油藏條件下聚合物溶液老化數(shù)學(xué)模型新探

李俊鍵姜漢橋陸祥安趙玉云常元昊王依誠

1.中國石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；2.南京工業(yè)大學(xué)生物與制藥工程學(xué)院

油藏條件下聚合物溶液老化數(shù)學(xué)模型新探

李俊鍵1姜漢橋1陸祥安2趙玉云1常元昊1王依誠1

1.中國石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；2.南京工業(yè)大學(xué)生物與制藥工程學(xué)院

引用格式：李俊鍵，姜漢橋，陸祥安，趙玉云，常元昊，王依誠.油藏條件下聚合物溶液老化數(shù)學(xué)模型新探［J］.石油鉆采工藝，2016，38（4）：499-503，544.

聚合物老化降解是影響高溫油藏中聚合物驅(qū)效果的重要因素。利用油藏?cái)?shù)值模擬技術(shù)評(píng)估聚合物老化降解對(duì)驅(qū)替效果影響的技術(shù)關(guān)鍵在于聚合物老化降解數(shù)學(xué)模型的建立?；诰酆衔锢匣到獾酿ざ纫浑A常微分方程建立了油藏條件下的黏度修正模型，給出了油藏條件下聚合物黏度變化的偏微分方程描述形式。結(jié)合聚合物質(zhì)量守恒方程，證明了在黏濃關(guān)系是多項(xiàng)式關(guān)系的條件下，黏度修正模型是成立的。黏度修正模型揭示了油藏中任意一點(diǎn)聚合物黏度受到聚合物自身降解和流動(dòng)兩方面影響的過程，描述了聚合物老化降解過程中質(zhì)量濃度不變，黏度降低的物理現(xiàn)象，比目前商業(yè)數(shù)值模擬器中的黏度模型更加貼近聚合物在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的物理實(shí)際。修正黏度模型的推導(dǎo)與論證為聚合物老化降解的數(shù)值模擬研究提供了理論支持。

聚合物驅(qū)；聚合物老化；黏度修正模型；油藏?cái)?shù)值模擬

聚合物驅(qū)油技術(shù)是化學(xué)驅(qū)提高采收率的主要方法之一，已經(jīng)在許多油田得到了廣泛的應(yīng)用［1-4］。聚合物在多孔介質(zhì)中的滲流規(guī)律及性質(zhì)變化的研究是聚合物驅(qū)技術(shù)的關(guān)鍵。研究表明［5-9］，聚合物驅(qū)需要考慮聚合物的黏彈性、剪切穩(wěn)定性、耐鹽性和熱穩(wěn)定性（老化）等因素對(duì)其驅(qū)替效果的影響。針對(duì)聚合物性質(zhì)的研究，眾多學(xué)者提出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型［10-11］，并在數(shù)值模擬技術(shù)中實(shí)現(xiàn)，為在礦場(chǎng)范圍評(píng)估聚合物的驅(qū)替效果提供了強(qiáng)有力的技術(shù)保證。

