兩分支Camassa-Holm 系統(tǒng)Cauchy問(wèn)題解的解析性

鄭曉翠，高曉紅

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 陜西 西安　710127;2.西北大學(xué) 非線(xiàn)性科學(xué)研究中心, 陜西 西安　710069)

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·數(shù)理科學(xué)·

兩分支Camassa-Holm 系統(tǒng)Cauchy問(wèn)題解的解析性

鄭曉翠1,2，高曉紅1,2

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 陜西 西安710127;2.西北大學(xué) 非線(xiàn)性科學(xué)研究中心, 陜西 西安710069)

利用抽象的Cauchy-Kowalevski 定理,證明兩分支Camassa-Holm 系統(tǒng)Cauchy 問(wèn)題解的解析性,即系統(tǒng)的解關(guān)于空間變量是全局解析的,關(guān)于時(shí)間變量是局部解析的。該方法還可以用于討論其他非線(xiàn)性偏微分方程解的解析性。

兩分支Camassa-Holm 系統(tǒng);Cauchy-Kowalevski 定理; 解析性

2009年,Fu.Y等[1]在具有多尖峰解疊加形式的尖峰孤子解以及H1范數(shù)守恒率等性質(zhì)的基礎(chǔ)上,對(duì)一般形式的兩分支系統(tǒng)進(jìn)行分類(lèi)，得到一個(gè)具有對(duì)稱(chēng)形式的兩分支Camassa-Holm 系統(tǒng):

mt=2mux+mxu+(mv)x+nvx,

nt=2nvx+nxv+(nu)x+mux，

(1)

其中m=u-uxx,n=v-vxx。

該模型解的局部適定性、爆破現(xiàn)象、全局存在性、持久性以及強(qiáng)解的奇性等結(jié)果可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2]。目前很多方程解的解析性結(jié)果已經(jīng)得到證明,例如歐拉方程[3-4]、一類(lèi)兩分量水波方程[5]、兩分量Hunter-Saxton系統(tǒng)[6]、b方程[5]等。

我們將證明該模型解的解析性,考慮方程組(1)的Cauchy問(wèn)題

(2)

解的解析性，其中m=u-uxx,n=v-vxx。

首先給出解析性的結(jié)論。

定理1假設(shè)u0(x)在R上是一個(gè)實(shí)解析函數(shù),那么存在一個(gè)正數(shù)ε>0,使得上述問(wèn)題(2)存在一個(gè)唯一的解在 (-ε,ε)×R上解析。

下面將給出定理1的證明。我們的主要方法是在一個(gè)合適度量的Banach空間中利用抽象的Cauchy-Kowalevski定理來(lái)證明,這個(gè)方法是由文獻(xiàn)[7]引入的。

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[3]對(duì)任意的s>0,定義空間:

注1任意的u∈Es在直線(xiàn)R上是一個(gè)實(shí)解析函數(shù)。

定義2[3]對(duì)任意的函數(shù)u,v∈Es,定義:

|||(u,v)|||s=|||u|||s+|||v|||s。

接下來(lái)的引理就是抽象的Cauchy-Kowalevski定理。

引理1[4]設(shè){Χs}0

(3)

設(shè)T,R和C都是正數(shù),函數(shù)F滿(mǎn)足以下3個(gè)條件:

(i)對(duì)任意的函數(shù)u∈Xs,當(dāng)0

則函數(shù)t→F(t,u(t))在|t|

(ii)對(duì)任意的0

(iii)存在M>0,使得對(duì)任意的0

那么存在T0∈(0,T)和唯一的函數(shù)u(t)∈Χs,使得當(dāng)|t|<(1-s)T0時(shí),u(t)解析且恰是初值問(wèn)題(3)的解。

引理2[3]設(shè)00,使得對(duì)任意的函數(shù)u,v∈Es,有

|||uv|||s≤C|||u|||s·|||v|||s，

其中C=C(r)只依賴(lài)于r。

引理2表明,對(duì)任意的函數(shù)u,v∈Es，f(u)=u2，有

|||f(u)-f(v)|||s=|||u2-v2|||s≤

C|||u+v|||s|||u-v|||s。

|||P2u|||s≤|||u|||s,

|||P3u|||s≤|||u|||s。

2　定理1的證明

為了利用抽象的Cauchy-Kowalevski定理來(lái)證明定理1,首先把初值問(wèn)題(2)化成如下的非局部形式：

(4)

其中t∈R,x∈R,u0,v0∈Cω(R)。

引入變換u1=u,u2=P1u,u3=v,u4=P1v,可以得到:

F1(u1,u2,u3,u4),

-P1(u1u2+u2u3)-P3(u1u4)-P1P3[f(u1)+

F2(u1,u2,u3,u4)

和

P1(u1u4)-P1P2(u2u3)-P1P3[f(u3)+

-P1(u3u4+u1u4)-P3(u2u3)-

F4(u1,u2,u3,u4)。

這樣,初值問(wèn)題最終就化成引理1中的形式

(5)

