雷諾數(shù)為3 900時三維圓柱繞流的大渦模擬

端木玉，萬德成

( 1. 上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院 海洋工程國家重點實驗室 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240; 2. 江蘇海事職業(yè)技術(shù)學院，江蘇 南京 212003)

雷諾數(shù)為3 900時三維圓柱繞流的大渦模擬

端木玉1,2，萬德成1

( 1. 上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院 海洋工程國家重點實驗室 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240; 2. 江蘇海事職業(yè)技術(shù)學院，江蘇 南京 212003)

自從人們對層流的圓柱繞流現(xiàn)象有了系列研究及清楚的認識后，人們逐漸把目光投向湍流的圓柱繞流，但相關研究主要關注于模擬湍流方法的數(shù)值格式和精度問題，而忽略了對高雷諾下圓柱繞流流場本身的認識及規(guī)律的總結(jié)?；陂_源代碼OpenFOAM的大渦模擬方法以連續(xù)方程和Navier-Stokes方程為控制方程，選用Smargorinsky模式為亞格子應力模型，采用有限體積法和一次預測兩次修正的PISO算法，對Re=3 900時三維圓柱繞流問題進行了數(shù)值模擬研究，并著重分析了其尾流特征和性質(zhì)。數(shù)值計算結(jié)果表明：大渦模擬方法可以模擬出細致的流場結(jié)構(gòu)，該雷諾數(shù)下的圓柱繞流具有很強的三維及湍流效應，在圓柱后方約一倍直徑的范圍內(nèi)存在回流區(qū)域，在靠近圓柱壁面的尾流區(qū)域的速度剖面呈“U”型，遠離壁面的速度剖面呈“V”型。瞬時速度剖面始終圍繞著時均速度的周圍脈動，且距離圓柱越遠瞬時速度場的脈動范圍越大。

大渦模擬;圓柱繞流;OpenFOAM;尾流分析

Abstract: After a series of studies of laminar flow around circular cylinders, clear understanding was gained. People then set their sights on turbulent flow problems. However, relevant research mainly focused on the scheme and precision of numerical simulation methods at high Reynolds numbers; less attention was paid to the understanding of turbulent flow around circular cylinders itself. The simulations were carried out using large eddy simulation (LES) solver within the open source code OpenFOAM. The Navier-Stokes equations were discretized by the Finite Volume Method; the Smargorinsky model was chosen as Sub-grid stress model; the PISO algorithm with two prediction steps and one correction step were used to deal with the coupling between velocity and pressure. This paper emphatically analyzes the wake features of the three-dimensional flow around a circular cylinder atRe=3 900. The numerical results show that LES can simulate the detailed flow structures, which exhibit strong three dimensional effects and turbulence effects at the current Reynolds number. The main conclusions of this study are that there exists a recirculation region about one diameter after the cylinder. The mean velocity profile in the region close to the cylindrical wall shows “U” shape, while the velocity profile far from the wall exhibits “V” shape. The instantaneous velocity, which fluctuates around the mean velocity, has a larger amplitude of fluctuation as the distance from the cylinder gets farther.

Keywords: large-eddy simulation; flow past a cylinder; OpenFOAM; wake analysis

圓柱繞流問題一直是流體力學領域非常經(jīng)典的算例，它能很好地揭示分離流、渦流及脫落過程等復雜流動現(xiàn)象。同時圓柱繞流問題也有很高的工程應用價值，航行中的飛機、水中行駛的船舶、海上的石油平臺以及橋墩等，都存在繞流。

