分?jǐn)?shù)教學(xué)研究報(bào)告

長沙市丁麗小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

分?jǐn)?shù)教學(xué)研究報(bào)告

長沙市丁麗小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

小學(xué)階段對分?jǐn)?shù)教學(xué)的研究一直是個(gè)熱點(diǎn)。無論是三年級的分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識，還是五年級的分?jǐn)?shù)再認(rèn)識，抑或是六年級的分?jǐn)?shù)乘除法及應(yīng)用題的教學(xué)，都是一線教師及教學(xué)專家們研討的重要內(nèi)容。本文是我們在分?jǐn)?shù)教學(xué)這一板塊進(jìn)行的一些研究嘗試，試圖在思考與實(shí)踐層面均有所突破。

一、不可小看的分?jǐn)?shù)

與自然數(shù)、小數(shù)的教學(xué)相比，分?jǐn)?shù)無論是教還是學(xué)無疑都是比較難的。難在哪里？師生們的共同體會至少有這么四點(diǎn)。

1.分?jǐn)?shù)“長”得就和別的數(shù)不一樣。

孩子們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從自然數(shù)（整數(shù)）開始的。后來接觸的小數(shù)，是他們在數(shù)的認(rèn)識里第一次數(shù)域的擴(kuò)充。由于小數(shù)沿用整數(shù)的位值系統(tǒng)和十進(jìn)制，很多教學(xué)問題可以通過整數(shù)知識的正向遷移得以克服。

引入分?jǐn)?shù)是孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中第二次數(shù)域的擴(kuò)充。但無論是數(shù)的表現(xiàn)形式（書寫）還是大小比較抑或是計(jì)算，分?jǐn)?shù)都讓孩子們覺得與之前所學(xué)的整數(shù)、小數(shù)太不一樣，也就無法很好地從已學(xué)知識里獲得足夠多的經(jīng)驗(yàn)來類比，從而造成了很多認(rèn)知困難。

2.分?jǐn)?shù)的意義多樣。

張奠宙先生將分?jǐn)?shù)的定義大致分為四種：

定義1（份數(shù)定義）：分?jǐn)?shù)是把一個(gè)單位平均分成若干份之后其中的一份或幾份。

定義2（商定義）：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。

定義3（比定義）：分?jǐn)?shù)是整數(shù)q與整數(shù)p（p≠0）之比。

定義4（公理化定義）：有序的整數(shù)對（p，q），其中p≠0。

如此豐富的內(nèi)涵，對孩子來說，要能理解、掌握并能區(qū)分和應(yīng)用，顯然是個(gè)難題。唐彩斌老師（浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院）做過一個(gè)關(guān)于分?jǐn)?shù)問題的研究。

3.分?jǐn)?shù)教學(xué)中量與率難以區(qū)分。

這里有一道測試題：一根長2米的鐵絲，將它平均分成5段，每一段是全長的（），每一段是（）米。學(xué)生的錯誤率之高讓之成為經(jīng)典檢測題，一線教師看到這道題時(shí)都會會心一笑后再無奈一笑。

在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，對分?jǐn)?shù)含義中量與率這兩個(gè)方面的辨析是一個(gè)重難點(diǎn)。學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)總是因不得法而難以掌握，教師只得采用“分?jǐn)?shù)后面是否帶上單位”這一方法幫助學(xué)生進(jìn)行區(qū)別，但是這種方法顯得十分機(jī)械，難以讓學(xué)生深入到含義層面的理解。

二、實(shí)例中找找難的源頭

由上面的問題呈現(xiàn)我們可以看到，分?jǐn)?shù)的難有其客觀原因，即分?jǐn)?shù)與生俱來就比之前學(xué)的數(shù)要難一些，同時(shí)也與教材編寫和教學(xué)處理有關(guān)。

