SomeresultsoncontinuousframesforHilbertspaces[J].InternationalJournalofIndustrialMathematics, 2010, 2(1): 37-42.

[11]GǎVRUTAL.Framesforoperators[J].AppliedandComputationalHarmonicAnalysis, 2012, 32(1): 169-144.

[12]XIAOXC,ZHUYC,GǎVRUTAL.SomepropertiesofK-frames in Hilbert spaces[J]. Results in Mathematics, 2013, 63(3/4): 1 243-1 255.

[13] 丁明玲, 肖祥春, 曾曉明. Hilbert空間中的緊K-框架[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版), 2013, 56(1): 105-112.

[14] DOUGLAS R G. On majorization, factorization and range inclusion of operators on Hilbert spaces[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1966, 17(2): 413-415.

[15] GAVRUTA L, GAVRUTA P. Ulam stability problem for frames[J]. Functional Equations in Mathematical Analysis, 2012, 52(2): 139-152.

(責(zé)任編輯： 林曉)

Excess and perturbation of continuousK-frames in Hilbert spaces

FAN Lilan, SHU Zhibiao

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian, 350116, China)

Based on the definition of the continuousK-frames, we propose two kinds of equivalent characterizations for continuousK-frames. We also give two sufficient conditions for the remainder of a continuousK-frame after deleting some elements to be a continuousK-frame and a sufficient condition for the remainder to be not a continuousK-frame. We characterize the continuousK-frames by the synthesis operator and a bounder operatorSF, Gassociated with two continuous Bessel mappings. Finally, we discuss the perturbation of continuousK-frames in Hilbert spaces.

continuousK-frame; Hilbert spaces; excess; perturbation

10.7631/issn.1000-2243.2016.01.0006

1000-2243(2016)01-0006-06

2013-06-11

舒志彪(1958- )， 副教授， 主要從事小波分析、 圖像處理、 信息隱藏等方面研究，szb@fzu.edu.cn

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012J01005)； 國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目(11226099)； 福州大學(xué)科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目(2012-XQ-29)

O177.1

A