深水浮式平臺垂蕩運動與水下柔性立管渦激振動的動力耦合

陳偉民，李依倫，姜春暉，郭雙喜

(1.中國科學院力學研究所 流固耦合力學重點實驗室，北京 100190; 2.北京航空航天大學 中法工程師學院，北京 100191)

深水浮式平臺垂蕩運動與水下柔性立管渦激振動的動力耦合

陳偉民1，李依倫2，姜春暉1，郭雙喜1

(1.中國科學院力學研究所 流固耦合力學重點實驗室，北京 100190; 2.北京航空航天大學 中法工程師學院，北京 100191)

基于有限元數值模擬，進行了“平臺垂蕩-頂張力立管渦激振動”整體系統(tǒng)的動響應數值模擬。動響應模型考慮了立管尾跡流場的水動力與結構動力的耦合和垂蕩引起的立管結構剛度的時變特性；分析了平臺垂蕩運動的頻率、模態(tài)階數等因素對水下頂張力立管渦激振動的影響。數值結果表明：與不考慮平臺運動相比，立管的動響應位移會增大；立管響應幅值隨著模態(tài)階數的降低而增大；在響應過程中,尤其對于低階模態(tài)，會出現響應的模態(tài)轉換現象。鑒于在平臺垂蕩和渦激振動的共同作用下，立管的動響應會大于渦激振動、參數激勵分別單獨作用的響應，建議在立管實際工程設計中應該考慮平臺運動和渦激振動耦合激勵作用下的結構動響應。

參數激勵；垂蕩；渦激振動；立管；海洋平臺；動響應

Abstract:The dynamic coupling between top-end motion (heave) and top-tensioned riser’s vortex-induced vibration (VIV) is explored by our finite element simulations.First,a coupled hydrodynamic force approach,concerning vortex-induced lift force along with fluid drag force,is developed,which regards the interaction between instantaneous riser motion and fluid dynamics.The structural stiffness is changing during dynamic response.Then the dynamic responses of the integrated system involving both floating top-end and a top-tensioned riser undergoing VIV are presented to examine impacts of platform heave,in terms of heave frequencies and mode order number,on riser’s VIV.Our numerical results show that the dynamic response displacement of riser becomes several times larger than the displacement for the case without top-end motion.The impact of top heave on riser’s VIV gets larger as modal order number drops.Moreover,an interesting phenomenon,called the mode transition,is observed particularly at lower vibration frequencies due to the natural dynamic characteristics of the slender riser.Based on our results,it is suggested that,in practices of riser design,a combined excitation needs to be considered for accurate dynamic analysis of slender marine structures subjected to both top-end motion and VIV.

Keywords:parameter excitation; heave; vortex-induced vibration; riser; offshore platform; dynamic response

隨著油氣開采向深海發(fā)展，越來越多的深水平臺系統(tǒng)，例如半潛式、SPAR、TLP平臺等，被在工程中采用。水下立管在浮式平臺系統(tǒng)中，用于傳輸從海底到上部平臺的油氣或者光電等通訊信息。水深的增加使得立管長度增加，由于結構的長徑比大且柔度高，深水柔性立管的模態(tài)多為低頻密集模態(tài)；而且，海流、波浪等環(huán)境流場的速度沿結構展長非均勻分布，導致立管的渦激振動呈現多模態(tài)參與、行波效應以及寬帶隨機振動等復雜現象[1-3]。

另外，與以往淺海的固定式平臺不同，深水平臺多為浮式的，因此上部平臺的運動幅度增大，使平臺與水下立管之間的動力耦合作用加強，并引發(fā)一些新現象，比如新鎖頻區(qū)域、參數激勵、非線性響應放大等[4-7]。研究表明，由于平臺垂蕩運動造成的立管動張力、立管渦激振動與不計垂蕩時相比，出現了更高階模態(tài)振動，位移幅值增高約10%，而剪力增幅達到20%～100%[5]。