在影響圓柱繞流問題的若干影響參數(shù)中，雷諾數(shù)起著決定性作用。因為湍流具有不規(guī)則性、多尺度性及復雜的非線性，所以一直以來有效地描述湍流的性質(zhì)是流體力學中的一個重大難題。自從人們對低雷諾數(shù)下圓柱繞流現(xiàn)象有了系列研究及清楚的認識后，便逐漸把目光投向高雷諾數(shù)下的圓柱繞流，如何可以精確描述高雷諾數(shù)下圓柱繞流的湍流尾流特征是今后研究工作的重點。湍流狀態(tài)下的圓柱繞流的尾流表現(xiàn)為高度復雜的三維非穩(wěn)態(tài)、帶旋轉(zhuǎn)的不規(guī)則的隨機流動，圓柱繞流的尾流是由不同尺度漩渦疊合而成的，大尺度的漩渦破裂后形成小尺度的漩渦，小尺度的漩渦也不斷潰滅，同時新的漩渦也源源不斷產(chǎn)生，這使得研究高雷諾數(shù)下的圓柱繞流變得非常困難。

對湍流的模擬常用直接模擬(DNS)、大渦模擬(LES)和雷諾時均(RANS)三種方法。DNS是最精確的方法，但對計算機要求很高，網(wǎng)格必須等于或小于最小漩渦尺寸；LES可選用較大的網(wǎng)格，對超出網(wǎng)格尺寸以上的大尺度湍流進行直接數(shù)值模擬，而小于網(wǎng)格尺寸的湍流采用網(wǎng)格內(nèi)模型來模擬，LES在復雜流動中可以得到RANS無法獲得的湍流運動的細微結(jié)構(gòu)和流動現(xiàn)象；RANS抹平了湍流中的微小細節(jié)，對復雜精細的湍流結(jié)構(gòu)的模擬會遇到困難。綜上所述，LES似乎是目前再現(xiàn)圓柱尾流復雜結(jié)構(gòu)的最佳方法。Breuer[1]采用大渦模擬方法對孤立圓柱繞流問題(Re=140 000)進行了三維的數(shù)值模擬，研究了大渦模擬方法對于處理高雷諾數(shù)下流動問題的適應性并分析了不同亞格子應力模式及網(wǎng)格質(zhì)量對結(jié)果的影響。Xu等[2]用大渦模擬方法對變截面半徑圓柱的可壓縮流場進行了數(shù)值模擬，分析了波狀圓柱繞流與柱狀圓柱繞流問題的區(qū)別。Lourenco等[3]、Ong等[4]分別對流動條件為Re=3 900的圓柱繞流做過模型試驗，并提供了尾渦x/D≤3和3≤x/D≤10處的時均速度場的試驗結(jié)果，實驗只能給出一些時均后的流場參數(shù)信息。Breuer[5]用大渦模擬方法計算了Re=3 900下的圓柱繞流，但其目的并不在于研究流場物理現(xiàn)象的細節(jié)，而是為分析影響LES精度的數(shù)值及模型方面。Kravchenko等[6]也研究了Re=3 900時的圓柱繞流，論證了B樣條法是相比于迎風格式和中心差分格式的一種精度更高的數(shù)值格式。趙偉文等[7]用大渦模擬方法模擬了高雷諾數(shù)三維圓柱Spar的渦激運動問題。王吉飛等[8-9]用大渦模擬方法模擬了高雷諾數(shù)三維方腔驅(qū)動流問題。

從目前的研究進展來看，雖然已有不少學者對高雷諾數(shù)下的圓柱繞流問題做過一些試驗及數(shù)值研究，但試驗的研究很難給出我們所關注的瞬時渦量場、速度場、壓力場等信息。而數(shù)值研究方面，大多是側(cè)重于分析不同湍流模型或數(shù)值格式對計算結(jié)果的影響。而針對高雷諾數(shù)下圓柱繞流問題這一物理現(xiàn)象展開深入研究的并不多見。鑒于前人對Re=3 900下在試驗和數(shù)值方面有過諸多貢獻，因此本文選取Re=3 900的三維圓柱繞流進行數(shù)值研究，不同的是本文側(cè)重于分析該雷諾數(shù)下的流場細節(jié)，以便了解湍流圓柱繞流問題的尾流特征，并將數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果進行對比，驗證并分析數(shù)值計算結(jié)果的有效性。文中給出了瞬時的渦量場、速度場，分析了流場中特征位置處的流場信息，更進一步分析了瞬時場與速度場之間的關系，使得能深入地理解高雷諾數(shù)下圓柱繞流這一物理現(xiàn)象。