案例：對分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題的講授，新教材回避了直接用除法的算術(shù)解法。比如這樣一道題：甲數(shù)是乙數(shù)的，甲數(shù)是20，請問乙數(shù)是多少？這道題孩子能從等分意義上迅速找到答案是60，列式為20÷=60。至于列式為何用除法，一線教師講得極其艱澀痛苦，孩子學(xué)得也非常困難。而對這一問題：甲數(shù)是乙數(shù)的3倍，甲數(shù)是90，乙數(shù)是多少？孩子會很輕松地列式并解說算理：求標(biāo)準(zhǔn)量（一倍量），用比較量（多倍量）除以倍數(shù)就可以了，即90÷3=30。對比一下這兩道題，我們能反思到什么教學(xué)問題嗎？很顯然，倍與率是同一種數(shù)量關(guān)系。我們在三年級之前教學(xué)加減法都是基于差比的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行列式運(yùn)算，三年級時(shí)為學(xué)習(xí)乘除法引入了倍比關(guān)系，并把乘除法與倍比關(guān)系從算法與算理兩方面進(jìn)行了對應(yīng)。而引入分?jǐn)?shù)之后，我們在教學(xué)分?jǐn)?shù)的乘除法時(shí)竟然脫離了倍比運(yùn)算的理解，取而代之的是我們研發(fā)的各種對算理的解釋。如此看來，我們并沒有保持原有的認(rèn)知規(guī)律，把分?jǐn)?shù)融入到原有數(shù)的系統(tǒng)中去認(rèn)識，教材的呈現(xiàn)也沒有保持原有的數(shù)的認(rèn)識的編排。

如何解決這個(gè)問題？如何讓分?jǐn)?shù)的教學(xué)回到數(shù)的教學(xué)軌道上來？首先，所有的研究必須有一個(gè)共識：分?jǐn)?shù)必須當(dāng)作一類數(shù)來教！只有在一種正確的共識下，大家的研究才能壘土成臺，而非散沙千里，才能有效，從而實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍。很多專家和老師都作過嘗試。比如分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)，有老師從率引入改為從量引入，然后進(jìn)行量與率的對比，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)的抽象。還有老師從分?jǐn)?shù)的其他意義切入，比如從商的定義入手教分?jǐn)?shù)，做了很好的突破。大量的實(shí)踐與反思讓我們看到了教學(xué)改變之后學(xué)生身上發(fā)生的可喜改變。這些都是國內(nèi)的研究交出的最新答卷。

數(shù)來自于數(shù)（shǔ）。我們反思整數(shù)教學(xué)，孩子第一次對數(shù)有了整體認(rèn)識是什么時(shí)候？是父母或者老師教會孩子0～9，然后教孩子數(shù)出十幾的數(shù)，再數(shù)二十幾的或更大一點(diǎn)的數(shù)之后，孩子會突然自己數(shù)到100，稍加提示，還能知道1000以內(nèi)數(shù)的排列規(guī)律。這個(gè)時(shí)候孩子對自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)）的整體建構(gòu)就有了第一次的整體把握。而后教材中安排了若干次大數(shù)的認(rèn)識，細(xì)化和擴(kuò)充、完善了對自然數(shù)范圍內(nèi)數(shù)域的若干問題的認(rèn)識。數(shù)數(shù)成為了體會一類數(shù)的累計(jì)規(guī)則的最常見、最有效的學(xué)習(xí)方式。但是分?jǐn)?shù)教學(xué)中我們幾乎摒棄了這個(gè)最有力的“武器”。

基于這樣的思考，我們以五年級分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)為契機(jī)，嘗試了一次關(guān)于分?jǐn)?shù)的數(shù)數(shù)教學(xué)。課中就如何數(shù)數(shù)、如何突破其中的若干教學(xué)難點(diǎn)作了相應(yīng)的教學(xué)嘗試。

三、教學(xué)實(shí)踐

片段一：

老師在黑板上手繪3個(gè)圓圈（如圖1所示），同時(shí)解釋：由于是手繪，大小形狀一定是有區(qū)別的，老師的本意是畫一模一樣的圓，大家就當(dāng)作是完全一樣的圓好了。然后提問：你們能在我畫的圖里找到1嗎？3

圖1

圖2

圖3

圖4

師：很好，只要每一片都是等大的，這是關(guān)鍵對吧？那我將每一片都變成對應(yīng)的圓形（如圖4所示），現(xiàn)在能看到嗎？生2：明白了！每一個(gè)圓都是這一堆圓的。

