效用三支決策模型

張楠，姜麗麗，岳曉冬，周杰

(1. 煙臺(tái)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005； 2. 上海大學(xué) 計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)學(xué)院,上海 200444； 3. 中聯(lián)重科股份有限公司 麓谷工業(yè)園研發(fā)中心，湖南 長(zhǎng)沙 410205)

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效用三支決策模型

張楠1，姜麗麗1，岳曉冬2，周杰3

(1. 煙臺(tái)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005； 2. 上海大學(xué) 計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)學(xué)院,上海 200444； 3. 中聯(lián)重科股份有限公司 麓谷工業(yè)園研發(fā)中心，湖南 長(zhǎng)沙 410205)

風(fēng)險(xiǎn)型決策通常受主觀和客觀兩方面因素影響，決策過(guò)程中不僅需要遵從客觀存在的風(fēng)險(xiǎn)信息，而且需要發(fā)揮決策者的主觀能動(dòng)性。為了在決策過(guò)程中引入決策者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的主觀態(tài)度，本文把效用理論應(yīng)用于三支決策模型，通過(guò)將風(fēng)險(xiǎn)損失函數(shù)擴(kuò)展為效用函數(shù)提出了基于效用的三支決策模型。研究了效用與對(duì)象的概率之間的單調(diào)關(guān)系，給出了效用三支決策中正域效用、邊界域效用與負(fù)域效用的計(jì)算方法。最后，通過(guò)算例對(duì)提出的效用三支決策模型進(jìn)行了有效地分析。該模型是經(jīng)典三支決策模型的擴(kuò)展，為三支決策模型中風(fēng)險(xiǎn)的主觀量化研究提供了有益探索。

效用理論；三支決策；粗糙集；人工智能；風(fēng)險(xiǎn)決策

中文引用格式：張楠，姜麗麗，岳曉冬，等. 效用三支決策模型[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2016, 11(4): 459-468.

英文引用格式：ZHANG Nan， JIANG Lili， YUE Xiaodong， et al. Utility-based three-way decisions model[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2016, 11(4): 459-468.

在實(shí)際應(yīng)用中，由于決策信息的不精確或者不完備，人們很難簡(jiǎn)單地采用接受與拒絕兩種方式進(jìn)行決策。通過(guò)推廣兩支決策到三支決策，加拿大Regina大學(xué)的Yao提出了三支決策理論[1](three-way decisions, TWD)。三支決策理論將不承諾決策(延遲決策)作為信息貧乏不足以決定接受或者拒絕時(shí)的第3種決策方式。因?yàn)榭紤]到?jīng)Q策過(guò)程中的不確定性因素，三支決策提供了接受、拒絕與不承諾3種決策方式，更加符合人類的認(rèn)知模式。近年來(lái)，三支決策理論發(fā)展迅速，廣泛地應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)[2-9]、認(rèn)知計(jì)算[10-13]、數(shù)據(jù)挖掘[14-17]、模式識(shí)別[18]與人工智能[19-20]等研究領(lǐng)域。