關于平臺和立管的耦合問題多見于對上部浮體平臺的動響應研究中。通常有兩種方法：準靜態(tài)法[8-11]和耦合法[12-16]。準靜態(tài)法把立管簡化為集中質量的彈簧，主要考慮下部立管對平臺的靜恢復力，Spanos等[10]將平臺質量集中在重心處，用水平彈簧模擬立管和平臺主體的相互作用，通過簡化模型研究了立管剛度對SPAR平臺總體運動響應的影響。Heurtier[8]、Chen[9]和Wichers[11]等研究了多種深海平臺浮體與立管(或系泊系統(tǒng))的相互作用，比較了時域耦合和準靜態(tài)兩種方法，結果表明準靜態(tài)法會低估系泊系統(tǒng)抵御環(huán)境載荷的能力。而耦合方法多對水下立管及其水動力進行了簡化[14-16]，例如采用Morison公式簡化水動力。Lee等[15]采用線性張力弦模擬張力腿，分析了平臺縱蕩下的張力腿動力響應，結果表明張力腿的振動模式與平臺的運動模式類似，但是振幅會隨著入射波周期的改變而變化。Tahar[16]采用Bosman[12]提出的計算楊氏模量的經驗公式，計算了SPAR平臺垂蕩時系泊系統(tǒng)的響應，并將結果與線彈性系泊模型進行了對比，發(fā)現兩種情況下的響應會差別很大。

需要指出的是，不同的平臺運動形式與下部立管的動力耦合機理是不同的。例如，立管的水平運動即橫蕩和縱蕩會沿著立管展向往底部傳播，并直接與立管渦激振動的橫向運動相互耦合；且平臺運動邊界還會造成新的非線性耦合現象。平臺的垂蕩運動主要造成立管的動張力，使得立管的結構參數發(fā)生周期性的變化，導致參數激勵問題[17-21]，這里只考慮平臺垂蕩與立管渦激振動的動力耦合。目前已有的關于參數激勵的研究，多關注的是立管結構穩(wěn)定性問題，即對如何確定穩(wěn)定區(qū)域的邊界進行理論求解，并對不同的穩(wěn)定性進行理論分析[18-21]。Chandrasekaran等[19]對TLP平臺的張力腿的張力變化引起的Mathieu不穩(wěn)定性進行了分析；Yang等[20]對在渦激和多頻參數激勵共同作用的多種組合條件下，TTR立管的不穩(wěn)定性進行了詳細討論，比較了參數激勵和渦脫落激勵在不同海況下的作用，指出在極端海況下會出現立管的高頻-多模態(tài)參與的振動；肖飛等[21]對深海鋼懸鏈立管Hill不穩(wěn)定性進行了預測。還有一些研究針對簡化模型，如理想簡支梁或簡化水動力模型(Morrison公式或者定常渦激升力系數模型)，給出了響應的數值解[4,17,22-25]。徐萬海等[4]基于Euler梁和定常升力系數模型，研究了參數激勵下的立管穩(wěn)定性區(qū)域以及響應；Wu等[25]考慮了梁結構的截面旋轉和剪切變形，基于實驗結果對定常渦激升力模型進行了修正，研究了參數激擾的不同環(huán)境荷載作用對立管響應的影響。Wang等[26]進行了大尺度模型的水池實驗，進一步分析了平臺強迫運動條件下的水下結構的渦激振動引起的鋼懸鏈線立管的疲勞破壞，給出了平臺運動頻率和幅度對錨鏈的關鍵位置例如觸地點和上頂部的疲勞破壞的影響規(guī)律；唐友剛等[17]利用定常升力系數模型研究了深海頂張力立管在參數激勵和渦激振動耦合作用下的動響應，結果表明，立管的橫向振動響應頻率存在0.5倍參激亞諧成分，參數激勵對于立管橫向振動具有重要影響。

本文主要關注參數激勵、渦激振動共同發(fā)生時，頂張力立管的動響應規(guī)律。首先，建立了考慮立管垂蕩引起的具有時變結構剛度特性的有限元結構模型，以及與結構運動相耦合的立管尾跡流場的非定常渦激升力系數模型，利用有限元數值模擬分析了“平臺運動-立管渦激振動”整體系統(tǒng)的動響應，研究平臺運動與立管渦激振動的動力耦合規(guī)律及響應過程中的新現象，考察垂蕩頻率等參數對水下立管模態(tài)位移、振動波傳播和演化的影響。

1 平臺垂蕩-立管渦激振動耦合系統(tǒng)

1.1平臺垂蕩導致的立管參數激勵

平臺垂蕩運動造成水下立管的張力會隨時間變化，從而使得立管結構的剛度不再是一個常數而是時變的，引發(fā)參數激勵問題。這里以簡支Euler梁為例，考察動張力立管的動力特性。 受軸向張力的無阻尼梁橫向自由振動的動力方程為

