一種基于塑性功和突變理論的邊坡臨界狀態(tài)確定方法

李志平，彭振斌，何忠明，唐佳

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一種基于塑性功和突變理論的邊坡臨界狀態(tài)確定方法

李志平1, 2，彭振斌1，何忠明3，唐佳1

(1. 中南大學地球科學與信息物理學院，湖南長沙，410083；2. 化工部長沙設計研究院，湖南長沙，410117；3. 長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙，410114)

基于當前強度折減法的臨界狀態(tài)判據各有優(yōu)缺點，結合塑性應變能理論和突變理論，提出一種新的反映邊坡的臨界狀態(tài)失穩(wěn)判據。該方法以塑性功作為評價邊坡整體穩(wěn)定性狀態(tài)的評價指標，以尖點突變模型作為判斷邊坡失穩(wěn)與否的理論依據。在具體操作過程中，通過不斷調整強度折減系數(shù)，記錄每個折減系系數(shù)下對應的計算模型整體塑性功，建立“整體塑性功?折減系數(shù)”曲線，并通過突變理論找出整體塑性功發(fā)生突變時對應的折減系數(shù)，此時的折減系數(shù)即為邊坡的安全系數(shù)，此折減系數(shù)下對應的邊坡狀態(tài)即為臨界狀態(tài)。對單臺階邊坡、多臺階邊坡進行計算。研究結果表明：基于該方法得到的安全系數(shù)與極限平衡法得到的安全系數(shù)較接近，尤其與滿足力平衡條件和力矩平衡條件的修正簡布法所得結果最接近，從而驗證了該方法的可靠性。

強度折減法；邊坡穩(wěn)定性；安全系數(shù)；臨界狀態(tài)判據；塑性應變能；突變理論

目前計算邊坡安全系數(shù)的方法主要有2種：極限平衡法和強度折減法。與極限平衡法相比，強度折減法不需要事先假定滑動面的位置和形狀，且考慮巖土體的本構模型等，因此，該方法在邊坡穩(wěn)定性分析中的應用越來越廣泛[1?5]。但強度折減法在應用過程中需要面對的1個關鍵問題就是臨界狀態(tài)判據的選擇，其對安全系數(shù)計算結果的影響至關重要。當前的臨界狀態(tài)判據主要分為3類[6?10]：1) 以塑性區(qū)的貫通為判據；2) 以數(shù)值計算的不收斂作為失穩(wěn)判據；3) 以特征部位的位移突變性或加速度為零作為失穩(wěn)判據。以上判據在一定程度上可以獲得較合理的安全系數(shù)，對于較簡單的邊坡，安全系數(shù)較接近，但各自也存在一些缺陷：塑性區(qū)的貫通被認為是失穩(wěn)的必要非充分條件，若以塑性區(qū)貫通作為判據，則有可能低估實際的安全系數(shù)；數(shù)值計算不收斂的原因并不是唯一的，有可能是達到臨界狀態(tài)失穩(wěn)所致，也有可能是網格模型或計算程序本身存在缺陷所致，因此，得到的安全系數(shù)并一定可靠；通過局部點的特征點位移突變特征來搜尋臨界狀態(tài)面臨的1個難題就是如何選擇合適的特征點，特征點的選擇不同，得到的安全系數(shù)通常也會出現(xiàn)差異。綜上所述，當前的臨界狀態(tài)判據各有優(yōu)缺點，但尚未形成統(tǒng)一的認識，因此，有必要繼續(xù)對臨界狀態(tài)的判據進行探討，進一步加深對臨界狀態(tài)判據的認識[11?14]。為此，本文作者結合塑性應變能理論和突變理論，提出一種新的反映邊坡整體失穩(wěn)過程的臨界狀態(tài)失穩(wěn)判據，即不斷調整強度折減系數(shù)，對每一步折減系數(shù)下的邊坡進行彈塑性計算，計算完成后，對整個計算模型所有單元的塑性功進行累加，得到每個折減系系數(shù)下對應的計算模型整體的塑性功，建立“整體塑性功?折減系數(shù)”曲線，并通過突變理論找出整體塑性功發(fā)生突變時對應的折減系數(shù)，此時的折減系數(shù)即為邊坡的安全系數(shù)，此折減系數(shù)下對應的邊坡狀態(tài)即為臨界狀態(tài)。最后，通過單臺階邊坡、多臺階邊坡驗證該方法的可行性。