然而，對(duì)于聚合物的老化過程研究還只是處于聚合物的性能評(píng)價(jià)范疇，在與油藏?cái)?shù)值模擬技術(shù)結(jié)合方面還存在一些問題，主要是因?yàn)榫酆衔镌诘貙又惺橇鲃?dòng)的，對(duì)某一特定網(wǎng)格，驅(qū)替過程是聚合物溶液不斷進(jìn)行新老交替且互相混合的過程。因此，常規(guī)聚合物老化作用測(cè)試結(jié)果無法應(yīng)用于油藏?cái)?shù)值模擬，主要困難在于無法有效表征聚合物邊流動(dòng)邊老化的過程。目前，對(duì)這一問題的解決方案主要有3種。一是王敬等［12］提出的聚合物零剪切速率黏度隨時(shí)間呈指數(shù)降低的規(guī)律，然而其提出的公式與實(shí)際情況不吻合，因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，聚合物濃度應(yīng)該趨近于水的濃度，而不是0。二是林春陽等學(xué)者提出的等效老化時(shí)間模型［13-14］，該模型對(duì)解決流動(dòng)過程中聚合物老化問題提出了新思路，即計(jì)算聚合物在流動(dòng)過程中的等效老化時(shí)間，然而這一模型的出發(fā)點(diǎn)——老化時(shí)間總量守恒很難得到實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。三是Clifford和Sorbie提出的聚合物濃度一階老化模型，ByungIn Choi 基于濃度的一階老化模型進(jìn)行了黏濃關(guān)系模型的改進(jìn)［15］。該模型表征了聚合物老化過程中質(zhì)量濃度的降低，模型可以很好地嵌入聚合物質(zhì)量守恒方程中不影響計(jì)算，但不能表征聚合物老化過程中質(zhì)量濃度保持不變、黏度降低的過程。針對(duì)以上3種方案存在的問題，筆者提出了聚合物黏度修正模型，用以描述聚合物在油藏條件下的老化過程。在對(duì)該模型進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用于數(shù)值模擬中，通過與Eclipse結(jié)果的對(duì)比，表明黏度修正模型可以有效模擬計(jì)算聚合物在油藏中流動(dòng)過程中的老化。

1　數(shù)學(xué)模型Mathematical model

1.1聚合物黏度一階老化模型

First-order aging model of polymer viscosity

在Clifford和Sorbie提出的聚合物濃度一階老化模型中，聚合物質(zhì)量濃度Cp滿足如下一階微分方程［16］

式中，t為聚合物熱降解時(shí)間，d；kdeg為濃度一階老化速率常數(shù)，d-1；Cp為聚合物質(zhì)量濃度，mg/g。

基于這一模型得到了一些好的結(jié)果，然而考慮到實(shí)際的物理意義，聚合物濃度并沒有因?yàn)槔匣l(fā)生變化，聚合物黏度才是真正發(fā)生變化的物理量，為此，引入聚合物黏度一階老化公式［16］，即

其中

式中，μ為聚合物溶液的無因次黏度；μp為聚合物溶液黏度，mPa·s；μw為純水的黏度，mPa·s；λ為熱降解系數(shù)（老化系數(shù)），d-1。

式（2）表明聚合物無因次黏度隨著時(shí)間的變化速率與聚合物的無因次黏度成正比，其解為

或

其中，μp0=μp（t0）為聚合物溶液在初始時(shí)刻的黏度，對(duì)應(yīng)的μ0為聚合物溶液在初始時(shí)刻的無因次黏度。式（5）或式（2）反映的是聚合物溶液本身固有的老化規(guī)律，即聚合物溶液在靜止?fàn)顟B(tài)下的老化規(guī)律。

1.2流動(dòng)條件下的修正模型

Correction model at flowing conditions

聚合物驅(qū)過程中，對(duì)于油藏中任一點(diǎn)而言，周邊注入井的注聚時(shí)機(jī)及相對(duì)位置的不同會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)格中的聚合物由多種不同老化時(shí)間的聚合物組成。然而，就這一固定點(diǎn)而言，其聚合物黏度的變化主要受2方面因素影響，一是聚合物本身隨著時(shí)間固有的老化，二是由于聚合物溶液流動(dòng)引起的。流動(dòng)對(duì)黏度的影響又包含2項(xiàng)，一是對(duì)流作用，二是擴(kuò)散作用，因此式（2）可以修正為

式中，φ為巖石的有效孔隙度，小數(shù)；v為聚合物溶液的流動(dòng)速度，m/s；Dk為擴(kuò)散系數(shù)，m2/s。

1.3證明與推導(dǎo)

Demonstration and derivation

為了證明其正確性，本文將從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)公式（6）。對(duì)于流動(dòng)的聚合物溶液滿足質(zhì)量守恒，即聚合物濃度滿足下式

