0-1混沌測(cè)試算法中振幅對(duì)混沌序列的影響

熊緒沅, 萬(wàn)麗, 2, 賴(lài)佳境

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0-1混沌測(cè)試算法中振幅對(duì)混沌序列的影響

熊緒沅1, 萬(wàn)麗1, 2, 賴(lài)佳境1

(1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州, 510006; 2. 廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廣東廣州, 510006)

0-1混沌測(cè)試法是根據(jù)線(xiàn)性增長(zhǎng)率()值是否趨近于1或0來(lái)判斷離散數(shù)據(jù)混沌性的新方法。選取Verhulst種群模型生成的3類(lèi)時(shí)間序列(弱混沌、完全混沌、4-周期)為研究對(duì)象, 驗(yàn)證了0-1測(cè)試法的有效性, 對(duì)0-1測(cè)試算法中振幅作了進(jìn)一步探討。結(jié)果表明: 弱混沌序列()值對(duì)振幅最敏感, 其次分別是強(qiáng)混沌序列和周期序列,()值隨振幅變化的快慢可以反映序列的混沌程度。

0-1測(cè)試算法; Verhulst種群模型; 混沌識(shí)別; 噪聲序列

混沌是指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無(wú)規(guī)則的類(lèi)似隨機(jī)的現(xiàn)象, 它不是簡(jiǎn)單的無(wú)序, 表面上沒(méi)有明顯的周期和對(duì)稱(chēng), 但卻是具有豐富的內(nèi)部層次的有序結(jié)構(gòu), 是非線(xiàn)性系統(tǒng)的一種新的存在形式[1]?；煦缦到y(tǒng)的最大特點(diǎn)就是對(duì)演化的初始條件十分敏感, 因此, 從長(zhǎng)期意義上講, 系統(tǒng)的未來(lái)行為是不可預(yù)測(cè)的?；煦鐣r(shí)序分析是混沌和時(shí)序分析相互滲透的一門(mén)學(xué)科。自20世紀(jì)90年代以來(lái), 混沌時(shí)序分析在股票預(yù)測(cè)、脈沖控制、水文預(yù)報(bào)、DNA序列分析、水下目標(biāo)識(shí)別、礦化識(shí)別等方面都有較成功的應(yīng)用[2-8]。鑒別時(shí)間序列是否具有混沌吸引子存在, 是研究其混沌性的首要任務(wù)。目前, 常用的混沌識(shí)別方法主要有: 相圖法、頻譜分析法、龐加萊映象法、K熵法和Lyapunov指數(shù)法等。但這些混沌識(shí)別方法均存在一定的適應(yīng)范圍和局限性[9-10], 如相圖法簡(jiǎn)單直觀, 但精確度不高; 頻譜分析法對(duì)受到噪聲影響的序列很難從其頻譜上區(qū)分其運(yùn)動(dòng)模式; 龐加萊映象法不能區(qū)分混沌和完全隨機(jī)運(yùn)動(dòng); 最大Lyapunov指數(shù)法的計(jì)算結(jié)果并非直接得到, 延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)的確定具有一定的主觀性和不確定性。

0-1測(cè)試法是一種不需要相空間重構(gòu), 直接通過(guò)計(jì)算離散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化變量的線(xiàn)性增長(zhǎng)率()值是否趨近于1或0快速判斷混沌是否存在的方法。Gottwald等[11-13]對(duì)用于含噪聲序列的0-1算法中振幅該如何選擇、怎樣區(qū)分混沌的程度并沒(méi)有詳細(xì)討論。本文以Verhulst種群增長(zhǎng)模型生成的離散序列為研究對(duì)象, 驗(yàn)證0-1測(cè)試法對(duì)混沌識(shí)別的有效性和抗噪性, 給出3種不同性質(zhì)序列(弱混沌、強(qiáng)混沌-、4-周期)的0-1測(cè)試圖, 對(duì)該算法應(yīng)用于含噪聲序列時(shí)振幅對(duì)()值的影響作了進(jìn)一步討論。