針對(duì)經(jīng)典粗糙集模型缺乏容錯(cuò)能力，Yao[21]通過(guò)引入概率包含關(guān)系在1990年提出了決策粗糙集(decision-theoretic rough sets, DTRS)模型；Yu等[22]提出了一種基于決策粗糙集的聚類模式代價(jià)評(píng)估的方法；文獻(xiàn)[23]結(jié)合三支決策思想，提出了一種新的無(wú)標(biāo)記數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)模型TWD-SSL。該模型解決了部分標(biāo)記數(shù)據(jù)的屬性約簡(jiǎn)和分類學(xué)習(xí)問(wèn)題?？紤]到粗糙集理論中的正區(qū)域、負(fù)區(qū)域與邊界域形成的接受、拒絕與延遲3種決策方式，劉盾[24]系統(tǒng)介紹了基于粗糙集的三支決策模型的理論、方法與應(yīng)用；基于決策的最小風(fēng)險(xiǎn)；Jia等[25]給出了決策粗糙集模型下最小化決策風(fēng)險(xiǎn)的屬性約簡(jiǎn)定義并提出了一種啟發(fā)式的最小風(fēng)險(xiǎn)約簡(jiǎn)算法；Li等[26]定義了決策粗糙集的正域約簡(jiǎn)并提出了一種正區(qū)域約簡(jiǎn)的啟發(fā)式算法，該算法可以較好地保持屬性約簡(jiǎn)后正域的非減特征；Qian等[27]提出了多粒度決策粗糙集(multigranulation decision-theoretic rough sets, MDRS)。 多粒度決策粗糙集提供了一種多粒度粗糙集模型的泛化框架，許多現(xiàn)有的多粒度粗糙集模型可以從多粒度決策粗糙集模型中導(dǎo)出；通過(guò)擴(kuò)展單一代價(jià)損失矩陣到多代價(jià)損失矩陣，文獻(xiàn)[28]中提出了θ-決策粗糙集模型?；谔岢龅哪Ｐ停謩e給出了最小化與最大化的可能代價(jià)。定義了決策單調(diào)與代價(jià)標(biāo)準(zhǔn)兩種約簡(jiǎn)目標(biāo)，并給出了相應(yīng)的啟發(fā)式約簡(jiǎn)算法；于洪等[29]從決策粗糙集需要解決的幾個(gè)基本問(wèn)題出發(fā)，系統(tǒng)總結(jié)了國(guó)內(nèi)外決策粗糙集研究的現(xiàn)狀，分析了存在的挑戰(zhàn)并深入探討了未來(lái)發(fā)展的研究方向；結(jié)合了三支決策與形式概念分析，文獻(xiàn)[30]提出了三支概念與三支概念格，三支概念與三支概念格擴(kuò)展了經(jīng)典形式概念與概念格并為三支決策提供了一種新的計(jì)算模型。

決策過(guò)程是客觀存在與主觀發(fā)揮的結(jié)合體，不僅要遵從決策系統(tǒng)客觀存在的風(fēng)險(xiǎn)信息，而且需要考慮決策者關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，發(fā)揮決策者本身的主觀能動(dòng)性，使得決策模型更加符合現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題。效用[31]是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)抽象概念，用以度量決策者對(duì)決策方案的收益或者損失的直接反應(yīng)與感覺(jué)，是決策者自身價(jià)值觀在決策過(guò)程中的綜合體現(xiàn)，反映了決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。將效用值的概念引入三支決策模型，通過(guò)將風(fēng)險(xiǎn)損失函數(shù)擴(kuò)展為效用函數(shù)，提出了基于效用的三支決策模型(utility-based three-way decisions，UTWD)。效用三支決策模型可以有效的將決策者的主觀能動(dòng)性(風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度)考慮到三支決策模型中，是經(jīng)典三支決策模型的有益擴(kuò)展，并為三支決策模型中的主觀決策量化與度量提供了思路。

1　經(jīng)典三支決策模型

本節(jié)主要介紹Pawlak粗糙集模型及三支決策粗糙集模型的基本概念。對(duì)于近似空間(U,A)，A=C∪D且C∩D=?。其中U是論域，為一個(gè)有限非空對(duì)象集，C是條件屬性集，D是決策屬性集。論域U關(guān)于等價(jià)關(guān)系C的劃分記為π=U/C。[x]∈π表示由對(duì)象x在等價(jià)關(guān)系C下定義的等價(jià)類。設(shè)子集X?U，則X的上、下近似表示如下：

在Pawlak粗糙集中，由集合的交集非空和集合的包含來(lái)分別定義集合的上近似和下近似?；赬的上、下近似，可以把論域U劃分成3個(gè)互不相交的區(qū)域：正域POS(X)、邊界域BND(X)和負(fù)域NEG(X)，表示如下：

通過(guò)將概率引入Pawlak粗糙集中，形成概率粗糙集。令條件概率公式P(X|[x])=|X∩[x]|∕|[x]|表示一個(gè)對(duì)象以其屬于[x]為前提，同時(shí)又屬于X的條件概率。這樣便得到正域POS(X)、邊界域BND(X)、負(fù)域NEG(X)的概率形式的等價(jià)表示：

在Pawlak粗糙集中用1和0對(duì)3個(gè)域進(jìn)行劃分，但劃分標(biāo)準(zhǔn)過(guò)于嚴(yán)格，缺少一定的容錯(cuò)能力。為解決這個(gè)問(wèn)題，三支決策粗糙集引入一對(duì)閾值α和β來(lái)替代1和0，其中0≤β<α≤1。當(dāng)α=1，β=0時(shí)，便退化為Pawlak粗糙集。引入閾值(α,β)后，X的(α,β)-上、下近似表示如下：