數(shù)值計算過程采用基于開源程序代碼庫OpenFOAM平臺上的大渦模擬方法，采用有限體積法和一次預測兩次修正的PISO算法，以三維不可壓縮N-S方程為控制方程。文中選用的OpenFOAM平臺，其全稱是Open Field Operation and Manipulation，采用C++語言編寫的面向?qū)ο蟮挠嬎懔黧w力學開源代碼程序庫。其支持的流動模型有層流、基于雷諾時均的湍流模型、LES及DNS等；支持多種軟件生成的復雜網(wǎng)格及動態(tài)網(wǎng)格技術(shù)；支持SIMPLE、PISO及PIMPLE求解器。

1 數(shù)學模型

1.1 大渦模擬的控制方程

大渦模擬的控制方程是將不可壓縮的N-S方程做過濾，得到：

為亞格子尺度雷諾應力(SGS Renolds stress)，則式(1)可寫作

建立亞格子應力模式使方程(4)封閉，選用最基本的Smagorinsky模式，其表達形式：

1.2 初始條件和邊界條件

本文定義的流場的初始條件和邊界條件：

1) 入口，速度入口；

2) 出口，出流邊界；

3) 上下面及前后面，對稱邊界；

4) 圓柱表面，無滑移固壁邊界。

2 數(shù)值計算與結(jié)果討論

圖1 圓柱繞流的幾何計算域Fig. 1 Geometry details of flow around a cylinder

采用的計算模型如圖1所示，計算域以圓柱底部的中心為坐標原點，圓柱直徑D=0.01 m。計算域長度(x軸的方向)為15D，上游斷面距離圓柱中心為5D，下游斷面距離圓柱中心為15D，方向與來流方向一致；計算域?qū)挾?z軸方向)為πD，方向沿著圓柱方向；計算域高度(y軸方向)為10D，上下面距離圓柱為5D，方向平行于圓柱橫截面。入口處為定常來流，流速U0=0.394 m/s，ν=1.01×10-6m2/s，雷諾數(shù)Re=U0D/ν≈3 900。首先從網(wǎng)格收斂性方面進行考察，這里選用2套網(wǎng)格，第一套網(wǎng)格總數(shù)為792 320，計算域xoy平面網(wǎng)格劃分如圖2所示，z向均勻劃分32層網(wǎng)格，圓柱周圍的網(wǎng)格如圖3所示。將第一套網(wǎng)格各個區(qū)域進行加密后得到第二套網(wǎng)格，第二套網(wǎng)格總數(shù)為2 827 500，計算域xoy平面網(wǎng)格劃分如圖4所示，z向均勻劃分50層網(wǎng)格，圓柱周圍的網(wǎng)格如圖5所示。

圖2 第一套網(wǎng)格計算域xoy平面網(wǎng)格的劃分Fig. 2 The first case mesh generation in the xoy plane

圖3 第一套網(wǎng)格圓柱周圍的網(wǎng)格劃分Fig. 3 Mesh in the vicinity of cylinder for the first case

圖4 第二套網(wǎng)格計算域xoy平面網(wǎng)格的劃分Fig. 4 The second case mesh generation in the xoy plane

圖5 第二套網(wǎng)格圓柱周圍的網(wǎng)格劃分Fig. 5 Mesh in the vicinity of cylinder for the second case

表1 兩套網(wǎng)格的數(shù)值計算結(jié)果Tab. 1 Flow parameters computed by the meshes of the two cases

圖6 阻力系數(shù)、升力系數(shù)的時間歷程曲線(Re=3 900) Fig. 6 Time history of the lift coefficient Cl and the drag coefficient Cd

圖6給出了Re=3 900時升力和阻力系數(shù)的時間歷程曲線，可以看出升力系數(shù)雖圍繞0值上下振蕩，但幅值是變化的，與層流情況下的周期性振蕩且幅值不變有著顯著區(qū)別。隨著時間的推移，阻力系數(shù)沒有像層流情況下一樣趨于穩(wěn)定值，而是存在脈動變化，以上都是湍流的顯著特征。