1 0-1混沌識(shí)別算法

如果離散時(shí)間序列為非混沌的, 如周期的或倍周期的,p()-q()的軌跡圖有界穩(wěn)定; 如果離散時(shí)間序列是混沌的,p()-q()軌跡圖近似布朗運(yùn)動(dòng)。傅里葉變換原理與式(1)和(2)原理不同: 傅里葉變換把時(shí)間序列從時(shí)間域變換到頻率域, 離散的信號(hào)頻率域?qū)?yīng)著周期的時(shí)間序列, 周期的信號(hào)頻率域?qū)?yīng)著離散的時(shí)間序列, 進(jìn)而研究信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)和變化規(guī)律[14]。

第2步, 計(jì)算p()和q()的均方位移函數(shù)值D(),

第3步, 計(jì)算D()隨的線(xiàn)性增長(zhǎng)率(), 即取D()與的相關(guān)系數(shù)

文獻(xiàn)[13]針對(duì)序列中含有噪聲的情況, 提出了修正方法, 即算法中第1、3步不變, 第2步變?yōu)橛?jì)算p()和q()的修正均方位移函數(shù)值,

振幅用來(lái)控制0-1測(cè)試法對(duì)弱噪聲和弱混沌的敏感性, 式(5)中D()與式(3)保持一致。文獻(xiàn)[13]對(duì)振幅該如何選擇并沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明, 通常只選取了振幅= 2.5的情形。

2 0-1測(cè)試法有效性檢驗(yàn)

為驗(yàn)證0-1測(cè)試法的有效性, 選取Verhulst種群模型迭代序列為研究對(duì)象, 種群模型迭代公式為

其中,為種群增長(zhǎng)因子。根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定理可知, 在[0, 2]中式(6)有穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)1。對(duì)[1.8, 3.0], 利用Matlab模擬生成500個(gè)對(duì)應(yīng)的迭代序列, 其分岔圖形如圖1所示。同時(shí)以增長(zhǎng)因子為橫坐標(biāo), 間距為0.001, 對(duì)每個(gè)生成數(shù)據(jù)長(zhǎng)度= 2 000的離散序列, 代入不含噪聲0-1測(cè)試算法計(jì)算出對(duì)應(yīng)的()值為縱坐標(biāo), 作出Verhulst種群模型迭代序列的—()圖如圖2所示。

圖1 Verhulst模型分岔圖

圖2 Verhulst模型λ—K(c)圖

對(duì)比圖1和圖2可知: 當(dāng)Verhulst序列為周期序列時(shí), 對(duì)應(yīng)的()值趨于0; 當(dāng)Verhulst序列由周期通向混沌狀態(tài)時(shí),()值由0上升為1; 當(dāng)序列為混沌序列時(shí), 對(duì)應(yīng)的()值趨于1。圖2中Verhulst序列的0-1測(cè)試值反映的狀態(tài)與圖1中Verhulst序列的分岔圖狀態(tài)相吻合, 驗(yàn)證了0-1測(cè)試法的有效性。少數(shù)點(diǎn)()值突然由1變?yōu)?, 部分的取值出現(xiàn)了頻率共振現(xiàn)象, 并不影響0-1測(cè)試法的整體有效性。

圖3(a, b, c)分別給出了= 2 000,= 2.576 3 (弱混沌),= 2.990 0 (強(qiáng)混沌)和= 2.500 0 (4-周期)的—(= 1.8)軌跡圖,M()—和()—散點(diǎn)圖。由圖3可知:= 2.576 3時(shí), 系統(tǒng)為弱混沌狀態(tài),—軌跡圖出現(xiàn)由有界走向雜亂的現(xiàn)象,M()—圖類(lèi)似正弦函數(shù)圖像,M()值介于0和3.5之間,()—圖中()的值穩(wěn)定在0.18附近;= 2.990 0時(shí), 系統(tǒng)為完全混沌狀態(tài),—圖表現(xiàn)為近似布朗運(yùn)動(dòng),M()隨線(xiàn)性增長(zhǎng),()值趨近于1;= 2.5時(shí), 系統(tǒng)為4周期狀態(tài), 此時(shí)—軌跡圖有界穩(wěn)定, 圖像出現(xiàn)4個(gè)同心圓, 這與系統(tǒng)為4周期相符,()值分布在0附近,M()值分布散亂。說(shuō)明0-1測(cè)試圖能夠很好地反映序列是否具有混沌性。