師：很厲害！我們不再需要考慮是否分割，只要能找到等量的一份又一份就能找到。那再來看看這幅圖（如圖5所示）里有嗎？

圖5

圖6

圖7

學(xué)生答能看到，老師請一生在黑板上畫一畫，讓大家能看得更清楚。生畫圖如圖6所示。

學(xué)生表示看不到。老師請一個(gè)女生上臺，拿出3根粉筆交給女生展示，抽出其中的1根問道：這根粉筆是這個(gè)同學(xué)手里粉筆的幾分之幾？生3：。

老師放回這根粉筆，抽出第二根繼續(xù)問：這根粉筆是這個(gè)同學(xué)手里粉筆的幾分之幾？

生4:。

老師用手提電腦的屏幕遮擋住學(xué)生和老師的手，然后去掉1根粉筆繼續(xù)問：這根粉筆是這個(gè)同學(xué)手里粉筆的幾分之幾？生5：。

老師同時(shí)把學(xué)生手里的3根粉筆和自己手中的粉筆都舉高再問：我這根粉筆是這個(gè)同學(xué)手里粉筆的幾分之幾？生6：。

圖8

生7：甲的圓圈數(shù)是乙的圓圈數(shù)的。

師：說得很好！那么乙的圓圈數(shù)與甲的圓圈數(shù)有什么關(guān)系？

生8：乙的圓圈數(shù)是甲的圓圈數(shù)的3倍。

師：很好！看來倍數(shù)關(guān)系和我們學(xué)的分?jǐn)?shù)也是有聯(lián)系的，只要每一份的大小一樣，它們之間的關(guān)系就能用分?jǐn)?shù)和倍數(shù)表示。

教學(xué)意圖：這一部分的教學(xué)設(shè)計(jì)將分?jǐn)?shù)意義進(jìn)行了倍率關(guān)系的溝通。強(qiáng)調(diào)平均分的含義是每一份的均等，而不是切分的過程。將單位“1”的強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)移到分?jǐn)?shù)單位（一份）的認(rèn)識上。這樣一來，確立了一份（一倍）的標(biāo)準(zhǔn)，分?jǐn)?shù)（倍數(shù)）就有了產(chǎn)生的可能。這樣的一份在分?jǐn)?shù)里被稱為分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識是數(shù)數(shù)的前提。任何一類數(shù)的累積都是有前提的，分?jǐn)?shù)也必須由分?jǐn)?shù)單位按照數(shù)的規(guī)則進(jìn)行累積才能成為一類數(shù)。這部分教學(xué)是一個(gè)數(shù)數(shù)的預(yù)備動作，同時(shí)也是在分?jǐn)?shù)意義教學(xué)上實(shí)現(xiàn)倍率關(guān)系的溝通。

片段二：

師：分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣都是數(shù)，都能應(yīng)用到我們的生活實(shí)際當(dāng)中。那你們現(xiàn)在幫我解決一個(gè)實(shí)際問題吧。（將一根長3.8米的塑料水管放置在講臺上）給你一根尺子，你能幫我把這根水管截成1米1米的長度嗎？

一生上臺用米尺量出1米長的水管，老師按照預(yù)先截好的缺口將1米的水管截下。

師：再請一個(gè)同學(xué)幫我截第二根。

另一生上來，并索要米尺，老師不給。學(xué)生索要剛截好的1米長水管。老師幫忙截下第二根1米長的水管。

師：他用這根剛截好的水管截第二根，這個(gè)做法好嗎？

生（表示支持）：第一根水管已經(jīng)是1米了，可以用它當(dāng)尺子用。

師：是的，他的做法不但好，而且這在數(shù)學(xué)里也很高級。這個(gè)用來打樣的水管我們在數(shù)學(xué)里叫做“標(biāo)準(zhǔn)”。（板書：標(biāo)準(zhǔn)）

老師按照學(xué)生的截取方法截下第三根1米長的水管。

師：好了，我們一起數(shù)數(shù)有多少米長吧。1米，2米，3米。孩子們，剛才我們拿來做標(biāo)準(zhǔn)的這個(gè)1米的“1”，就是這些整數(shù)的計(jì)數(shù)單位（板書：計(jì)數(shù)單位），計(jì)數(shù)單位就是計(jì)數(shù)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)。有了1，才會數(shù)得出2、3、4……