圖7、8、9分別是圓柱繞流尾流區(qū)x、y、z方向上的瞬時速度等值線圖。并與賈曉荷[10]的數(shù)值模擬結(jié)果進行對比，該圖中虛線表示u<0，實線表示u>0。由于這里的上下圖并非描述的是同一時刻，且速度等值線的劃分也不相同，但從上下圖的對比可見計算結(jié)果的流場特征能夠很好地吻合。

在這三幅圖中既能看到小尺度的湍流也能看到大尺度的湍流，隨著流向距離的增大，流動的結(jié)構(gòu)在尺度上也趨于增大。圖7在靠近圓柱的區(qū)域存在明顯的速度為負值的區(qū)域，即回流區(qū)，回流區(qū)后x向的速度等值線均為正。圖8可以看出y方向的瞬時速度有規(guī)律的正負交替，且在靠近圓柱的瞬時速度正負交替明顯，到遠處就逐漸削弱了，說明在圓柱的尾部形成了一系列的卡門渦街，這些漩渦在圓柱附近形成后脫落，漩渦在運動的過程中逐漸擴散開。圖9中可以看出z向的速度等值線在圓柱后無規(guī)律的正負交錯存在，且距離圓柱越遠等值線的正負差異越小，說明圓柱后形成的渦隨著往后運動而逐漸擴散開來。

圖7 Re=3 900圓柱繞流尾流區(qū)x方向的瞬時速度等值線圖(x-z平面，y=0)Fig. 7 Instantaneous streamwise velocity in the (x-z, y=0) plane of the presented simulation

圖8 Re=3 900圓柱繞流尾流區(qū)y方向的瞬時速度等值線(x-z平面，y=0)Fig. 8 Instantaneous cross-flow velocity in the (x-z, y=0) plane of the presented simulation

圖9 Re=3 900圓柱繞流尾流區(qū)z方向瞬時速度等值線(x-z平面，y=0)Fig. 9 Instantaneous spanwise velocity in the (x-z, y=0) plane of the presented simulation

圖10給出了xoy(z=πD/2)平面處圓柱繞流的渦量等值線圖；圖11給出了圓柱尾部的瞬時流場渦量，圖中的渦量等勢面用Hunt等人[15]建議的Q準則(Q-criterion)表示。Q的定義如下：

圖10與圖8的敘述也是吻合的，可以更加直觀的看出漩渦在圓柱附近形成后脫落，并且漩渦在運動的過程中逐漸擴散開。但是Re=3 900時形成的渦街與低雷諾數(shù)的情況存在明顯的差異，低雷諾數(shù)時通常觀察到物體尾流左右兩側(cè)產(chǎn)生成對的、交替排列的、旋轉(zhuǎn)方向相反的反對稱渦旋，漩渦的脫落過程具有非常的規(guī)律性，循環(huán)往復。Re=3 900的工況下，每個瞬時在圓柱尾部的一側(cè)會有不同大小的多個漩渦脫落，隨后向中心線移動，移動的過程中漩渦的尺度逐漸增大并直至脫落，雖然整個過程都是在圓柱兩側(cè)交替生成漩渦并逐漸脫落的過程，但每一次漩渦生成及脫落的過程都不是完全相同的，存在一定的隨機性。圖11展示了Re=3 900下圓柱繞流的尾流呈現(xiàn)明顯的湍流及三維特性，渦面上的深色及淺色分布代表了相反的旋渦旋轉(zhuǎn)方向。

圖10 xoy (z=πD/2)平面處渦量等值線圖Fig. 10 Contours of instantaneous vorticity magnitude in the (x-y,z=πD/2) cross-sectional plane

圖11 瞬時的三維渦量等值面圖(Q=100) Fig. 11 Isosurface of instantaneous vorticity magnitude (Q-criterion, Q=100)

表2不同長細比圓柱繞流的流場參數(shù)與前人工作的對比

Tab.2Theparametersoftheflowaroundthecylinderwithdifferent-aspectratioandcomparedtoexistingresultsintheliterature