其中，x(z,t)為梁的橫向位移，z和t分別為縱向坐標和時間，EI和T0分別為彎曲剛度和常數預張力，T、ω0為動張力的幅值和頻率，ms為單位長度的結構質量。設方程(1)的解形式為x(z,t)=qj(t)sin(jπz/l)，j=1,2,3,...，可得Mathieu方程：

將式(4)代入方程(3)，可得

合并兩方程得到：

對于工程實際中的復雜結構，而且需要考慮流體的渦激升力與結構運動的動力耦合作用，參數激勵下的結構動響應用單純的理論求解方法很難得到。這里將基于有限元數值模擬，對平臺垂蕩和立管渦激振動耦合系統(tǒng)的動響應及其耦合新現象進行分析。

1.2平臺垂蕩-立管渦激振動耦合系統(tǒng)的動響應模型

1.2.1 有限元模型

基于梁自由振動方程(方程(1))，有限元離散化后的多自由度系統(tǒng)的動力平衡方程可以寫為：

式中：M、C、K分別為結構質量、阻尼和剛度矩陣，X為節(jié)點位移列陣。對于小結構阻尼，Rayleigh阻尼矩陣可用質量和剛度矩陣的線性組合表達，即C=aM+bK，系數a和b的值可以由結構的前兩階自然頻率確定，即

阻尼比通常取ζ1=ζ2=0.03。 需要注意的是，對于常規(guī)的在外激勵力作用下的動響應問題，結構的剛度矩陣為常數或者與時間無關，而對于變張力的參數激勵問題，結構的剛度矩陣包括兩部分：常規(guī)的與結構變形幾何相關的彈性剛度Ke和與軸向力T′=T0+Tcosω0t相關的時變剛度Kt，即

因此在動響應計算的每一個時間步中，需要更新計算結構的剛度矩陣。

另外，為了消除大質量平臺對整體系統(tǒng)穩(wěn)定性的干擾，限制了平臺繞x，y，z軸方向的轉動；由于平臺與立管的單元類型不一樣，在立管與平臺的連接點處采用了多點約束(MPC)設置，它允許在模型的不同自由度之間施加約束。立管兩端的邊界條件為：

圖1 平臺-立管系統(tǒng)示意Fig.1 The platform-riser system sketch

考慮到本文的結構剛度的時變特性以及將要用到的水動力載荷的非線性，在施加立管動張力以及非線性水動力到結構激振區(qū)域節(jié)點上并進一步求解動響應時，采用遞推演算效率較高的Newmark-Beta直接數值積分法求解動力平衡方程(7)；求出每一個時間步的結構位移和相應的速度響應，然后得到新的升力系數，再代回方程，進行下一個時間步的求解，直至動響應過程收斂到穩(wěn)態(tài)階段。

1.2.2 水動力模型

作用于立管上的水動力可以分為渦激升力FL與流體阻力FD兩部分，其中FD可以用Morison公式表示：

其中，ρf為流體密度，D為立管外徑，Ca、CD分別為附加質量和拖曳力系數，對于細長柔性立管，通常取Ca=1.0、CD=1.1。

水動力中的渦激升力FL的描述則較為復雜，因為渦激振動本質上是一個流固耦合問題，在鎖頻共振發(fā)生時，一方面結構尾跡中的渦脫落產生的周期升力通過復雜的耦合效應，對結構產生激勵；而另一方面，被激勵起來的結構周期振蕩又會反過來影響尾跡渦脫落和相應的渦激升力。對于結構動力和水動力的耦合作用形式和表達，多年來一直存在很多爭議[1-2]。而且，鎖頻階段呈現的一些特有現象，例如自激勵、自限制、展向相關以及多模態(tài)參與、寬帶隨機振動等，其機理至今仍不是非常清楚。實際工程中，通常采用唯象的(例如尾流振子模型)或者半經驗模型，如假設升力為：