與Pawlak粗糙集劃分相似，在三支決策粗糙集，基于X的(α,β)-上、下近似，得到正域POS(α,β)(X)，邊界域BND(α,β)(X)和負(fù)域NEG(α,β)(X)，分別表示如下：

閾值(α,β)可通過(guò)專家經(jīng)驗(yàn)給定或者根據(jù)損失函數(shù)進(jìn)行計(jì)算獲得。在三支決策中，正域?qū)?yīng)的規(guī)則稱為正規(guī)則，表示判定決策方案為接受；邊界域?qū)?yīng)的規(guī)則稱為邊界規(guī)則，表示判定決策方案為延遲；負(fù)域?qū)?yīng)的規(guī)則稱為負(fù)規(guī)則，表示判定決策方案為拒絕。

2　效用三支決策模型

2.1效用理論

人們往往根據(jù)事件的期望值進(jìn)行決策，但某些時(shí)候并不能真實(shí)反映現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題。如對(duì)于包含兩種狀態(tài)變量的兩種決策方案Γ1={0.5/50,0.5/(-6)}和Γ2={1/20,0/0}，其中0.5/50表示在狀態(tài)1下收益為50且狀態(tài)1發(fā)生的概率為0.5，0.5/(-6)表示在狀態(tài)2下收益為-6且狀態(tài)2發(fā)生的概率為0.5，方案Γ2類似說(shuō)明?？梢缘玫?，方案Γ1的期望為22，方案Γ2的期望為20。顯然方案Γ1的期望收益大于方案Γ2，依據(jù)期望收益最大準(zhǔn)則，方案Γ1將被采取。但實(shí)際中人們卻傾向采取方案Γ2，這是因?yàn)榉桨甫?收益較大并且不承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)。

風(fēng)險(xiǎn)型決策的結(jié)果通常會(huì)受到主客觀兩方面因素影響，不僅要遵從客觀存在的信息，而且要發(fā)揮決策者的主觀能動(dòng)性。效用便是決策者主觀意識(shí)的具體體現(xiàn)。效用值[31]是一抽象概念，表示所獲得的滿足程度，可用以度量決策者對(duì)決策方案附屬的收益或者損失的直接反應(yīng)與感覺(jué)，是決策者自身價(jià)值觀在決策過(guò)程中的綜合體現(xiàn)，反映了決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。

效用函數(shù)需滿足相應(yīng)公理體系，根據(jù)決策者關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，效用函數(shù)可分為風(fēng)險(xiǎn)中立型、風(fēng)險(xiǎn)喜好型和風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，如圖1所示。從收益觀點(diǎn)看，風(fēng)險(xiǎn)中立型效用曲線收益期望的最大效用與最大期望效用一致，對(duì)決策者而言無(wú)論是否有風(fēng)險(xiǎn)，都將選擇期望收益最大的方案。風(fēng)險(xiǎn)厭惡型效用曲線，任一收益的效用都大于期望效用，表明決策者偏于保守，不愿意冒風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)喜好型效用曲線，任一收益的效用都低于期望效用，為了達(dá)到最大期望效用，決策過(guò)程中決策者將選擇風(fēng)險(xiǎn)較大的方案。根據(jù)收益值與效用的關(guān)系，不同決策者將會(huì)選擇避開風(fēng)險(xiǎn)，冒險(xiǎn)還是僅參考客觀期望值，從而影響最終決策結(jié)果。實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，常采用混合型效用函數(shù)，如‘S’型效用函數(shù)。前期采用風(fēng)險(xiǎn)喜好型效用曲線，但當(dāng)達(dá)到一定收益后，則采用保守策略。