算例長細比St數(shù)基礎吸力系數(shù)平均阻力系數(shù)回流區(qū)長度-umin/U￥CaseA112π0.21510.84991.14761.7540.243CaseA2π0.21540.92631.13561.4170.325CaseA32π0.21910.93761.11491.3600.355Lysenko[12]:LESwithSMAGπ0.190.81.180.90.26Lysenko[12]:LESwithTKEπ0.2090.910.971.670.27Norberg[13]150-0.875---Norberg[13]26-0.78---LourencoandShih[3]20.50.22-0.991.220.247KravchenkoandMoin[6]2π0.210.941.04-0.35

圖12分別給出了同一時刻，相同渦量等勢面的瞬時三維渦量圖(俯視圖)。從圖中可見，展向的長度越長，圓柱尾流處的漩渦相對越加紊亂，漩渦尺度也相對較小一些，但這種差別并不是十分明顯。另外一個特征是對于展向長度較長的圓柱，漩渦要早于展向長度短的圓柱脫落。

(b) 圓柱展向長度為πD

(c) 圓柱展向長度為πD圖12 不同圓柱展向長度下的瞬時三維渦量等值面圖(Q=100)Fig. 12 Isosurface of instantaneous vorticity magnitude in the wake of a cylinder with axial length (Q-criterion, Q=100)

為便于與實驗結(jié)果進行對比以顯示圓柱周圍近尾流區(qū)及遠尾流區(qū)的流場特征，現(xiàn)將圓柱附近的特征位置描述如圖13所示。所取的截面是xoy(z=πD/2)處的平面，y/D=0是該平面上從圓柱中心沿x軸正方向到x=15D處的直線，x/D=0.58,1.06,1.54,2.02是該平面上與y軸平行的直線，直線的范圍是-3.0D～3.0D。

圖13 圓柱周圍的特征位置Fig. 13 The characteristic locations near the cylinder

圖14是圓柱中心線y/D=0上x方向的平均流速分布。將數(shù)值計算結(jié)果與Lourenco等[3]及Ong等[4]的實驗結(jié)果及Kravchenko等[6]的數(shù)值結(jié)果進行對比，模擬出的趨勢和實驗結(jié)果完全吻合，數(shù)值模擬的精度也較Kravchenko等[6]更接近于實驗值。從圖中發(fā)現(xiàn)在圓柱后面約1個直徑的范圍內(nèi)平均速度為負值，該范圍是回流區(qū)域，這與前面圖7的描述是一致的?；亓鲄^(qū)的范圍與實驗值很接近，但是平均速度值較實驗值偏大一些，這可能是由于實驗存在外界擾動，從而導致近圓柱處尾流速度的提前過渡。

圖14 圓柱中心線y/D=0上x方向的時均流速分布Fig. 14 Streamwise mean velocity on the center line in the wake of a cylinder

圖15分別給出了x/D=0.58,1.06,1.54,2.02處x方向一系列瞬時的速度剖面及時均速度。這里共列出了37個瞬時的x速度剖面，時間間隔ΔT=0.02s，用淺色的線表示，深色的線是這37個速度剖面的平均值。從圖中可見瞬時速度剖面始終圍繞著時均速度的周圍脈動，且距離圓柱越遠脈動的范圍越大，因為距離圓柱越遠的地方物體對流體的控制越弱。時均速度剖面在所取的四個特征位置處的形狀也有其特征，平均速度的谷值一定在y/D=0的中心線上，但是各瞬時的谷值圍繞中心線振蕩。x/D=0.58處的時均速度呈“U”型，其余呈“V”型，隨著距離的增大，“V”的形狀也趨于平緩。在x/D=0.58處及x/D=1.54處的時均速度的谷值都接近于0，在x/D=1.06處的時均速度谷值在負值最大處，而在x/D=2.02處的時均速度谷值為正，以上這些特征都和圖14相符。

