基于點(diǎn)源解的偏心井試井典型曲線分析

姜瑞忠， 郜益華， 孫召勃， 何吉祥， 滕文超

( 1. 中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島　266580；　2. 中海石油(中國)有限公司 天津分公司，天津　300452 )

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基于點(diǎn)源解的偏心井試井典型曲線分析

姜瑞忠1， 郜益華1， 孫召勃2， 何吉祥1， 滕文超1

( 1. 中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島266580；2. 中海石油(中國)有限公司 天津分公司，天津300452 )

直井試井一般假設(shè)井位于地層中心，在實(shí)際試井測(cè)試過程中很難保證。利用點(diǎn)源理論、疊加原理、鏡像原理給出偏心點(diǎn)源解，以及外邊界封閉、定壓的圓形油藏中偏心井的線源解，繪制偏心井試井的典型壓力曲線并分析偏心距對(duì)試井典型曲線的影響。結(jié)果表明：對(duì)于外邊界封閉和定壓油藏試井曲線偏心距的存在使邊界響應(yīng)提前出現(xiàn)；與井位于地層中心時(shí)的情況不同，考慮偏心距后外邊界封閉油藏的邊界響應(yīng)可劃分為封閉邊界響應(yīng)擴(kuò)大階段和整個(gè)封閉邊界響應(yīng)階段；考慮外邊界定壓油藏偏心距后，邊界響應(yīng)體現(xiàn)出壓力導(dǎo)數(shù)下降變緩特征。

偏心井； 線源解； 典型壓力曲線； 偏心距； 邊界響應(yīng)

0　引言

目前，考慮外邊界條件的圓形地層直井試井分析一般均假設(shè)井位于地層中心[1-9]。在實(shí)際試井測(cè)試中由于地層條件存在復(fù)雜性，很難出現(xiàn)井位于地層中心的理想情況，因此有必要對(duì)偏心井問題進(jìn)行研究。Muskat M、葛家理等利用鏡像反映法得到圓形地層考慮外邊界條件的偏心井穩(wěn)定產(chǎn)量公式[10-11]，劉洪等采用邊界元方法研究封閉地層中偏心井的不穩(wěn)定產(chǎn)量變化[12]，但關(guān)于偏心井不穩(wěn)定試井的研究極少。

筆者采用偏心距描述偏心井在地層中的位置，利用點(diǎn)源理論得到外邊界定壓和封閉油藏中偏心井的線源解，從而得到偏心井試井問題的解析解和典型試井曲線，為偏心井試井分析提供依據(jù)。為驗(yàn)證模型的正確性，與劉洪等采用邊界元方法所得結(jié)果[12]進(jìn)行對(duì)比，并將文中的模型退化為井位于地層中心的情況，與Ozkan E給出的井位于地層中心的線源解[13]進(jìn)行對(duì)比，分析偏心距對(duì)考慮外邊界條件試井曲線的影響。

1　模型建立及求解

1.1物理模型

考慮單層、均質(zhì)外邊界封閉或定壓圓形油藏中一口偏心井的情況，見圖1。模型基本假設(shè)：

(1)油藏水平均質(zhì)，厚度為h，外邊界半徑為re，開井生產(chǎn)前均勻分布的地層壓力為pi；

(2)地層流體、巖石微可壓縮，流動(dòng)符合達(dá)西定律；

(3)井位于油藏內(nèi)任意位置，采用偏心距ra描述井的位置；

(4)井可視為線源，以定產(chǎn)量q生產(chǎn)，且井在整個(gè)油層內(nèi)射孔生產(chǎn)；

(5)忽略重力影響；

(6)考慮表皮因子和井筒存儲(chǔ)效應(yīng)的影響。

1.2數(shù)學(xué)模型及模型求解

在球坐標(biāo)系下，偏心點(diǎn)源的滲流微分方程為

(1)

