例談平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)階復(fù)習(xí)

◇　北京　羅倩敏(特級教師)

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例談平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)階復(fù)習(xí)

◇北京羅倩敏(特級教師)

平拋運(yùn)動(dòng)是一個(gè)典型的曲線運(yùn)動(dòng),涵蓋豐富,如運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量、運(yùn)動(dòng)合成與分解、牛頓第二定律、動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒等.其關(guān)聯(lián)生活廣泛,如打乒乓球、羽毛球、籃球,踢足球等.如何復(fù)習(xí)平拋運(yùn)動(dòng)令不少同學(xué)糾結(jié)不已,本文以平拋運(yùn)動(dòng)為例,構(gòu)建“深化概念—整合規(guī)律—應(yīng)用升華”進(jìn)階復(fù)習(xí)模式,以求拋磚引玉．

1　深化概念——認(rèn)識平拋運(yùn)動(dòng)

基于實(shí)驗(yàn)再現(xiàn)情境,進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)分析、物理知識鏈分析或物理類比分析等達(dá)成深化概念的目的．

1.1實(shí)驗(yàn)認(rèn)識——曲線運(yùn)動(dòng)

平拋運(yùn)動(dòng)是指物體以一定的水平初速度,僅在重力作用下的運(yùn)動(dòng),平拋運(yùn)動(dòng)是一個(gè)過程,可選擇一個(gè)體積小、密度大的鋼球做實(shí)驗(yàn),取一斜糟水平放置(末端水平),把小鋼球放在斜糟某高度靜止釋放,用手機(jī)或相機(jī)等時(shí)連拍(頻閃照相),相片上的小鋼球的像點(diǎn)用平滑曲線連接起來為小鋼球的軌跡,可見平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是曲線．

1.2數(shù)學(xué)認(rèn)識——拋物線運(yùn)動(dòng)

1.3物理認(rèn)識——2個(gè)直線運(yùn)動(dòng)(至少有1個(gè)勻加速直線運(yùn)動(dòng))的合運(yùn)動(dòng)

圖1

將得到的平拋運(yùn)動(dòng)建立直角坐標(biāo)系xOy,如圖1．將小球分別投影到水平和豎直方向上,因水平方向不受外力，豎直方向僅受重力，故水平x方向有Δx=x2-x1=v0t-v0t=0,豎直y方向有Δy=y2-y1=gt2.可見,在相等時(shí)間t內(nèi),水平方向上相鄰位移之差為0,故在此方向小球做勻速直線運(yùn)動(dòng),豎直方向上相鄰位移之差是恒量,故在此方向小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng),所以平拋運(yùn)動(dòng)是水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng),是一個(gè)勻加速曲線運(yùn)動(dòng)．

2　整合規(guī)律——平拋運(yùn)動(dòng)特征

基于概念,結(jié)合關(guān)聯(lián)知識,進(jìn)行一定的邏輯分析、推理、再實(shí)驗(yàn)等達(dá)成整合規(guī)律的目的．

1) 速度時(shí)刻改變,速度變化方向恒豎直向下,速度變化多少與平拋時(shí)間成正比.

因平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線,根據(jù)速度方向?yàn)樗邳c(diǎn)的切線方向,可推知平拋運(yùn)動(dòng)的速度的大小和方向時(shí)刻變化．由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知,水平方向速度不變,速度的變化只發(fā)生在豎直方向上,故速度變化方向恒豎直向下.或者根據(jù)牛頓第二定律可知,平拋物體的加速度由重力產(chǎn)生,故加速度方向和重力方向同向,恒豎直向下．由加速度定義得a=Δv/Δt=Δv/t,可見,速度變化多少與時(shí)間成正比．

2) 自開始運(yùn)動(dòng)至?xí)r間t，位移與水平方向夾角的正切值是t時(shí)刻末速度方向與水平方向夾角的正切值的一半.

圖2

3) 自開始運(yùn)動(dòng)至?xí)r間t末的速度反向延長線將水平位移平分.

圖3

4) 相等時(shí)間內(nèi),速度變化、動(dòng)量變化相等,重力作用的沖量與物體動(dòng)量的變化均與時(shí)間成正比.

5) 重力的瞬時(shí)功率是對應(yīng)時(shí)間內(nèi)平均功率的2倍,且與平拋的時(shí)間成正比.

6) 平拋過程機(jī)械能守恒,物體動(dòng)能變化的多少與平拋的高度成正比.

設(shè)物體質(zhì)量為m,由于平拋過程只受重力作用,所以物體和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,由動(dòng)能定理知,mgh=ΔEk．

3　應(yīng)用升華——平拋運(yùn)動(dòng)題型賞析

基于典型的試題或情境,通過深化概念、整合規(guī)律、再實(shí)驗(yàn)等達(dá)成應(yīng)用的目的．

3.1斜面上平拋

圖4

(1) 求平拋的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t隨v變化的函數(shù)關(guān)系；

(2) 若落點(diǎn)在斜面上,設(shè)斜面傾角為θ,那么經(jīng)過多少時(shí)間小球到斜面距離最大,最大距離是多少?