其中，升力系數CL為一個常數。

近年來，隨著對渦激振動研究的深入，以及基于PIV的先進流場觀測手段和基于CFD的數值計算的發(fā)展，人們對渦激振動這種自激勵同時又自限制的非線性現象，以及在結構運動過程中尾跡流場的水動力和結構動力的耦合機理認識有了很大提高。研究表明[2,3,27]，如果在升力模型中考慮結構動力與尾跡水動力的耦合作用，可以給出更準確的升力模型。Sarpkaya[1]將渦激升力分解為拖曳力項(正比于結構運動速度的二次方)和慣性項(正比于結構加速度)兩部分，測量了升力系數在用幾個振動周期內的傅里葉平均值，指出在工程實際的雷諾數范圍內，與用結構運動的線性函數來表達的升力模型相比，結構運動速度的非線性函數(二次函數)更能表征流體的主要作用；Govardhan[27]進行了大量的VIV實驗研究，測量了渦激升力，觀察了升力隨結構運動速度的變化規(guī)律；Vandiver[2]則建議根據不同的結構振幅范圍，用分段雙曲函數來表達升力曲線。上述研究成果表明，鎖頻階段的渦激升力系數應該與結構運動相關，而不僅僅只是一個常系數。

因此，這里采用如下的結構振動速度的多項式來模擬渦激升力FL，即：

2 平臺垂蕩對立管動響應的影響

對于無阻尼系統(tǒng)，當平臺垂蕩頻率與立管固有頻率滿足一定關系時，立管會發(fā)生振幅無限增大的振動，而實際工程中由于結構和水動力阻尼的作用，雖然參數共振的振幅會增大，但是幅值是有限的。下面將基于本文計算模型，具體分析平臺垂蕩-立管VIV整體系統(tǒng)的動響應。

2.1不同模態(tài)的立管動響應

計算了不同平臺垂蕩頻率下立管的動力響應，垂蕩頻率與立管的固有頻率一致，變化范圍從1階頻率上升到24階頻率。

圖2為部分模態(tài)的RMS位移曲線，從圖中可以看出1階模態(tài)的響應幅值最大，并且隨著模態(tài)階數的增高，立管響應幅值不斷減小。如果觀察各階模態(tài)的位移波形，可見低階模態(tài)(1階、2階、4階)的波形主要是駐波，而隨著模態(tài)階數的升高，立管振動波形逐漸由駐波向行波轉換。這一方面是由于高階模態(tài)的衰減越來越快，振動波在沿結構展向往立管底部傳播的過程中較快地衰減掉了，從而難以形成駐波；另一方面由于隨著模態(tài)階數的提高，結構變形的曲率明顯增大，也就是說結構彎曲剛度的作用相對于拉伸剛度的作用更明顯，即張力的影響越來越小。

圖3給出了平臺垂蕩運動與平臺不運動兩種情況時，各階模態(tài)響應的最大振幅的對比。從圖中可以看出與不考慮平臺運動的情況相比，平臺垂蕩引起立管位移響應明顯增大，其中最大為1階模態(tài)，比平臺不運動(只有渦激升力單獨作用)時的位移大3倍左右；而且平臺垂蕩對立管位移的放大效應隨模態(tài)升高會逐漸減小。

圖2 上部平臺垂蕩和立管渦激振動共同作用下的立管RMS位移Fig.2 Dynamic responses of RMS displacements of the riser suffering top-end heave and VIV simultaneously

圖3 立管在上部平臺垂蕩、不運動兩種情況下的位移響應對比Fig.3 Maximum displacements of risers for cases with and without heave

值得注意的是，觀察圖2(a)和2(b)的位移幅值可以看到，在平臺垂蕩和渦激升力兩種激勵共同作用下，立管位移會比單獨渦激振動的位移(通常單獨立管渦激振動的位移幅值為1.5～2.0)、或者垂蕩單獨作用的位移都要大。這種響應增大的現象可能是由于平臺垂蕩引起的立管縱向運動和渦激振動引起的立管橫向振動兩種運動的非線性耦合引起的，這種細長立管垂直和水平雙向運動造成的耦合放大在文獻[4,7,28]中也有過報道。

2.2不同垂蕩頻率比的立管動響應

圖4 1階模態(tài)在不同垂蕩頻率下的響應位移Fig.4 Dynamic response of mode 1

圖5 3階模態(tài)在不同垂蕩頻率下的響應位移Fig.5 Dynamic response of mode 3

2.3立管動響應過程中的模態(tài)轉換

在某些特殊頻率下，發(fā)現立管的動響應會出現“模態(tài)轉換”現象。Silveira[6]和Park[7]等曾經在立管的參數激勵響應中觀察到了響應模式的跳躍(分別被稱為mode jump,alternation of response pattern)，盡管當時沒有給出其發(fā)生的原因。我們認為，引起這種模態(tài)轉換現象的一個主要原因是立管的固有頻率存在倍頻特征。由簡支梁固有頻率表達式可以看出對于低階模態(tài)，由于拉伸剛度的影響大于抗彎剛度，立管前幾階模態(tài)的頻率會出現倍頻的關系(如表1)，從表中可以看出，ω2≈2ω1，ω4≈2ω2。因此，我們計算了垂蕩頻率分別為ω0=2ω1、ω0=ω2以及ω0=ω4的情況，并且給出了位移響應均方根曲線和時空云圖結果，如圖6～8所示。