圖1　外邊界封閉或定壓油藏偏心井示意Fig.1 Schematic diagram of eccentric well in reservoir with closed boundary or constant pressure boundary

瞬時(shí)點(diǎn)源的內(nèi)邊界條件為

(2)

油藏初始條件為

(3)

外邊界條件：

(1)定壓外邊界

(4)

式中：re為柱坐標(biāo)系下從油藏中心計(jì)起的外邊界半徑。

(2)封閉外邊界

(5)

頂?shù)走吔绶忾]

(6)

將無因次變量代入式(1-6)并進(jìn)行拉普拉斯變換,拉式空間下的瞬時(shí)偏心點(diǎn)源模型為

(7)

無因次瞬時(shí)點(diǎn)源內(nèi)邊界條件為

(8)

頂?shù)走吔绶忾]

(9)

外邊界條件：

(1)定壓外邊界條件

(10)

(2)封閉外邊界條件

(11)

式(10-11)中：reD為外邊界無因次半徑。

由點(diǎn)源理論[13-16]知，瞬時(shí)偏心點(diǎn)源模型對(duì)應(yīng)的連續(xù)偏心點(diǎn)源解可寫成

(12)

在瞬時(shí)偏心點(diǎn)源模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合疊加原理、鏡像原理可得無窮大外邊界的連續(xù)偏心點(diǎn)源解為

(13)

(14)

式中：Ik為k階第一類虛宗量貝塞爾函數(shù);Kk為k階第二類虛宗量貝賽爾函數(shù)；a為系數(shù)。

將式(14)代入式(13)可得

(15)

(16)

(17)

式中:ξk、ζk為待定系數(shù)。

此時(shí)，有

(18)

(1)對(duì)于封閉外邊界油藏，有

(19)

(20)

(2)對(duì)于定壓外邊界油藏，有

(21)

(22)

對(duì)于封閉邊界油藏偏心線源解為

(23)

對(duì)于定壓邊界油藏偏心線源解為

(24)

當(dāng)考慮井筒存儲(chǔ)效應(yīng)和表皮效應(yīng)時(shí)，利用杜哈美原理[18]可得

(25)

圖2　封閉邊界偏心井不穩(wěn)定產(chǎn)量結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of transient rate for eccentric well in reservoir with closed boundary between Liu's study and results in this paper

對(duì)式(25)利用Stehfest數(shù)值反演方法進(jìn)行反演，即可得到真實(shí)空間的偏心井井底壓力解。

2　模型驗(yàn)證

(26)

劉洪等應(yīng)用邊界元方法研究外邊界封閉時(shí)偏心井不穩(wěn)定產(chǎn)量變化[12]。為驗(yàn)證模型，利用文中模型及式(26)做出封閉邊界條件下不穩(wěn)定產(chǎn)量變化與劉洪等所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見圖2(實(shí)線為文中模型所得結(jié)果；點(diǎn)線為劉洪等利用邊界元法所得結(jié)果)。

由圖2知：文中得到的封閉邊界偏心井不穩(wěn)定產(chǎn)量解析解與劉洪等利用邊界元方法得到的結(jié)果一致，在一定程度上驗(yàn)證模型的正確性。

另外，為驗(yàn)證模型的正確性，令模型中偏心距raD=0，做出井位于地層中心時(shí)的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線，與Ozkan E給出的井位于地層中心線源解[11]進(jìn)行對(duì)比。為方便對(duì)比，將Ozkan E給出的線源位于地層中心的解[11]轉(zhuǎn)化為文中給出的無因次壓力形式，結(jié)果見圖3和圖4。

對(duì)于封閉外邊界，有

(27)

對(duì)于定壓外邊界，有

(28)

由圖3和圖4知：當(dāng)偏心距raD=0時(shí)，文中模型可以退化為井位于地層中心時(shí)的試井模型，兩者所得結(jié)果相同，再次驗(yàn)證模型的正確性。