圖1　效用函數(shù)曲線Fig.1　The utility function curves

2.2基于效用理論的三支決策模型

在三支決策粗糙集模型基礎(chǔ)上，引入效用函數(shù)，即不同的決策動(dòng)作會(huì)產(chǎn)生不同的效用。最大期望效用Bayesian決策過(guò)程與傳統(tǒng)Bayesian風(fēng)險(xiǎn)決策過(guò)程最主要的區(qū)別是以效用函數(shù)代替損失函數(shù)，在決策過(guò)程中充分結(jié)合決策者自身關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。效用函數(shù)以實(shí)際損失值(或收益值)為自變量，其值域區(qū)間可歸約為[0，1]。當(dāng)損失值為0時(shí)(或收益最大)，此時(shí)效用最大，值為1；當(dāng)損失達(dá)到最大值(或收益最低)，此時(shí)效用最小，值為0，效用值將隨著損失值增大而單調(diào)下降。

對(duì)于二值分類問(wèn)題，三支決策粗糙集模型包含狀態(tài)集Ω=U/D={X,Xc}(D為決策屬性集)，分別表示對(duì)象屬于決策類X和不屬于決策類X；3種關(guān)于X的決策方案為λ={aP,aB,aN}，分別表示判定對(duì)象屬于正域POSπ(X)、邊界域BNDπ(X)和負(fù)域NEGπ(X)。不同狀態(tài)變量下采取不同決策方案的效用如表1所示。

表1　效用函數(shù)

其中，λij(i=P,B,N,j=P,N)表示對(duì)象屬于X、Xc狀態(tài)下采取不同決策方案aP、aB和aN的損失值，u(λij)(i=P,B,N,j=P,N)表示損失值λij對(duì)應(yīng)的效用值。u(λPP)、u(λBP)和u(λNP)分別表示在對(duì)象屬于X的狀態(tài)下采取決策方案aP、aB和aN時(shí)的效用值。u(λPN)、u(λBN)和u(λNN)分別表示在對(duì)象屬于XC的狀態(tài)下采取決策方案aP、aB和aN時(shí)的效用值。其中u(λPP)≥u(λBP)>u(λNP)，表示在[x]?X狀態(tài)下，將[x]判定為X正域的效用要大于將其判定為X邊界域的效用，進(jìn)一步大于將其判定為X負(fù)域的效用。u(λNN)≥u(λBN)>u(λPN)，表示在[x]?XC狀態(tài)下，將[x]判定為X負(fù)域的效用要大于將其判定為X邊界域的效用，進(jìn)一步大于將其判定為X正域的效用。

對(duì)于x∈U，[x]∈π采用3種決策方案aP、aB和aN的期望效用分別為

依據(jù)最大期望效用Bayesian決策準(zhǔn)則，選擇期望效用最大的決策方案作為最佳決策方案。效用三支決策模型的決策規(guī)則如下：

P) 若Ψ(aP|[x])≥Ψ(aB|[x])并且Ψ(aP|[x])≥ Ψ(aN|[x])，則判定[x]?POSπ(X);

B) 若Ψ(aB|[x])≥Ψ(aN|[x])并且Ψ(aB|[x])≥ Ψ(aP|[x])，則判定[x]?BNDπ(X);

N) 若Ψ(aN|[x])≥Ψ(aP|[x])并且Ψ(aN|[x])≥ Ψ(aB|[x])，則判定[x]?NEGπ(X)。

劉盾在文獻(xiàn)[24]中對(duì)三支決策粗糙集中的閾值關(guān)系進(jìn)行了相關(guān)研究。本文中，對(duì)于含有兩種狀態(tài)的決策系統(tǒng)，記P(X|[x])=P，則P(Xc|[x])=1-P。規(guī)則P)～N)可重寫，具體推導(dǎo)過(guò)程如下：

對(duì)于規(guī)則P)的第1個(gè)條件，將期望效用公式代入，可轉(zhuǎn)化為

同理，對(duì)于規(guī)則B)的第1個(gè)條件，將期望效用公式代入，可轉(zhuǎn)化為

對(duì)于規(guī)則N)的第1個(gè)條件，將期望效用公式代入，可轉(zhuǎn)化為

規(guī)則P)、B)和N)的第2個(gè)條件分別為上面推導(dǎo)的規(guī)則N)、P)和B)第1個(gè)條件的相反表示。規(guī)則P)、B)和N)的第2個(gè)條件可分別轉(zhuǎn)化為

因此，依據(jù)效用3支決策模型的決策準(zhǔn)則，規(guī)則P)～N)可簡(jiǎn)化為

P1) 若P(X|[x])≥αu并且P(X|[x])≥γu，則判定[x]?POSπ(X)