1 基本原理

1.1 塑性應變能的基本原理

基于彈塑性力學基本理論，當計算模型中某點的應力狀態(tài)符合屈服準則后，應力狀態(tài)點則沿著屈服面發(fā)生流動，某點的塑性應變能密度可表示為[15?16]

顯然，W大于等于0，塑性應變能密度可以作為評價塑性狀態(tài)的指標，塑性屈服越明顯，則塑性應變越大，積累的塑性應變能亦越大。在一定范圍內，對W進行積分即可得到整個區(qū)域塑性應變能：

對整個邊坡而言，在確定的荷載條件下，隨著強度參數(shù)降低，其屈服區(qū)域的面積從無到有并逐漸增大，即整個區(qū)域積累的塑性應變能逐漸增大；當邊坡發(fā)生整體失穩(wěn)時，其整體塑性應變能急劇增大。因此，整體塑性應變能可以從全局的角度反映邊坡的漸進破壞過程。

在具體計算過程中，將坡體的抗剪切強度參數(shù)除以折減系數(shù)后得到新的強度參數(shù)，進而采用有限差分方法進行彈塑性計算。待計算完成后，遍歷整個坡體的所有單元并判斷單元的應力狀態(tài)。若某單元處于塑性狀態(tài)，則采用式(1)計算該單元的塑性應變能，將所有處于塑性狀態(tài)單元的塑性應變能進行累加，則得到整個坡體的塑性應變能，由此可得到坡體塑性應變能與折減系數(shù)之間的曲線關系。

1.2 突變理論的基本原理

尖點突變模型是最實用、最簡單的突變模型，已廣泛應用于邊坡穩(wěn)定性評價、采礦頂板穩(wěn)定性分析、地震液化評價、基坑支護評價等。尖點突變模型的勢函數(shù)為[17?20]

式中：為狀態(tài)變量；和為控制變量。由此可得到的表達式，令=0，可得平衡曲面方程為

此3次方程的實根判別式為

令=0即可得到分叉集方程。平衡曲面與分叉集的關系見圖1[17]。由圖1可知：平衡曲面在空間中的圖形由上、中、下3葉構成，勢函數(shù)對應的上、下葉的位置是穩(wěn)定的，而對應的中間葉是不穩(wěn)定的，因此，點只在上葉或下葉穩(wěn)定地變化，一旦到達其邊緣位置，便隨即發(fā)生突變而跳過中葉。因此，系統(tǒng)狀態(tài)的變化存在漸變和突變2種形式，當控制變量大于0時，系統(tǒng)狀態(tài)位于奇點集的另一側。狀態(tài)變量的整個變化過程都是漸變的，當控制變量小于0時，系統(tǒng)狀態(tài)位于奇點集的這一側，狀態(tài)變量在漸變過程中有可能從上葉直接突變到下葉。顯然，當控制變量和處于分叉集內部即＜0時，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；當控制變量和處于分叉集外部即＞0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當控制變量和滿足分叉集方程即=0時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

圖1 尖點突變模型[17]

2 邊坡失穩(wěn)臨界狀態(tài)判別方法

邊坡的失穩(wěn)過程不是一蹴而就的，而是一個漸進破壞的過程，即坡體內部的屈服區(qū)域逐漸增大，當增大到一定程度時(臨界狀態(tài))，邊坡即發(fā)生滑動。采用強度折減法計算其安全系數(shù)時，不斷增大強度參數(shù)的折減系數(shù)，根據折減系數(shù)更新強度參數(shù)后再進行彈塑性計算。隨著折減系數(shù)的增大，坡體的強度參數(shù)逐漸降低，則每次彈塑性計算后坡體或壩體內部的塑性區(qū)面積是不斷增大的，同時塑性應變也是逐漸增大的，若按照式(2)對整個坡體進行積分計算，則可得到其整體的塑性應變能。顯然，隨著折減系數(shù)的增大，整體塑性應變能也不斷增大，當整體塑性應變能達到某個閥值(臨界值)以后，坡體發(fā)生滑動，此后，塑性區(qū)面積和塑性應變增大更明顯，因此，整體塑性應變能也顯著增大。由此可見，整體塑性應變能可以反映坡體的漸進失穩(wěn)過程，另外，塑性應變能可以表示為1個關于折減系數(shù)的函數(shù)。根據突變理論，塑性應變能可視為狀態(tài)變量，用于表征坡體或壩體的發(fā)展狀態(tài)，折減系數(shù)可視為控制變量，用于決定狀態(tài)變量的取值。整體塑性應變能關于折減系數(shù)函數(shù)的泰勒展開式(截取至4次項)可表示如下：