師：現(xiàn)在我們這還剩下一節(jié)邊角料，很顯然已經(jīng)不能截成1米1米的了，為了不浪費(fèi)，我們可以怎么截??？

生1：截成1分米一段的。

生2：截成10厘米一段的。

師：還可以用小數(shù)和分?jǐn)?shù)表示為多少米？

生3：0.1米或者米。

師：那請一個(gè)同學(xué)上臺來截一下吧。

老師協(xié)助學(xué)生截下數(shù)根0.1米長的水管，并且數(shù)出0.1米，0.2米，0.3米，0.4米……

師：這個(gè)時(shí)候0.1米就是我們截取的標(biāo)準(zhǔn)，也就是我們數(shù)數(shù)的計(jì)數(shù)單位。若是我們想繼續(xù)分割剩下的這節(jié)更小的邊角料，你們會怎么辦？

生4：用厘米、毫米來截。

師：很好，我們也可以表示為0.01米，0.001米，等等。孩子們，人類是很聰明的，在度量時(shí)遇到原來的單位不能計(jì)量的時(shí)候，我們往往有兩個(gè)方式來解決：一是改變度量的單位，二是改變計(jì)數(shù)單位。現(xiàn)在有一個(gè)真正難的問題需要大家?guī)椭医鉀Q，哪位同學(xué)愿意來嘗試？（請兩個(gè)孩子上臺）請幫我截出0.3米。（板書：0.3米）

孩子們迅速用米尺找出了相應(yīng)長度，準(zhǔn)備截取。

師：別著急，還要多一點(diǎn)。（板書：0.33米）

孩子們又迅速地找到了相應(yīng)長度，準(zhǔn)備截取。

師：別著急，別著急，還要多一點(diǎn)。（板書：0.333米）

孩子們有些遲疑，因?yàn)槊壮呱蠜]有毫米的刻度。

師：其實(shí)我是想要截出0.33333……米長的水管。（板書：0.33333……米）

臺上的孩子開始冥思苦想，下面的孩子開始議論，有孩子說不能截出來。

師：孩子們，這個(gè)長度確實(shí)難以用米尺測量，哪怕是給你一根更加精確的尺子，也難以完成任務(wù)。其實(shí)這根尺子是這樣來的：我將1米平均分成3份（板書：1÷3=_____米），用計(jì)算器一算，結(jié)果就是0.333……米。我那個(gè)計(jì)算器最多顯示15位數(shù)，實(shí)際上這個(gè)數(shù)小數(shù)部分的3有無窮多個(gè)，我們把這種小數(shù)叫做無限循環(huán)小數(shù)。這個(gè)數(shù)是一個(gè)無法通過測量得到的小數(shù)。但是，你們知道1米被平均分成3份，每1份是多少米嗎？生：米。

老師拿出三種顏色的橡皮圈，簡單套拴成一條橡皮筋并拉伸，交給兩個(gè)孩子。孩子通過拉伸橡皮筋至水管等長，找到米處，將米長的水管截下。

師：他們做得很棒，其實(shí)通過增加或減少橡皮圈的個(gè)數(shù)，我們還能找到其他分母的分?jǐn)?shù)。現(xiàn)在我們截好了一個(gè)分?jǐn)?shù)——米，用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)我們截出下面的長度，大家一起數(shù)數(shù)。

師：你們有些擔(dān)心是嗎？數(shù)起來有些不踏實(shí)？1 3米就是30多厘米，米是多少？米是多少？再加1個(gè)米有多長了，比1米多吧，米這個(gè)數(shù)用對了！現(xiàn)在心里踏實(shí)了吧！好，我們來數(shù)一遍：、、、米是多長？

生5：米是10米長。

生6：米是20米還多30多厘米。

師：說得很對！其實(shí)數(shù)學(xué)里存在這樣的分子比分母大的分?jǐn)?shù)，我們稱之為假分?jǐn)?shù)。但并非這些分?jǐn)?shù)不真實(shí)，而是它確實(shí)和原來的分?jǐn)?shù)不太一樣。那好吧，誰來幫我解釋一下個(gè)月餅是多少？