將式（3）和式（7）代入式 （6）得

考慮到擴(kuò)散過程的影響可以忽略，即

并令

因?yàn)锳是與g和Cp無關(guān)的量，最終得到如下常微分方程

易知（11）的解為

換言之，當(dāng)g（Cp）滿足（12）式時(shí)，

而g（Cp）可以表示為Cp的多項(xiàng)式，當(dāng)Cp與Cp0足夠接近時(shí)，即當(dāng)聚合物溶液濃度變化不大時(shí)（|Cp-Cp0|＜ε，ε為足夠小的常數(shù)），式（13）成立。

1.4特殊情形的處理

Treatment of special situations

（1）對(duì)于穩(wěn)態(tài)流，有

忽略擴(kuò)散作用的影響，可以得到

在一維情形里，式（15）退化為

即

對(duì)于一維微可壓縮流體vx是一個(gè)常數(shù)值，則有

其解為

一般取x0=0，即

該方程描述了考慮聚合物老化作用時(shí)，黏度隨著空間的分布規(guī)律。

（2）對(duì)于部分老化降解聚合物，即聚合物黏度不會(huì)因老化而完全消失情況，聚合物黏度一階老化公式變?yōu)?/p>

其解為

式中，μ∞為聚合物的極限無因次黏度。

如圖1所示，擬合4種聚合物在不同條件下的老化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［17-18］發(fā)現(xiàn)，聚合物黏度模型可以很好地描述聚合物的老化過程。結(jié)合表1，發(fā)現(xiàn)4種聚合物老化系數(shù)數(shù)量級(jí)在10-2～10-3范圍內(nèi)。

表1　不同聚合物老化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合參數(shù)Table 1 Fitting parameters of polymer aging experiment data

2　數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果Calculation results of numerical simulation

2.1商業(yè)軟件計(jì)算結(jié)果對(duì)比

Comparison on the calculation results of commercial software

建立1注4采的五點(diǎn)井網(wǎng)的典型模型，對(duì)比商業(yè)軟件Eclipse和本文模型計(jì)算的聚合物老化結(jié)果。圖2（a）、（b）、（c）分別為聚驅(qū)同一時(shí)刻的聚合物質(zhì)量濃度場(chǎng)、聚合物黏度場(chǎng)、含油飽和度場(chǎng)對(duì)比。

圖1　不同聚合物老化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合Fig.1 Fitting of polymer aging experiment data

Eclipse油藏?cái)?shù)值模擬器中聚合物老化降解體現(xiàn)為聚合物質(zhì)量濃度的損失，其質(zhì)量濃度損失的數(shù)學(xué)模型由式（1）所示。將式（1）中的R嵌入聚合物質(zhì)量守恒方程的時(shí)間項(xiàng)，參與質(zhì)量濃度方程的計(jì)算［15］。由于式（1）是描述聚合物質(zhì)量濃度隨時(shí)間降低的過程，所以在模擬計(jì)算結(jié)果中，聚合物的老化降解會(huì)使得質(zhì)量濃度將隨時(shí)間而降低，進(jìn)而導(dǎo)致聚合物黏度降低。

對(duì)于新建立的聚合物老化降解的黏度模型，描述聚合物老化降解導(dǎo)致的聚合物分子量降低而引起的聚合物黏度損失的過程，在此過程中聚合物的質(zhì)量濃度并沒有因?yàn)榫酆衔锏慕到舛档?。黏度降低模型如式?）所示，體現(xiàn)在數(shù)值模擬中如式（6）所示。

圖2（a）顯示Eclipse油藏?cái)?shù)值模擬器計(jì)算的聚合物質(zhì)量濃度明顯要小于黏度模型計(jì)算結(jié)果。圖2 （b）顯示了聚合物黏度場(chǎng)計(jì)算結(jié)果，聚合物質(zhì)量濃度場(chǎng)的區(qū)別引起聚合物黏度場(chǎng)的不同。進(jìn)而影響到聚合物驅(qū)的模擬結(jié)果，如圖2（c）所示的含油飽和度計(jì)算結(jié)果。

圖2　Eclipse與黏度修正模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of calculation results between ECLIPSE and viscosity correction model