式中：為整體塑性應變能，通過對坡體所有的塑性區(qū)域塑性應變能進行積分得到；為強度折減系數(shù)；0，1，2，3和4為待定系數(shù)。

式中：

對式(7)進行進一步變換，得到尖點突變的標準開折形式：

由此可得到尖點突變模型的判別式，根據判別式的取值情況即可判定坡體的狀態(tài)。因此，根據突變理論確定臨界狀態(tài)的方法簡述如下：首先根據強度折減法得到不同折減系數(shù)對應的坡體整體塑性應變能，通過多項式擬合技術便可得到塑性應變能與折減系數(shù)的函數(shù)關系式；然后，將關于的函數(shù)中的相關系數(shù)及不同的折減系數(shù)代入式(7)~(10)中，求得不同折減系數(shù)對應的和；將和代入判別式，即可得到不同折減系數(shù)下的，據可判定各個折減系數(shù)下坡體處于何種狀態(tài)：＞0，表示在該折減系數(shù)下坡體尚處于穩(wěn)定狀態(tài)；＜0，表示該折減系數(shù)下坡體已發(fā)生滑動失穩(wěn)；=0，表示在該折減系數(shù)下坡體恰好處于臨界狀態(tài)?？梢姶苏蹨p系數(shù)也為坡體的安全 系數(shù)。

3 算例分析

為了說明突變理論在確定坡體臨界狀態(tài)的可行性，下面通過算例闡述如何建立塑性應變能－折減系數(shù)的尖點突變模型，并基于該模型求解坡體的安全系數(shù)；同時，將強度折減法得到的安全系數(shù)與7種極限平衡法得到的安全系數(shù)進行對比研究，探討本文方法計算安全系數(shù)的可靠性。需要說明的是，隨著臺階數(shù)的增加，坡體既可能沿著某一級臺階發(fā)生局部垮塌，也可能發(fā)生整體失穩(wěn)，因此，為了說明本文方法的適用性，采用4種不同臺階數(shù)的邊坡進行穩(wěn)定性分析。另外，為了提高數(shù)值計算的效率和精度，巖土體采用非關聯(lián)流動法則，邊坡模型采用四邊形單元。

3.1 單臺階邊坡算例

為了驗證該方法的可靠性，選取澳大利亞計算機應用協(xié)會(ACADS)的邊坡考題作為研究對象。該考題的邊坡安全系數(shù)已被廣泛認同，可作為驗證其他方法計算邊坡安全系數(shù)的基準。該考題為均質單臺階邊坡，模型尺寸如圖2所示，材料重度為20.0 kN/m3，彈性模量為10 MPa，泊松比為0.25，摩擦角為19.6°，黏結力為3.0 kPa[21]。

尺寸單位：m

通過不斷調整強度折減系數(shù)，可得到坡體整體塑性應變能隨折減系數(shù)的變化曲線，見圖3。由圖3可知塑性應變能的增長趨勢明顯分為2段：折減系數(shù)大約在1.00之前，塑性應變能增長緩慢；在此之后，塑性應變能急劇增大，表明坡體已失穩(wěn)破壞，發(fā)生了塑性流動。為了確定使坡體恰好達到臨界狀態(tài)的折減系數(shù)，基于式(6)擬合得到各級折減系數(shù)下塑性應變能關于折減系數(shù)的函數(shù)關系式，并通過變換得到尖點突變模型的標準開折式，通過式(10)求解標準開折式的控制變量和，進而得到各級折減系數(shù)下的塑性應變能突變的判別值。塑性應變能判別值隨折減系數(shù)的變化曲線見圖4。圖4中曲線與橫軸的交點取值=0.998，此時=0，表明坡體恰好處于臨界狀態(tài)，因此，單臺階坡體計算模型的安全系數(shù)為0.998。由圖4可知：當折減系數(shù)小于等于0.998時，均大于0，表明坡體尚處于穩(wěn)定狀態(tài)；當折減系數(shù)大于等于0.998時，均小于0，表明坡體已處于失穩(wěn)狀態(tài)。采用7種極限平衡法對此單臺階坡體進行穩(wěn)定性分析，各種方法對應的安全系數(shù)見表1。從表1可知：本文所提方法的計算結果與各種極限平衡法的計算結果較接近，其中與滿足嚴格極限平衡條件的修正簡布法計算結果最接近。需要說明的是：本文的算例均采用圓弧滑面進行極限平衡計算。相關研究成果表明[22]，對于均質邊坡而言，邊坡的滑動面近似圓弧，采用圓弧滑動面進行邊坡穩(wěn)定性分析可以得到理想的結果。

