具有相依利率的離散時間風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的上界

牛祥秋[*]

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具有相依利率的離散時間風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的上界

牛祥秋[*]

（遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029）

研究具有相依利息率的離散時間風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率，在模型中假定利率為一階自回歸結(jié)構(gòu)，并且考慮風(fēng)險投資．利用遞歸更新方法和鞅方法分別給出了破產(chǎn)概率的上界估計，并且討論了相應(yīng)的最小上界問題．

一階自回歸；破產(chǎn)概率；最優(yōu)化投資；上界

近年來，越來越多的學(xué)者運用隨機控制理論研究保險風(fēng)險管理問題[1-3]，但關(guān)于離散時間風(fēng)險模型下的最優(yōu)控制問題的文獻相對較少．文獻[4]研究了一類具有馬兒可夫鏈利率和隨機投資回報的離散時間風(fēng)險過程，分析了破產(chǎn)概率的最小上界問題．文獻[5]研究了２種類型破產(chǎn)概率的廣義Lundberg不等式．本文研究具有一階自回歸利率結(jié)構(gòu)的離散時間風(fēng)險過程，并利用文獻[4]中的證明方法，獲得破產(chǎn)概率的上界估計，并討論保險公司的最優(yōu)投資策略問題．

1 模型描述

本文考慮離散時間風(fēng)險模型

顯然

2 運用遞歸更新方法確定破產(chǎn)概率的上界

Browne發(fā)現(xiàn)，在布朗運動模型下，最優(yōu)的投資策略是常數(shù)策略．Gaier給出的破產(chǎn)概率最小上界的最優(yōu)投資策略是一個漸進最優(yōu)的常數(shù)策略．受這些結(jié)果的啟發(fā)，文中只關(guān)注常數(shù)投資策略，即是一個常數(shù)，記為．為了簡便，省略和的上角標．

使用歸納法，假設(shè)

由式（7）和式（8）可知

3 利用鞅方法確定破產(chǎn)概率的上界

由文獻[5]可知，投資的決策函數(shù)是一個僅與變量有關(guān)的函數(shù)，獨立于當(dāng)前盈余水平．由文獻[6]可知，最優(yōu)控制策略是平穩(wěn)的，因此允許存在這樣一個集合，使得

引理1[4]812假設(shè)是一個非負測度函數(shù)，是關(guān)于代數(shù)的一個測度，則．并且，如果獨立于，那么．

[1] Browne S．Optimal investment policies for a firm with a random risk process：exponential utility and d minimizing the probability of Ruin[J]．Math Operations Res，1995，20：937–958

[2] Hipp C，Plum M．Optimal investment for insurers[J]．Insur Math Econ，2000，27：215–228

[3] Yang H，Zhang L．Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process[J]．Insur Math Econ，2005，37：615–634

[4] Xu Lin，Zhu Dongjin，Zhou Yanru．Minimizing upper Bound of ruin probability under discrete risk model with markov chain interest rate [J]．Communications in Statistics-Theory and Methods，2015，44：810–822

[5] Gaier J，Grandits P，Schachermayer W．Asyptotic ruin probability and optimal investment[J]．Ann Appl Probab，2003（3）： 1054–1076

[6] Sch?l A．On discrete-time dynamic programming in insurance：exponential utility and minimizing the ruin probabiltiy[J]．Scand Actuarial J，2004（3）：189–210

[7] Cai J，Dickson C M．Ruin probability with a Markov chain interest model[J]．Insur Math Econ，2004，35：513–525

Upper bound of ruin probability under discrete risk model with dependent rates of interest

NIU Xiang-qiu

（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China）

Researched on the ruin probability of a discrete time risk model with dependent rates of interest．In this model，the interest rate was assumed to be a structure of first-order autoregression and risk investment was considered．The upper bounds were derived by renewal recursive technique and martingale method respectively，the corresponding minimum upper bound for ruin probability was also discussed．

first-order autoregression；ruin probability；optimal investment strategy；upper bound

F224

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.007

2015-11-20

牛祥秋（1989-），男，山東菏澤人，在讀碩士研究生，從事保險精算研究．E-mail：657049682@qq.com