圖3　封閉外邊界典型壓力圖版對(duì)比Fig.3 Comparison of type pressure curve for reservoir with closed boundary

圖4　定壓外邊界典型壓力圖版對(duì)比Fig.4 Comparison of type pressure curve for reservoir with constant-pressure boundary

3　壓力圖版分析

3.1典型圖版

根據(jù)文中模型做出外邊界封閉和定壓時(shí)的偏心井試井典型壓力曲線，并與井位于地層中心(raD=0)的典型曲線進(jìn)行對(duì)比，見圖5和圖6。

圖5分別給出封閉邊界條件下不考慮偏心距(raD=0)時(shí)外邊界reD=1 000、200，以及考慮偏心距raD=800，而外邊界為reD=1 000時(shí)的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線。由圖5可見，考慮偏心距后邊界響應(yīng)提前出現(xiàn)。另外，不考慮偏心距時(shí)封閉邊界的響應(yīng)特征是壓力導(dǎo)數(shù)斜率為1，而考慮偏心距后封閉邊界可分為2段：封閉邊界響應(yīng)擴(kuò)大段，偏心井壓力傳播到部分邊界，該階段壓力導(dǎo)數(shù)上升，但斜率不為1；整個(gè)封閉邊界響應(yīng)階段，偏心井壓力完全傳到邊界，該階段壓力導(dǎo)數(shù)斜率為1。因此，考慮偏心距后圓形封閉邊界油藏直井試井的流動(dòng)階段可劃分為5個(gè)階段：(1)早期純井筒存儲(chǔ)階段；(2)過渡階段；(3)徑向流階段；(4)封閉邊界響應(yīng)擴(kuò)大階段；(5)整個(gè)封閉邊界響應(yīng)階段。

圖6分別給出定壓邊界條件下不考慮偏心距(raD=0)時(shí)外邊界reD=1 000、200，以及考慮偏心距raD=800而外邊界為reD=1 000時(shí)的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線。由圖6可見，考慮偏心距的主要影響體現(xiàn)在邊界反映階段，偏心距后邊界響應(yīng)提前出現(xiàn)。另外，考慮偏心距后邊界響應(yīng)特征也明顯不同，對(duì)于定壓邊界，邊界響應(yīng)的特征為壓力導(dǎo)數(shù)下降，不考慮偏心距時(shí)不同外邊界半徑下的邊界響應(yīng)基本平行，而考慮偏心距后壓力導(dǎo)數(shù)的下降變緩，壓力下降速率最后趨于相同。與封閉邊界不同，定壓邊界油藏考慮偏心距后其邊界響應(yīng)沒有明顯分界線，流動(dòng)階段劃分4個(gè)階段：(1)早期純井筒存儲(chǔ)階段；(2)過渡階段；(3)徑向流階段；(4)定壓邊界反映階段，在偏心距的影響下壓力導(dǎo)數(shù)下降變緩。

圖5　封閉邊界下偏心井典型壓力圖版Fig.5 Type pressure curve of eccentric well in reservoir with closed outer boundary

圖6　定壓邊界下偏心井典型壓力圖版Fig.6 Type pressure curve of eccentric well in reservoir with constant pressure outer boundary

3.2參數(shù)敏感性

為研究偏心距對(duì)外邊界封閉或定壓油藏試井曲線的影響，繪制不同偏心距下的典型壓力圖版，見圖7和圖8。

圖7　偏心距對(duì)封閉邊界油藏的影響Fig.7 Effect of offset distance on the pressure curve for eccentric well in reservoir with closed boundary

圖8　偏心距對(duì)定壓邊界油藏的影響Fig.8 Effect of offset distance on the pressure curve for eccentric well in reservoir with constant pressure boundary