生7：個(gè)月餅是1個(gè)月餅還多一小塊。

師：月餅不是被分成了3塊嗎？如何取出4塊來了？

生8：1個(gè)月餅取完了，再取了第二個(gè)月餅的一部分，也就是個(gè)。

教學(xué)意圖：這一部分的教學(xué)是數(shù)分?jǐn)?shù)的開始，力圖解決以下兩個(gè)問題。

第一個(gè)是分?jǐn)?shù)單位。整體認(rèn)識任何一類數(shù)時(shí)，計(jì)數(shù)單位這個(gè)概念的教學(xué)總是一個(gè)難以處理的問題。本節(jié)課從整數(shù)的數(shù)數(shù)開始，到小數(shù)的數(shù)數(shù)，再到分?jǐn)?shù)的數(shù)數(shù)，利用類似的問題情境告訴孩子們什么是度量的標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)其實(shí)在計(jì)數(shù)系統(tǒng)里就是計(jì)數(shù)單位。通過問題情境的類比體驗(yàn)，孩子會覺得分?jǐn)?shù)中的數(shù)數(shù)就像自然數(shù)和小數(shù)一樣自然。至于什么是分?jǐn)?shù)單位，那就只是一個(gè)統(tǒng)一累計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)而已。

我們認(rèn)為，橡皮筋這個(gè)學(xué)具是一個(gè)非常經(jīng)典的分?jǐn)?shù)模型的原型。橡皮筋的原型有線段模型的特點(diǎn)，其伸縮性對不同的單位“1”有了不言而喻的直觀詮釋。后面的教學(xué)環(huán)節(jié)有橡皮筋這個(gè)原型的數(shù)學(xué)提煉模型：可以縮放的線段模型。這個(gè)模型是個(gè)全新的更接近分?jǐn)?shù)本質(zhì)的創(chuàng)造。

片段三：

師：孩子們，請看屏幕（如圖9所示），老師這里有一根帶箭頭的線，線上已經(jīng)標(biāo)上了起點(diǎn)，還定好了一段線段長是“1”。請你們幫我找一找在哪。

圖9

老師在數(shù)軸下面的分格刻度線上截取3整格，通過橡皮筋的拉伸與縮放，將數(shù)軸上的單位“1”等分成3份。再請孩子指出所在的點(diǎn)并標(biāo)示。

學(xué)生表達(dá)不一，有的認(rèn)為可以，有的認(rèn)為不可以。

生1：。

師：下一個(gè)點(diǎn)呢？

生2：。

生3：就等于1。

師：這個(gè)不是已經(jīng)標(biāo)好了“1”嗎？

老師一直未示意停止數(shù)數(shù)，但是學(xué)生慢慢停止了。

師：怎么了？你們怎么停止數(shù)數(shù)了？

生（笑）：這是數(shù)不完的，后面有無窮多個(gè)數(shù)。

師（豎起大拇指）：不錯，像整數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)也是數(shù)不完的。那你們能告訴我是多大嗎？

生4：是3還多。

生5：是100。

生6：600是200。

3

師：他們說得都很好。在三分之幾的這條數(shù)軸上，我們可以標(biāo)示出三分之幾，這里面其實(shí)包含所有整數(shù)。三分之幾我們會在數(shù)軸上標(biāo)示了，那四分之幾呢？誰來幫我找找怎么標(biāo)示？

師：接下來四分之幾的其他分?jǐn)?shù)怎么標(biāo)示就很簡單了吧。老師這里還有一些標(biāo)示其他分?jǐn)?shù)的數(shù)軸，（課件出示圖10）大家認(rèn)真看看這些分?jǐn)?shù)數(shù)軸，是不是感覺數(shù)越來越密，分?jǐn)?shù)單位越來小??？假如我們繼續(xù)這樣將分母擴(kuò)大，那在數(shù)軸上標(biāo)示出來的分?jǐn)?shù)是不是會更加密集？事實(shí)上，只要你的分母足夠大，分?jǐn)?shù)單位就會足夠小，那在數(shù)軸上標(biāo)示出來的分?jǐn)?shù)就會越來越密。大家能想象得出嗎？

圖10

師：好了，我現(xiàn)在把三分之幾的數(shù)軸和六分之幾的數(shù)軸（如圖11所示）留下了，大家仔細(xì)對比一下，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