圖5

賞析斜面上平拋,是指平拋起點(diǎn)在斜面上,表現(xiàn)有單體不同速平拋或多體不同速平拋．若起、落點(diǎn)均在同一斜面上,求解的關(guān)鍵是抓住位移角、速度角的關(guān)系,明確位移角、速度角與初速度大小無關(guān),平拋的時(shí)間與初速度成正比,當(dāng)物體速度平行斜面時(shí),到斜面有最遠(yuǎn)距離;若落點(diǎn)均在同一水平面,抓住平拋的時(shí)間相等,明確初速度越大,水平射程越大．

3.2平拋落在斜面上、圓弧上

圖6

(1) 當(dāng)其速度方向與斜面垂直,如圖6所示，求小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比;

(2) 設(shè)小球初速度為v0,當(dāng)小球落在斜面上且速度方向不垂直于斜面時(shí),求小球起點(diǎn)與落點(diǎn)連線的最小距離s．

圖7　　　　　　　　　圖8

Av0

C2v03v0

圖9　　　　　　　　　圖10

(1) 求θ1、θ2的關(guān)系．

(2) 若小球以初速度v0從半圓弧的左端口A平拋,落點(diǎn)在圓弧的Q點(diǎn),已知圓心O點(diǎn)與Q點(diǎn)連線與豎直方向的夾角為θ,如圖12所示,求小球落在Q點(diǎn)時(shí)的速度vQ的大小．

圖11　　　　　　　　　　　圖12

(2) 設(shè)圓的半徑為R,連接AQ,作出平拋經(jīng)過Q點(diǎn)的速度分解如圖14所示,

tanβ=y/x=Rcosθ/(R(1+sinθ))=cosθ/(1+sinθ),

vQ=v0/cosα.

圖13　　　　　　　　　　　圖14

賞析平拋落在斜面上、圓弧上,是指平拋的落點(diǎn)在斜面、圓弧上．前者表現(xiàn)有速度或位移垂直于斜面;后者表現(xiàn)有速度相切于圓弧或平拋起點(diǎn)對齊于圓心,終點(diǎn)在圓弧內(nèi)．求解的關(guān)鍵是抓住速度角或位移角與已知三角形或圓的關(guān)系,突出幾何思維．

3.3障礙平拋

圖15

(1) 求速率v的取值范圍．

(2) 若乒乓球先落在左側(cè)臺(tái)面某點(diǎn),彈起后恰好垂直球網(wǎng)邊緣以速度v0水平飛過,求左側(cè)彈起點(diǎn)到球網(wǎng)的水平距離．

賞析障礙平拋是指平拋物體與它物相遇，表現(xiàn)有邊界制約的特點(diǎn).求解的關(guān)鍵是抓住相遇點(diǎn)水平、豎直位移對應(yīng)關(guān)系，或者相遇點(diǎn)的速度方向，巧用對稱性.

3.4天體上平拋

(1) 試比較小球經(jīng)過板1、2和2、3之間的水平位移大小,平拋起點(diǎn)依次到1、2、3處的機(jī)械能變化量和動(dòng)量變化量．

(2) 若將水平板變成豎直擋板,讓小球先后3次做平拋,擋板位置依次放置1、2、3處,且保持相鄰豎直擋板間位置間距相等,如圖17所示,試比較小球經(jīng)過板1、2和2、3之間的豎直位移大小,平拋起點(diǎn)依次到1、2、3處的機(jī)械能變化量和動(dòng)量變化量．

(3) 若將(2)實(shí)驗(yàn)裝置由地球表面移到月球表面來做,讓小球先后3次做平拋,并確保釋放點(diǎn).豎直板1、2、3處位置和地球均相同,已知地球和月球的質(zhì)量比為m1/m2=81/1,半徑之比為R1/R2=4/1．試求在地球和月球表面平拋分別經(jīng)過豎直擋板1、2過程的高度之比、動(dòng)量變化之比、動(dòng)能變化之比.

圖16　　　　　　　　　　　圖17

(2) 同理,因1到2的豎直平均速度小于2到3的,已知相鄰兩板的水平位移相等,故1到2的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于2到3的,所以有Δy1<Δy2.因機(jī)械能守恒,故有ΔE1=ΔE2=ΔE3.因起點(diǎn)分別到1、2、3處的時(shí)間不斷增長,由動(dòng)量定理得Δp1<Δp2<Δp3．

ΔEk地12/ΔEk月12=g1y地12/g2y月12=81/16．

賞析天體上平拋是指在不同星球表面上的平拋運(yùn)動(dòng),表現(xiàn)出一些參量有一定對比性的特點(diǎn)．求解的關(guān)鍵是將不同天體表面處的重力加速度進(jìn)行類比,明確求重力加速度的多種方法,尋找參量隱含決定的因素．

北京市第十八中學(xué))