現(xiàn)在定義U≡(u1,u2,u3,u4)和

F(U)=F(u1,u2,u3,u4)≡

(F1(u1,u2,u3,u4),F2(u1,u2,u3,u4),

F3(u1,u2,u3,u4),F4(u1,u2,u3,u4))。

由定義2,下面兩個(gè)式子成立:

|||F(u1,u2,u3,u4)|||s≡

下面需要證明方程組(5)滿(mǎn)足引理1的3個(gè)條件?？梢钥吹?當(dāng)方程組變成引理1中的零初值條件時(shí),條件(i),(iii)顯然成立。因此只需要讓方程組滿(mǎn)足條件(ii),即下面的命題。

命題1設(shè)R>0,00,使得對(duì)任意的函數(shù)uj,vj∈B(0,R)?Es(j=1,2,3,4)，有

|||F(u1,u2,u3,u4)-F(v1,v2,v3,v4)|||s′≤

證 明對(duì)任意uj,vj∈B(0,R)?Es(j=1,2,3,4),有

|||F(u1,u2,u3,u4)-F(v1,v2,v3,v4)|||s′=

I1+I2+I3+I4。

下面對(duì)I1,I2,I3和I4作估計(jì),其中

|||u2u3-v2v3|||s′+|||P2(u1u4-v1v4)|||s′+

|||P3(f(u1)-f(v1))|||s′+

|||P3(u2u4-v2v4)|||s′+

|||u2u3-v2v3|||s+|||u1u4-v1v4|||s+

v1|||s|||u1-v1|||s+

C|||u2|||s·|||u3-v3|||s+

C|||v3|||s|||u2-v2|||s+

C|||u1|||s·|||u4-

v4|||s+C|||v4|||s|||u1-v1|||s+

C|||u1+v1|||s·|||u1-v1|||s+

C|||u2|||s|||u4-v4|||s+

C|||v4|||s|||u2-v2|||s+

3CR|||u2-v2|||s+2CR|||u3-v3|||s+

3CR|||u4-v4|||s≤

(v1,v2,v3,v4)|||s。

按照相同的方法,對(duì)I2,I3和I4分別估計(jì),有

C|||u1|||s|||u4-v4|||s+

C|||v4|||s|||u1-v1|||s+

|||u1u4-v1v4|||s+|||u2u3-v2v3|||s+

C|||u1|||s·|||u4-v4|||s+

C|||v4|||s|||u1-v1|||s+

C|||u2|||s·|||u3-v3|||s+

C|||v3|||s|||u2-v2|||s+

C|||u3+v3|||s|||u3-v3|||s+

C|||u2|||s|||u4-v4|||s+

C|||v4|||s|||u2-v2|||s+

2CR|||u1-v1|||s+3CR|||u2-v2|||s+

3CR|||u4-v4|||s≤

C|||u2|||s|||u3-v3|||s+

C|||v3|||s|||u2-v2|||s+

這樣就證明了命題1。

于是,方程組(5)滿(mǎn)足引理1的3個(gè)條件,所以這就證明了兩分支Camassa-Holm系統(tǒng)Cauchy問(wèn)題的解關(guān)于空間變量是全局解析的,關(guān)于時(shí)間變量是局部解析的。

[1]FUY,QUCZ.Wellposednessandblow-upsolutionforanewcoupledCamassa-Holmequationswithpeakons[J].JMathPhys, 2009, 55, 012906：1-25.

[2]ZHUMX.Blow-up,GlobalExistenceandPersistencePropertiesforthecoupledCamassa-Holmequations[J].JMathPhysAnalGeom, 2011, 14: 197-209.

[3]BAOUENDIS,GOULAOUICC.RemarksontheabstractformofnonlinearCauchy-Kowalevskitheorems[J].CommPartialDifferEqu, 1977, 2: 115-116.

[4]BAOUENDIS,GOULAOUICC.SharpestimatesforanalyticpseudodifferentialoperatorsandapplicationtoCauchyproblem[J].JDiffEqs, 1983, 48:241-268.

[5]YANK,YINZ.AnalyticsolutionsoftheCauchyproblemfortwo-componentshallowwatersystems[J].MathZ, 2011, 269: 1113-1127.

[6]YANK,YINZ.AnalyticityoftheCauchyproblemfortwo-componentHunter-Saxtonsystems[J].NonlinearAnal,2012, 75: 253-259.

[7]OVSIANNIKONLV.AnonlinearCauchyprobleminascaleofBanachspaces[J].DoklAkadNaukSSSR, 1971, 200: 789-792.

(編輯亢小玉)

Analyticity of the Cauchy problem for a two-component Camassa-Holm system

ZHENG Xiao-cui1,2, GAO Xiao-hong1,2

(1.Department of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China;2.Center for Nonlinear Studies, Northwest University, Xi′an 710069, China)

The abstract Cauchy-Kowalevski theorem is used to discuss the analyticity of the Cauchy problem for a two-component Camassa-Holm system. It is proved that its solutions are analytic in both variables, globally in space and locally in time. The same approach can be used to discuss the analyticity of the solutions for the other nonlinear partial differential equations.

two-component Camassa-Holm system; Cauchy-Kowalevski theorem; analyticity

2015-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11001219；11471259)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(2014JQ1002)

鄭曉翠，女，河南睢縣人，從事偏微分方程研究。

O175.29

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-02-002