圖11

生7：有一些點(diǎn)是公共的，比如和。

師：很好，那我們把兩條數(shù)軸合并成一條（如圖12所示），大家再觀察。請問和誰會大一些？

圖12

生8：會大一些，因?yàn)樗?的后面。

6

生8：。

師：這個(gè)你都知道，真不錯。最后我們討論一個(gè)問題。請看：我手里有3根橡皮筋。其中一根可以用什么分?jǐn)?shù)表示，另外兩根呢？

生9：分別用、表示。

生10：2倍。

師：那反過來怎么說呢？

生11：是的。

師：你的回答太完美了！這節(jié)課大家的表現(xiàn)太棒了，下課！

教學(xué)意圖：筆者認(rèn)為，只有將一類數(shù)“站”到數(shù)軸上，才能說在數(shù)的概念上取得了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。所以這個(gè)環(huán)節(jié)中，當(dāng)孩子們找到所對應(yīng)的線段長之后，從0開始增長，找到等對應(yīng)點(diǎn)就變得非常規(guī)范、自然。孩子在取的時(shí)候是在的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)的線段長，這說明孩子們已經(jīng)淡化了分?jǐn)?shù)意義里的等分過程，在做有關(guān)數(shù)的有序累積，這是一個(gè)有效的教學(xué)體現(xiàn)。

四、不得不說的后話

1.關(guān)于橡皮筋這個(gè)分?jǐn)?shù)模型的原型

我們之前的分?jǐn)?shù)教學(xué)中，分?jǐn)?shù)模型大多采用面積模型。張奠宙教授曾經(jīng)非常精辟地論述了分?jǐn)?shù)模型：在數(shù)直線上對分?jǐn)?shù)作幾何解釋是非常重要的。這是一個(gè)半抽象的模型。線段模型是圓模型和其他平面模型的再抽象，可以充當(dāng)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。用線段的長度表示分?jǐn)?shù)的大小，無論大餅、蛋糕有多大，這里的單位都是1。對于切下來的1份或2份，學(xué)生的腦子里不再局限地呈現(xiàn)1或2，而是一個(gè)新的數(shù)。這樣表示的好處有很多。首先，它的單位是抽象的“1”。雖與圓形、三角形相比要抽象，但仍然是幾何直觀，可以幫助學(xué)生感知分?jǐn)?shù)的含義。其次，這是數(shù)軸的雛形，早在學(xué)習(xí)自然數(shù)的時(shí)候，已經(jīng)用過這樣的表示方法。再次，通過操作可以看到分?jǐn)?shù)是填在自然數(shù)之間的新數(shù)，位置在兩個(gè)相鄰的自然數(shù)之間，并和分?jǐn)?shù)大小比較、約分、通分以及運(yùn)算相呼應(yīng)。

2.關(guān)于分?jǐn)?shù)上數(shù)軸

分?jǐn)?shù)上數(shù)軸這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，有幾個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)值得跟大家分享。

一是將同分母的分?jǐn)?shù)完整地標(biāo)示到數(shù)軸上。這個(gè)教學(xué)動作與之前有教師將不同分母的分?jǐn)?shù)統(tǒng)一標(biāo)示在同一條數(shù)軸上讓孩子觀察體驗(yàn)是有區(qū)別的。后者實(shí)際上造成了學(xué)生的認(rèn)知困難，他們會認(rèn)為分?jǐn)?shù)是一類極其混亂、難以判斷大小和次序的數(shù)。而按同分母的分類標(biāo)準(zhǔn)將分?jǐn)?shù)標(biāo)示在數(shù)軸上，孩子們通過數(shù)數(shù)認(rèn)知到了一列又一列分?jǐn)?shù)的有序，能直接感知分?jǐn)?shù)的大小，對分?jǐn)?shù)的數(shù)的認(rèn)知形成了統(tǒng)一準(zhǔn)確的表象。這節(jié)課在試教階段甚至有孩子有這樣的體會：分?jǐn)?shù)是一類比整數(shù)大的數(shù)！孩子的意思是整數(shù)可以看作分母都是1的一列分?jǐn)?shù)，整數(shù)是包含在分?jǐn)?shù)范疇里的一類數(shù)而已。這是多么深刻的認(rèn)識！這個(gè)教學(xué)動作實(shí)際上是異分母分?jǐn)?shù)上數(shù)軸之前的一個(gè)必要和有效的教學(xué)動作分解，是讓學(xué)生建立完整的分?jǐn)?shù)的數(shù)認(rèn)識的一個(gè)非常關(guān)鍵的構(gòu)建過程。