2.2老化系數(shù)敏感性

Sensitivity of aging coefficient

考慮不同老化系數(shù)對(duì)采出程度的影響。設(shè)置老化系數(shù)分別為0 d-1、0.005 d-1、0.01 d-1、0.02 d-1。比較驅(qū)替到含水98%時(shí)的采出程度，分別為56.3%，54.7%，54.3%，53.7%，53%。如圖3所示，老化系數(shù)越大，聚合物黏度降低越快，其驅(qū)替增油效果越差。

3　結(jié)論Conclusions

（1）聚合物老化過程中質(zhì)量濃度保持不變，但其黏度降低。聚合物黏度一階老化模型可以用來描述黏度變化過程。

圖3　不同聚合物老化系數(shù)對(duì)采出程度的影響Fig.3 Effect of aging coefficient on degree of reserve recovery

（2）流動(dòng)條件下的黏度修正公式描述了油藏中任一點(diǎn)聚合物黏度受到2方面的影響，一是聚合物自身的老化，二是聚合物的流動(dòng)。通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，論證了黏度修正模型的正確性。

（3）黏度修正公式為聚合物老化的數(shù)值模擬提供了理論依據(jù)。

致謝：特別感謝挪威石油公司，Eivind Sm?rgrav 和Chen Li對(duì)本該課題研究的支持與幫助。

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（修改稿收到日期 2016-06-15）

〔編輯 朱 偉〕

A new mathematical model for polymer solution aging at reservoir conditions

LI Junjian1， JIANG Hanqiao1， LU Xiang’an2， ZHAO Yuyun1， CHANG Yuanhao1， WANG Yicheng1
1. Key Laboratory of Petroleum Engineering Education Ministry， China University of Petroleum （Beijing）， Beijing 102249， China；2. College of biotechnology and Pharmaceutical Engineering， Nanjing Tech University， Nanjing， Jiangsu 211816， China

Polymer aging and degradation is an important factor influencing the effect of polymer flooding in high-temperature oil reservoirs. When the effect of polymer aging and degradation on flooding effect is evaluated by means of reservoir numerical simulation，it is critical to establish the mathematical model for polymer aging and degradation. The viscosity correction model at reservoir conditions was built by using the first-order ordinary differential equation of polymer aging and degradation. Then， the partial differential equation for describing the variation of polymer viscosity at reservoir conditions was presented. Combined with the mass conservation equation of polymer， it is proved that the viscosity correction model is feasible if the viscosity-concentration relation is polynomial. The viscosity correction model reveals the influential process of degradation and flowing of polymer on its viscosity at any point of oil reservoir， and describes the physical phenomenon of viscosity reduction with constant mass concentration in the process of polymer aging and degradation. Compared with the viscosity models used in current commercial numerical simulators， this model can present the physical flowing of polymer in porous media more actually. The derivation and demonstration of viscosity correction model provides the theoretical support for the numerical simulation study of polymer aging and degradation.

polymer flooding； polymer aging； viscosity correction model； reservoir numerical simulation

TE357.46

A

1000 - 7393（ 2016 ） 04- 0499- 05

10.13639/j.odpt.2016.04.018

LI Junjian， JIANG Hanqiao， LU Xiang’an， ZHAO Yuyun， CHANG Yuanhao， WANG Yicheng. A new mathematical model for polymer solution aging at reservoir conditions［J］. Oil Drilling & Production Technology， 2016， 38（4）: 499-503， 544.

國家科技重大專項(xiàng)“海上油田聚合物驅(qū)油藏動(dòng)態(tài)監(jiān)控與評(píng)價(jià)技術(shù)研究”（編號(hào)：2011ZX05024-004-07）；國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（“973”計(jì)劃）“致密油高效開發(fā)油藏工程理論與方法研究”（編號(hào)：2015CB250900）。

李俊鍵（1983-），講師，主要從事油氣藏開發(fā)方面的研究。通訊地址：（102249）北京市昌平區(qū)府學(xué)路18號(hào)。電話：010-89732163。E-mail：junjian@petrochina.com.cn