圖3 單臺階坡體Ω與F的變化關系

圖4 單臺階坡體D與F的變化關系

表1 單臺階邊坡極限平衡法安全系數(shù)計算結果

3.2 雙臺階邊坡算例

雙臺階邊坡的計算模型如圖5所示。邊坡參數(shù)取值如下：重度為20 kN/m3，體積模量為11.33 MPa，剪切模量為3.78 MPa，黏結力為11 kPa，摩擦角為23°。

尺寸單位：m

通過強度折減法得到塑性應變能隨折減系數(shù)的變化曲線如圖6所示。由圖6可知：塑性應變能隨著折減系數(shù)的增大逐漸增大，在折減系數(shù)小于等于1.175時，增長趨勢不明顯，屬于緩變段；折減系數(shù)在1.175~1.275范圍內時，塑性應變能的增長趨勢比緩變段要明顯，屬于漸變段；當折減系數(shù)大于等于1.300時，塑性應變能增長趨勢較明顯，屬于驟變段。對突變理論對“塑性應變能?折減系數(shù)”曲線進行分析，得到塑性應變能判別值隨折減系數(shù)變化曲線如圖7所示。由圖7可知：當折減系數(shù)小于等于1.275時，均大于0，表明坡體尚處于穩(wěn)定狀態(tài)；當折減系數(shù)大于等于1.30時，均小于0，表明坡體已處于失穩(wěn)狀態(tài)。圖7中曲線與橫軸的交點取值=1.287 5，此時=0，表明坡體恰好處于臨界狀態(tài)，因此，雙臺階坡體計算模型的安全系數(shù)為1.287 5。采用7種極限平衡法對此單臺階坡體進行穩(wěn)定性分析，各種方法對應的安全系數(shù)見表2。由表2可知：本文方法的計算結果與7種極限平衡法的計算結果較接近，其中與修正簡布法所得結果最接近。

圖6 雙臺階坡體Ω與F的變化關系

圖7 雙臺階坡體D與F的變化關系

表2 雙臺階邊坡極限平衡法安全系數(shù)計算結果

3.3 三臺階邊坡算例

三臺階邊坡的計算模型見圖8。坡體參數(shù)取值如下：重度為25 kN/m3，體積模量為10.42 MPa，剪切模量為4.81 MPa，黏結力為16 kPa，摩擦角為22°。采用3.1和3.2節(jié)中的折減方法得到三臺階坡體的塑性應變能隨折減系數(shù)的變化曲線，如圖9所示。由圖9可知：塑性應變能隨著折減系數(shù)的增大逐漸增大，當折減系數(shù)小于等于1.075時，塑性應變能增長較緩慢；當折減系數(shù)大于等于1.1時，塑性應變能增長較明顯。根據突變理論得到的塑性應變能判別值隨折減系數(shù)變化曲線如圖10所示。由圖10可知：當折減系數(shù)小于等于1.125時，均大于0，表明此時坡體尚處于穩(wěn)定狀態(tài)；當折減系數(shù)大于等于1.15時，均小于零，表明此時坡體已處于不穩(wěn)定狀態(tài)。圖10中曲線與橫軸的交點取值=1.138，此時=0，表明坡體恰好處于臨界狀態(tài)，因此，根據突變理論確定的該三臺階坡體的安全系數(shù)為1.138。采用7種極限平衡法對此三臺階坡體進行穩(wěn)定性分析，各種方法對應的安全系數(shù)見表3。由表3可知：本文方法的計算結果與7種極限平衡法的計算結果較接近，其中與修正簡布法的結果最接近。

尺寸單位：m

圖9 三臺階坡體Ω與F的變化關系

圖10 三臺階坡體D與F的變化關系

表3 三臺階邊坡極限平衡法安全系數(shù)計算結果

3.4 四臺階邊坡算例

四臺階邊坡的計算模型見圖11。坡體參數(shù)取值如下：重度為25 kN/m3，體積模量為10.42MPa，剪切模量為4.81MPa，黏結力為56kPa，摩擦角為38°。