二是分?jǐn)?shù)上數(shù)軸有一個(gè)小小的技術(shù)難題。很多教師直接把分?jǐn)?shù)墻進(jìn)行壓縮，成為一根數(shù)軸，用這個(gè)教學(xué)動作完成分?jǐn)?shù)上數(shù)軸的意圖。這樣做不能回答一個(gè)問題，在數(shù)軸上，數(shù)是與數(shù)軸上的點(diǎn)集形成一一對應(yīng)的。如何才能實(shí)現(xiàn)線段的線長到數(shù)軸上的點(diǎn)集的轉(zhuǎn)化？要完成這個(gè)轉(zhuǎn)化的過程，我們必須知道數(shù)軸建立的原則，數(shù)軸是一根規(guī)定了起點(diǎn)、方向和單位長度的直線（數(shù)軸的三要素）。所以我們可以看作所有數(shù)都是從原點(diǎn)0開始增長相應(yīng)長度之后所到的點(diǎn)表示為該點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)。

這節(jié)嘗試的課堂里容量非常大。比如，分?jǐn)?shù)意義的溝通就可以好好上一到兩個(gè)課時(shí)；關(guān)于自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的比較認(rèn)識，用一整節(jié)課來讓學(xué)生感受估計(jì)都會覺得有些匆忙；數(shù)軸這個(gè)話題也有很多有趣的游戲可以和學(xué)生一起玩。但是這并非一節(jié)常規(guī)課，而是一堂教研課，想以“數(shù)一數(shù)”分?jǐn)?shù)的形式帶領(lǐng)孩子體驗(yàn)分?jǐn)?shù)這一類數(shù)。數(shù)數(shù)并不是一件簡單的事情。為了能數(shù)得起來，數(shù)得順利，數(shù)出感覺，這堂課在這三個(gè)方面都必須做到位。數(shù)數(shù)對整個(gè)分?jǐn)?shù)教學(xué)單元來說，只是其中一個(gè)非常小的教學(xué)動作。本文嘗試從這個(gè)角度講清如何從數(shù)的概念的高度落實(shí)到具體的教學(xué)環(huán)節(jié)，以達(dá)拋磚引玉的意愿。

分?jǐn)?shù)的教學(xué)是很多有識之士研究的對象，每一個(gè)研究者的成果都是見仁見智的。我們之前的分?jǐn)?shù)教學(xué)對分?jǐn)?shù)這一類數(shù)的特殊屬性強(qiáng)調(diào)過多，而對它有關(guān)數(shù)的共同屬性卻認(rèn)識不夠，導(dǎo)致學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識產(chǎn)生割裂，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的難度加大。把分?jǐn)?shù)當(dāng)作一類數(shù)來教，希望能成為研究這一類教學(xué)問題的基本共識，這是原有分?jǐn)?shù)教學(xué)中一個(gè)需要調(diào)整的基本問題，也應(yīng)該成為今后此類問題研究的一個(gè)核心和方向。分?jǐn)?shù)教學(xué)是時(shí)候回歸數(shù)的本質(zhì)進(jìn)行審視了。

分?jǐn)?shù)教學(xué)的研究是個(gè)系統(tǒng)工程，我們需要在數(shù)的教學(xué)的大前提下做好分?jǐn)?shù)教學(xué)整體編排的重新建構(gòu)，在這個(gè)建構(gòu)下再落實(shí)知識點(diǎn)突破的細(xì)化。比如從分?jǐn)?shù)意義的初步認(rèn)識到多種意義的溝通，從分?jǐn)?shù)的認(rèn)識到小數(shù)、自然數(shù)的比較學(xué)習(xí)，從分?jǐn)?shù)比較大小到四則運(yùn)算再到解決問題。這些都需要我們做更加精細(xì)、更加科學(xué)的實(shí)驗(yàn)和論證。

由于自身素養(yǎng)和認(rèn)識水平的問題，我們的研究中難免存在問題，希望得到大家的批評與指正。但是我們意圖通過這種有限發(fā)聲吸引更多有關(guān)分?jǐn)?shù)研究的新的聲音，渴望看到更有力的研究呈現(xiàn)，期待分?jǐn)?shù)的教學(xué)出現(xiàn)更好、更新的面貌。

（執(zhí)筆：汪松浩、徐旺、李闖）