圖3 Verhulst序列的0-1測(cè)試圖

3 振幅對(duì)0-1測(cè)試法的影響

實(shí)際數(shù)據(jù)不可避免含有一定程度的噪聲, 為提高測(cè)試的可靠性, 此時(shí)應(yīng)選用含振幅的0-1測(cè)試算法來(lái)計(jì)算線(xiàn)性增長(zhǎng)率()。設(shè)(= 1, 2, …,)為原始Verhulst序列, 加入噪聲后生成的時(shí)間序列為

圖4 含噪水平為5%的Verhulst序列K—α圖

由圖4可知在添加強(qiáng)度為5%的噪聲后, 3種不同性質(zhì)序列的()值均下降, 但下降幅度不一樣,—圖呈現(xiàn)出不同特征。隨著振幅的不斷增大, 周期序列()降幅最小, 基本穩(wěn)定在0附近; 弱混沌序列()值降幅最大, 對(duì)振幅最敏感, 混沌性越弱, 曲線(xiàn)下降越快, 在= 4.5時(shí),()值已經(jīng)降至0.05以下; 完全混沌序列的()值下降相對(duì)緩慢,達(dá)到6.0時(shí)()值保持在0.9以上。3種不同性質(zhì)序列的—圖呈現(xiàn)不同的變化趨勢(shì), 可從序列—圖的特征來(lái)判斷序列是否具有混沌性: 序列—圖中()值始終穩(wěn)定在0附近, 則序列為周期序列;—圖中()值隨振幅的增加迅速向0靠攏, 則序列為弱混沌序列, 混沌性越弱,()值下降越快;—圖中()值隨振幅緩慢下降后能維持在0.9附近, 則序列為強(qiáng)混沌序列。不同性質(zhì)序列的—圖的不同表現(xiàn)特征可為實(shí)際數(shù)據(jù)的混沌判別提供參考, 對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)選用含振幅的0-1測(cè)試法并結(jié)合—圖可以進(jìn)一步提高混沌判別的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

選取Verhulst種群模型迭代序列為研究對(duì)象, 通過(guò)對(duì)比原始Verhulst序列的分岔圖和0-1測(cè)試—()圖, 作出3類(lèi)不同性質(zhì)(弱混沌、強(qiáng)混沌、4-周期)序列的0-1測(cè)試圖, 驗(yàn)證了0-1測(cè)試算法的有效性, 探討了算法中振幅對(duì)含噪水平為5%的3種不同性質(zhì)Verhulst序列的影響。得出如下結(jié)論: 0-1測(cè)試算法具有一定抗噪性, 從—圖中可以區(qū)分混沌的強(qiáng)弱性, Verhulst序列的0-1測(cè)試—圖和其分岔圖所反映的系統(tǒng)狀態(tài)相吻合, 周期序列時(shí)()值趨近于0, 混沌序列()值趨近于1, 0-1測(cè)試法能有效識(shí)別序列的混沌性; 對(duì)3組含噪水平為5%的Verhulst序列的—圖研究發(fā)現(xiàn), 周期、弱混沌和強(qiáng)混沌序列的()值對(duì)振幅敏感程度不一樣, 弱混沌序列最敏感, 其次分別是強(qiáng)混沌序列和周期序列, 混沌性越強(qiáng),()值隨振幅下降越緩慢, 可以從—圖中曲線(xiàn)下降的快慢來(lái)區(qū)分序列混沌性的強(qiáng)弱。

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(責(zé)任編校:劉曉霞)

Influence of amplitude on chaos sequence in the 0-1 test algorithm

Xiong Xuyuan1, Wan Li1, 2, Lai Jiajing1

(1. School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China; 2. Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

The 0-1 test method is a new method which through the determining discrete data transformation variable’s linear growth rate() approaches to 1 or 0 to judge whether discrete time series are chaotic or not. Selecting three kinds of time series (weak chaos, strong chaos and 4 period-doubling) generated by classic Verhulst population model as the research object, the validity of the 0-1 test method is verified, and the amplitudeof the 0-1 test algorithm is further discussed. The results show that the() value of weak chaotic sequence is the most sensitive to the amplitude, followed by the strong chaotic sequence and the periodic sequence, the speed of decline of() value changes with the amplitude can reflect the degree of chaos.

0-1 test algorithm; Verhulst population model; chaos identification; noised sequence

10.3969/j.issn.1672–6146.2016.04.008

O 415.5

1672–6146(2016)04–0035–05

熊緒沅, 1262839457@qq.com。

2016-05-19

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41172295)。