由圖7可知，偏心距越大，邊界響應(yīng)開始的越早，封閉邊界響應(yīng)擴(kuò)大段越長(zhǎng)，該階段壓力導(dǎo)數(shù)的斜率越小。這是因?yàn)槠木嘣酱?，直井距外邊界的最小距離越小，壓力開始傳播到邊界的時(shí)間越短，邊界響應(yīng)開始的時(shí)間越早；同時(shí)，偏心距增大，導(dǎo)致壓力完全傳播到邊界的時(shí)間變晚，邊界響應(yīng)早期壓力導(dǎo)數(shù)的斜率越小。

由圖8可知，偏心距越大，邊界響應(yīng)出現(xiàn)越早，壓力導(dǎo)數(shù)曲線下降越緩。這是因?yàn)榭紤]偏心距后，壓力傳播到邊界的時(shí)間不同，偏心距越大，壓力開始傳播到邊界的時(shí)間越早，邊界響應(yīng)出現(xiàn)越早；同時(shí)，偏心距越大，壓力完全傳播到邊界的時(shí)間越晚，邊界響應(yīng)早期壓力導(dǎo)數(shù)的下降越緩。

4　實(shí)例解釋

某油田對(duì)一直井測(cè)得300 h的壓力下降數(shù)據(jù)，見圖9。該井的試井?dāng)?shù)據(jù)表現(xiàn)出偏心井特征，采用文中模型得到很好的擬合效果。經(jīng)解釋，該井的外邊界半徑約為255 m，偏心距約為45 m，滲透率約為150×10-3μm2。

圖9　某封閉邊界偏心井?dāng)M合結(jié)果Fig.9 Matching result of a closed boundary eccentric well

5　結(jié)論

(1)在點(diǎn)源理論基礎(chǔ)上得到偏心井試井模型的解析解，并通過與劉洪、Ozkan E等的研究結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的正確性。

(2)對(duì)于封閉外邊界油藏，偏心距使邊界響應(yīng)分為2段：封閉邊界響應(yīng)擴(kuò)大段，偏心井壓力傳播到部分邊界，壓力導(dǎo)數(shù)上升，但斜率不為1；整個(gè)封閉邊界響應(yīng)階段，偏心井壓力完全傳播到邊界，壓力導(dǎo)數(shù)斜率為1。

(3)對(duì)于定壓外邊界油藏，考慮偏心距后邊界響應(yīng)并沒有明顯的分界線。偏心距越大，邊界響應(yīng)出現(xiàn)越早，邊界響應(yīng)階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線下降越緩。

[1]張璋,何順利.變形介質(zhì)儲(chǔ)層壓力恢復(fù)試井曲線特征[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào),2013,36(11):108-114.

Zhang Zhang, He Shunli. Pressure buildup behavior in deformable medium formation [J]. Journal of Chongqing University, 2013,36(11):108-114.

[2]張林,賈永祿,張福洋,等.考慮二次壓力梯度非線性滲流三區(qū)復(fù)合油藏模型分析[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào),2011,35(5):54-59.

Zhang Lin, Jia Yonglu, Zhang Fuyang, et al. Analysis of considering quadratic pressure gradient nonlinear percolation in 3-zone composite reservoir [J]. Journal of Daqing Petroleum Institute, 2011,35(5):54-59.

[3]陳方方,賈永祿,霍進(jìn),等.三孔介質(zhì)徑向復(fù)合油藏模型與試井樣板曲線[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào),2008,32(6):64-67.

Chen Fangfang, Jia Yonglu, Huo Jin, et al. The flow model of the triple-medium composite reservoirs and the type curves [J]. Journal of Daqing Petroleum Institute, 2008,32(6):64-67.

[4]姚軍,劉順.基于動(dòng)態(tài)滲透率效應(yīng)的低滲透油藏試井解釋模型[J].石油學(xué)報(bào),2009,30(3):430-433.

Yao Jun, Liu Shun. Well test interpretation model based on mutative permeability effects for low-permeability reservoir [J]. Acta Petrolei Sinica, 2009,30(3):430-433.