(a) x/D=0.58

(b) x/D=1.06

(c) x/D=1.54

(d) x/D=2.02

圖16 圓柱尾流在4個特征位置處x方向的時均速度分布 Fig. 16 Profiles of streamline mean velocity at four locations downstream of a cylinder

將上述四個特征位置處x方向的時均速度值與實驗值進行對比，如圖16所示。數(shù)值計算結(jié)果的趨勢與Lourenco & Shih[3]的實驗結(jié)果完全吻合，距離圓柱越近的位置與實驗結(jié)果越相近，距離圓柱越遠的地方則有較大誤差。

圖17分別給出了x/D=1.06,1.54,2.02處y方向一系列瞬時的速度剖面及時均速度。同上一樣共列出了37個瞬時的x速度剖面，時間間隔ΔT=0.02s，用淺色的線表示，深色的線是這37個速度剖面的平均值。

圖17 不同x/D條件下y方向的瞬時速度和時均速度Fig. 17 Profiles of cross-flow velocity at different x/D position

將上述三個特征位置處y方向的時均速度值與實驗值進行對比，如圖18所示。從圖中可見所有y向平均速度剖面的形狀均關于y/D=0反對稱，與實驗的趨勢基本吻合，數(shù)值上存在一定誤差。

圖18 圓柱尾流在3個特征位置處y方向的時均速度分布Fig. 18 Profiles of cross-flow mean velocity at three locations downstream of a cylinder

3 結(jié) 語

基于OpenFOAM的大渦模擬方法研究了Re=3 900時圓柱繞流問題，并對數(shù)值模擬結(jié)果進行了分析，得到以下結(jié)論：

1) 在雷諾數(shù)較高的情況下必須采用三維的計算模型，二維簡化模型會對計算結(jié)果產(chǎn)生較大誤差，且在較高雷諾數(shù)下，圓柱繞流的漩渦脫落已經(jīng)具有了三維效應；

2) 從升力系數(shù)和阻力系數(shù)的時歷曲線中可以明顯看出存在明顯的脈動，無特征規(guī)律可循，說明在Re=3 900時已經(jīng)存在明顯的湍流效應，另漩渦脫落的過程也說明了湍流效應；

3)Re=3 900的工況下，每個瞬時在圓柱尾部的一側(cè)會有尺度不同的多個漩渦脫落，隨后向中心線移動，移動的過程中漩渦的尺度逐漸增大并直至脫落，且每一次漩渦生成及脫落的過程都不是完全相同的，存在隨機性；

4) 數(shù)值模擬出的St=0.222，換算得漩渦脫落的頻率fst=8.75 Hz；

5) 在靠近圓柱尾部約1D的范圍內(nèi)是回流區(qū)，之后沿x方向速度逐漸增大，并趨于平衡；

6) 對圓柱后x/D=0.58,1.06,1.54,2.02的四個特征位置處的流場進行了分析，所有x向時均速度剖面的形狀均關于y/D=0對稱，x/D=0.58處的時均速度呈“U”型，其余呈“V”型，且隨著距離的增大，“V”的形狀也趨于平緩。瞬時速度剖面始終圍繞著時均速度的周圍脈動，且距離圓柱越遠瞬時速度場的脈動范圍越大，這是因為距離圓柱越遠的地方物體對流體的控制越弱。

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Large-eddy simulation of the flow past a cylinder with Re=3 900

DUAN Muyu1, 2, WAN Decheng1

(1. State Key Laboratory of Ocean Engineering, School of Naval Architecture, Ocean and Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China; 2. Jiangsu Maritime Institute, Nanjing 212003, China)

O351.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.06.002

1005-9865(2016)06-0011-10

2015-10-28

國家自然科學基金項目(51379125，51490675，11432009，51411130131)；長江學者獎勵計劃(2014099)；上海高校特聘教授(東方學者)崗位跟蹤計劃(2013022)；工信部高技術(shù)船舶數(shù)值水池創(chuàng)新專項課題(2016-23/09)

端木玉(1981-),博士研究生，主要從事海洋工程水動力學方面研究。

萬德成。E-mail：dcwan@sjtu.edu.cn