尺寸單位：m

采用前面3種臺階類型坡體相同的折減方法得到四臺階坡體的塑性應變能隨折減系數(shù)的變化曲線如圖12所示。由圖12可知：塑性應變能大約在折減系數(shù)1.675附近出現(xiàn)突變，在此之前增長不明顯，在此之后塑性應變能顯著增大。為了具體確定塑性應變能發(fā)生突變的折減系數(shù)取值，下面通過尖點突變理論進行分析，得到四臺階坡體的塑性應變能判別值隨折減系數(shù)變化曲線，見圖13。由圖13可知：當折減系數(shù)小于等于1.650時，均大于0，表明此時坡體尚處于穩(wěn)定狀態(tài)；當折減系數(shù)大于等于1.675時，均小于0，表明此時坡體已處于不穩(wěn)定狀態(tài)。圖13中曲線與橫軸的交點取值為=1.663，此時=0，表明坡體恰好處于臨界狀態(tài)，因此，根據突變理論確定的該四臺階坡體的安全系數(shù)為1.663。采用7種極限平衡法對此三臺階坡體進行穩(wěn)定性分析，各種方法對應的安全系數(shù)見表4。由表4可知：本文方法的計算結果與7種極限平衡法的計算結果較接近，其中與修正簡布法所得結果最接近。

圖12 四臺階坡體Ω與F的變化關系

圖13 四臺階坡體D與F的變化關系

表4 四臺階邊坡極限平衡法安全系數(shù)計算結果

4 結論

1) 塑性應變能可以描述邊坡整體的漸進破壞過程。隨著折減系數(shù)的增大，整體塑性應變能也不斷增大，當整體塑性應變能達到某個閥值(臨界值)時，坡體或壩體發(fā)生滑動，此后，塑性區(qū)面積和塑性應變增大更明顯，因此，整體塑性應變能也顯著增大。

2) 塑性應變能可視為狀態(tài)變量，用于表征坡體或壩體的發(fā)展狀態(tài)，折減系數(shù)可視為控制變量，用于決定狀態(tài)變量的取值。尖點突變理論可以表征塑性應變能的變化過程，并找出坡體發(fā)生突變時對應的折減 系數(shù)。

3) 塑性應變能發(fā)生突變的狀態(tài)即為邊坡失穩(wěn)的臨界狀態(tài)，其發(fā)生突變時對應的折減系數(shù)即為邊坡的最小安全系數(shù)。

4) 本文基于尖點突變理論和塑性應變能理論提出的坡體失穩(wěn)臨界狀態(tài)判斷方法可以很好地找到塑性應變能發(fā)生突變時對應的折減系數(shù)(即邊坡的臨界狀態(tài))，基于該方法得到的安全系數(shù)與極限平衡法得到的安全系數(shù)較接近，尤其與滿足力平衡條件和力矩平衡條件的修正簡布法所得結果最接近。

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An approach for determination of slope failure criterion based on plastic energy and mutation theory

LI Zhiping1, 2, PENG Zhenbin1, HE Zhongming3, TANG jia1

(1. School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China; 2. Changsha Design and Research Institute of Ministry of Chemical Industry, Changsha 410117, China; 3. School of Traffic and Transportation Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China)

Considering that each kinds of failure criterion have their advantages and disadvantages, a new slope failure criterion associated with strength reduction method was proposed based on the plastic strain energy theory and the mutation theory. Plastic energy was regarded as an index to evaluate the whole stability of the slope and cusp catastrophic model was taken as a criterion to judge the stable state of the slope. During the process of the adjustment of reduction coefficient, the plastic strain energy of whole slope model corresponding to each reduction factor was recorded to establish the “plastic strain energy-reduction factor” curve, and then the reduction factor corresponding to the mutation of plastic strain energy was studied using mutation theory; this reduction factor was considered as the safety factor of the slope. At last, the reliability of the proposed method was verified through calculation examples of single step slope and multiple steps slope. The results indicate that the safety factor acquired by the proposed method is very close to the one acquired by the limit equilibrium method, especially close to the factor acquired by the corrected Janbu method.

strength reduction method; slope stability; safety factor; failure criterion; plastic strain energy; mutation theory

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.09.038

TU452

A

1672?7207(2016)09?3193?08

2016?01?20；

2016?03?12

國家自然科學基金資助項目(51508042) (Project(51508042) supported by the National Natural Science Foundation of China)

彭振斌，教授，博士生導師，從事尾礦壩及巖土工程技術研究；E-mail: zbpz9040@sina.com

(編輯 陳燦華)