[5]楊志剛,陳玉祥,王霞.考慮外邊界影響的多層復(fù)合油藏試井解釋數(shù)學(xué)模型[J].石油化工應(yīng)用,2011,30(3):16-19.

Yang Zhigang, Chen Yuxiang, Wang Xia. Logging interpretation mathematical model of multi-bed composite reservoir considering the influence of boundary [J]. Petrochemical Industry Application, 2011,30(3):16-19.

[6]賈永祿.外邊界定壓試井分析有效井徑模型及其樣版曲線[J].西南石油學(xué)院學(xué)報(bào),1993,15(4):51-57.

Jia Yonglu. Effective wellbore radius model with constant pressure at external boundary and its type-curves in well test analysis [J]. Journal of Southwestern Petroleum Institute, 1993,15(4):51-57.

[7]劉澤俊,孫智,宋考平.有界地層非牛頓滲流試井解釋模型[J].大慶石油地質(zhì)與開發(fā),1996,15(3):63-66.

Liu Zejun, Sun Zhi, Song Kaoping. Interpretive models for non-newtonian seepage flow well testing in bounded formations [J]. Petroleum Geology & Oilfield Development in Daqing, 1996,15(3):63-66.

[8]胡建國.圓形定壓邊界油藏試井分析方法[J].中國海上油氣:地質(zhì),1997,11(5):51-59.

Hu Jianguo. Method of well-test analysis for a circular reservoir with constant-pressure outer boundary [J]. China Offshore Oil and Gas: Geology, 1997,11(5):51-59.

[9]廖新維,沈平平.現(xiàn)代試井分析[M].北京:石油工業(yè)出版社,2002:122-124.

Liao Xinwei, Shen Pingping. Modern well test analysis [M]. Beijing: Petroleum Industry Press, 2002:122-124.

[10]Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media [M]. Boston: International Human Resources Development Corporation, 1982:169-175.

[11]葛家理,寧正福,劉月田,等.現(xiàn)代油藏滲流力學(xué)原理[M].北京:石油工業(yè)出版社,2000:89-90.

Ge Jiali, Ning Zhengfu, Liu Yuetian, et al. The modern mechanics of fluids flow in oil [M]. Beijing: Petroleum Industry Press, 2000:89-90.

[12]劉洪,王新海,任路,等.偏心井產(chǎn)量變化規(guī)律研究[J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2012,33(3):159-166.

Liu Hong, Wang Haixin, Ren Lu, et al. Production change rules of eccentric well [J]. Journal on Numerical Methods and Computer Applications, 2012,33(3):159-166.

[13]Ozkan E. Performance of horizontal wells [D]. Oklahoma: The University of Tulsa, 1988:22-26.

[14]Ozkan E. New solutions for well-test-analysis problems: Part Ⅲ-additional algorithms [C]. SPE 28424, 1994.

[15]Ozkan E, Raghavan R. New solutions for well-test-analysis problems: Part 1-analytical considerations [J]. Society of Petroleum Engineers, 1991,6(3):359-368.

[16]Gringarten A C, Ramey H J. The use of source and Green's function in solving unsteady-flow problems in reservoirs [J]. Society of Petroleum Engineers Journal, 1973,13(5):285-296.

[17]Carslaw H S, Jaeger J C. Conduction of heat in solids [M]. 2nd ed. London: Oxford University Press, 1959:376-378.

[18]Kuchuk F. Generalized transient pressure solutions with wellbore storage [G]. Society of Petroleum Engineers, 1986.

[19]Van-Everdingen A F, Hurst W. The application of the Laplace transformation to flow problem in reservoirs [J]. Journal of Petroleum Technology, 1949,1(12):305-324.

2016-02-29；編輯：關(guān)開澄

國家自然基金項(xiàng)目(51374227,51574265)；國家科技重大專項(xiàng)(2016ZX05027004-004)。

姜瑞忠(1964-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事油氣田開發(fā)方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.04.010

TE353

A

2095-4107(2016)04-0080-08