特征值全為實(shí)數(shù)的實(shí)矩陣判定

何汶翰，張海燕

(長春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 吉林 長春　130012)

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特征值全為實(shí)數(shù)的實(shí)矩陣判定

何汶翰，張海燕*

(長春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 吉林 長春130012)

對(duì)實(shí)矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)的條件進(jìn)行了研究，得到了實(shí)矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)的判定方法。通過實(shí)例說明判別方法簡(jiǎn)單、可行。

正定矩陣; 廣義對(duì)稱矩陣; 特征值

對(duì)于矩陣特征值的探討，無論是在數(shù)學(xué)理論還是在工程技術(shù)上都有廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]研究了實(shí)矩陣存在實(shí)特征值的條件，證明了任意非對(duì)角元符號(hào)全相同的實(shí)矩陣均有一個(gè)實(shí)特征值存在。文中利用廣義對(duì)稱陣的概念及性質(zhì)給出了一些實(shí)矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)的判定方法。

定義1[2-3]設(shè)A∈Rn×n，若存在n階實(shí)對(duì)稱正定陣S，使得(SA)T=SA，則稱A為由S確定的廣義對(duì)稱陣。

當(dāng)S=E單位陣時(shí)，由S確定的廣義對(duì)稱陣即為實(shí)對(duì)稱陣[4-5]。

引理1[2-3]設(shè)A為由實(shí)對(duì)稱陣正定陣S確定的廣義對(duì)稱陣，則A的特征值為實(shí)數(shù)。

定理1設(shè)A=(aij)∈R4×4滿足條件：

1)存在i1,i2:1≤i1

2)a32a21a13=a31a12a23。

則A為廣義對(duì)稱陣，且A的特征值為實(shí)數(shù)。

證明:1)當(dāng)i1=1,i2=2,j=3時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

2)當(dāng)i1=1,i2=3,j=2時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

3)當(dāng)i1=2,i2=3,j=1時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

定理2設(shè)A=(aij)∈R5×5滿足條件：

1)存在i1,i2:1≤i1≤i2≤4，存在j∈{1,2,3,4}-{i1,i2}，使

2)ak5a5k>0,k≠i1,i2;k=1,2,3,4。

則A為廣義對(duì)稱陣,且A的特征值為實(shí)數(shù)。

證明:1)當(dāng)i1=1,i2=2,j=3,4時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

2)當(dāng)i1=1,i2=3,j=2,4時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

3)當(dāng)i1=1,i2=4,j=2,3時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

4)當(dāng)i1=2,i2=3,j=1,4時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

5)當(dāng)i1=2,i2=4,j=1,3時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

6)當(dāng)i1=3,i2=4,j=1,2時(shí)，取正對(duì)角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

定理3設(shè)A=(aij)∈Rn×n(n≥4)滿足條件：

1)存在i1,i2:1

且

2)存在j1,j2:j1≠i1，j2≠i1,i2，j1>i1，j2>i2，j2>j1，使得

且

以及

3)aniaijajn=anjajiain，i≠i1,i2，j≠i1,i2；i≠j，i,j=1,2,…，n-1。則A為廣義對(duì)稱陣，且A的特征值為實(shí)數(shù)。

證明:設(shè)對(duì)角陣

X=diag(x1,x2,…,xn)

矩陣方程

(XA)T=XA

改寫成齊次線性方程組

其中

作行的初等變換

其中

由已知條件，(*)的系數(shù)陣的秩為(n-1)，故(n-1)有非零解。

取xn=1，解得

于是存在正對(duì)角陣

使得(XA)T=XA,故A為廣義對(duì)稱陣，由引理知A的特征值為實(shí)數(shù)。

例1:

取

由定理1知A為廣義對(duì)稱陣，且A的特征根為實(shí)數(shù)。

例2:

取i1=1，i2=3，j=4，則

由定理2知A為廣義對(duì)稱陣，且A的特征根為實(shí)數(shù)。

[1]永學(xué)榮.實(shí)矩陣不存在實(shí)特征值的一個(gè)必要條件[J].新疆大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1989,6(4):107-108.

[2]紀(jì)云龍,賈岸平.廣義對(duì)稱矩陣的判定(I)[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,25(4):67-69.

[3]紀(jì)云龍,賈岸平.廣義對(duì)稱矩陣的判定(II)[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,26(1):77-80.

[4]程云鵬.矩陣論[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,1989.

[5]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1997.

Criteria for real matrices with only real eigenvalues

HE Wenhan,ZHANG Haiyan*

(School of Basic Sciences, Changchun University of Technology, Changchun 130012， China)

Conditionsthattheeigenvaluesofarealmatrixmustbearerealarestudied,andthecriterionmethodsarediscussed.Weuseexamplestoillustratecriterion.

positivedefinitematrix;generalizedsymmetricmatrix;eigenvalue.

2016-01-19

吉林省教育廳基金資助項(xiàng)目(吉教科文合字[2014]第57號(hào))

何汶翰(1992-)，男，漢族，吉林吉林人，長春工業(yè)大學(xué)碩士研究生，主要從事經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)方向研究,E-mail:hewenhan319@163.com. *通訊作者：張海燕(1970-)，女，漢族，吉林長春人，長春工業(yè)大學(xué)教授，博士，主要從事經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)方向研究,E-mail:zhanghaiyan@ccut.edu.cn.

10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.4.07

O151.2

A

1674-1374(2016)04-0340-08