表1 立管固有頻率Tab.1 Natural frequencies of the riser

圖6、圖7分別為ω0=2ω1、ω0=ω2時立管的RMS位移以及位移的時間-空間演化云圖。如果只比較圖6(a)和7(a)的RMS位移曲線，可見二者的位移大小和曲線形狀都非常接近；但是，從時空云圖可以看到二者響應的波形是不一樣，當垂蕩頻率為二階固有頻率時(ω0=ω2)，立管振動只在響應的初期呈現2階模態(tài)振型，而隨著振動時間的持續(xù)增加，兩個最大位移點漸漸向立管中部靠攏直至合并，從而由2階模態(tài)振型轉換成1階振型。

類似地，當垂蕩頻率為4階固有頻率(ω0=ω4)時(如圖8)，由于ω4≈2ω2， 4階模態(tài)振型也只持續(xù)了一小段時間，之后振動從4階模態(tài)轉變?yōu)?階振型(如圖8(b))。另外，從圖6～圖8還可看到，當高階振型轉變?yōu)榈碗A振型后，位移幅值會有一個明顯地增大。

根據計算結果，這種模態(tài)轉換的現象只發(fā)生在從高階模態(tài)向低階模態(tài)的轉換。例如，從2階模態(tài)向1階模態(tài)轉換，或者從4階模態(tài)向2階模態(tài)轉換；而且，發(fā)生模態(tài)轉換之后，位移幅值會有明顯增大。

圖6 垂蕩頻率ω0=2ω1時立管響應Fig.6 Dynamic responses at heave frequency ω0=2ω1

圖7 垂蕩頻率ω0=ω2時立管響應Fig.7 Dynamic responses at heave frequency ω0=ω2

圖8 垂蕩頻率ω0=ω4時立管響應Fig.8 Dynamic responses at heave frequency ω0=ω4

3 結 語

動響應的有限元數值模型中考慮了與結構運動相耦合的尾跡流場渦激升力、響應過程中時變的結構剛度；分析了平臺垂蕩的頻率、模態(tài)階數等參數對立管位移幅值、振動波形及其演化的影響。數值計算的結果表明：

1) 與平臺固定不動相比，平臺垂蕩運動會增大立管的動響應，并且響應的幅值大于單獨立管渦激振動或者單獨參數激勵的振動幅值。立管位移幅值隨模態(tài)階數的降低而增大；低階模態(tài)響應形式以駐波為主，隨模態(tài)階數的升高響應轉變?yōu)樾胁ā?/p>

2) 在某些激勵頻率下，立管動響應過程中會出現模態(tài)轉換現象。這種模態(tài)轉換現象只發(fā)生在從高階模態(tài)向低階模態(tài)的轉換；而且，發(fā)生模態(tài)轉換之后，位移幅值會有明顯增大。

鑒于在平臺垂蕩和渦激振動的共同作用下，立管的動響應會大于渦激振動、參數激勵分別單獨作用的響應，建議在立管實際工程設計中，應該考慮平臺運動和渦激振動共同作用下的耦合結構動響應。

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Impact of top-end heave on vortex-induced vibration of submarine riser for deep-water platform

CHEN Weimin1,LI Yilun2,JIANG Chunhui1,GUO Shuangxi1

(1.Key Laboratory of Mechanics in Fluid Solid Coupling System,Institute of Mechanics,CAS,Beijing 100190,China; 2.Sino-French Engineering School,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

P751; O353.1

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.03.001

1005-9865(2016)03-0001-09

2015-04-08

國家自然科學基金重點項目(11232012)；國家自然科學基金面上項目(11372320)

陳偉民(1967-)，女，江蘇南京人，副研究員，主要從事海洋立管渦激振動和工程結構的流固耦合研究。 E-mail:wmchen@imech.ac.cn