B1) 若P(X|[x])≥βu并且P(X|[x])≤αu，則判定[x]?BNDπ(X)

N1) 若P(X|[x])≤γu并且P(X|[x])≤βu，則判定[x]?NEGπ(X)其中αu、βu和γu分別為

由u(λPP)≥u(λBP)>u(λNP)和u(λNN)≥u(λBN)> u(λPN)，則αu∈(0,1]，βu∈[0,1)，γu∈(0,1)。進(jìn)一步通過(guò)變換可得：

若βu≠0，則有

Δ(αu)度量了在狀態(tài)[x]?X下由邊界域移動(dòng)到正域效用增加值與在狀態(tài)[x]?Xc下由邊界域移動(dòng)到正域效用減少值的比例；Δ(βu)度量了在狀態(tài)[x]?X下由邊界域移動(dòng)到負(fù)域效用減少值，與在狀態(tài)[x]?Xc下由邊界域移動(dòng)到負(fù)域效用增加值的比例；Δ(γu)度量了在狀態(tài)[x]?X下由正域移動(dòng)到負(fù)域效用減少值與在狀態(tài)[x]?Xc下由正域移動(dòng)到負(fù)域效用增加值的比例。Δ(αu)、Δ(βu)和Δ(γu)分別涉及兩種狀態(tài)下正域與邊界域、邊界域與負(fù)域和正域與負(fù)域間的轉(zhuǎn)換。不同決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度不同將導(dǎo)致獲得的效用函數(shù)不同，從而在相同客觀因素下得到的參數(shù)差異較大，影響最終的決策判定結(jié)果。

根據(jù)邊界域規(guī)則(B1)，設(shè)αu>βu，即

也就是說(shuō)，當(dāng)滿足條件

得到0≤βu<γu<αu≤1。上式條件也可表示為Δ(αu)<Δ(βu)，表示兩種狀態(tài)變量下正域與邊界域間轉(zhuǎn)換引起的效用值變化比例低于邊界域與負(fù)域間轉(zhuǎn)換引起的效用值變化比例。

當(dāng)存在兩種決策方案的期望效用同時(shí)達(dá)到最大，此時(shí)決策者將從兩種方案中選其一。通過(guò)使用決勝規(guī)則，當(dāng)P(X|[x])=αu時(shí)，劃分到正域和邊界域的期望效用同時(shí)達(dá)到最大，此時(shí)判定[x]?POSπ(X)；當(dāng)P(X|[x])=βu時(shí)，劃分到邊界域和負(fù)域的期望效用同時(shí)達(dá)到最大，此時(shí)判定[x]?NEGπ(X)。規(guī)則P1)～N1)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

P2) 若P(X|[x])≥αu，則[x]?POSπ(X)

B2) 若βu

N2) 若P(X|[x])≤βu，則[x]?NEGπ(X)在效用三支決策模型中，關(guān)于集合X?U的(αu,βu)-上、下近似可表示為

將單個(gè)對(duì)象劃分到正域、邊界域、負(fù)域分別會(huì)產(chǎn)生不同的效用。設(shè)p=P(X|[x])，對(duì)于任意屬性集A?C，單個(gè)對(duì)象劃分到X正域、邊界域、負(fù)域的效用分別表示如下：

1) 單個(gè)對(duì)象劃分到X正域的效用為

2) 單個(gè)對(duì)象劃分到X邊界域的效用為

3) 單個(gè)對(duì)象劃分到X負(fù)域的效用為

亦即，若將對(duì)象x劃分到正域，得到的效用等于其在狀態(tài)[x]?X和[x]?Xc下劃分到正域的效用與對(duì)應(yīng)概率的乘積之和；若將對(duì)象x劃分到邊界域，得到的效用等于其在狀態(tài)[x]?X和[x]?Xc下劃分到邊界域的效用與對(duì)應(yīng)概率的乘積之和；若將對(duì)象x劃分到負(fù)域，得到的效用等于其在狀態(tài)[x]?X和[x]?Xc下劃分到負(fù)域的效用與對(duì)應(yīng)概率的乘積之和。

給定一個(gè)決策表，對(duì)于任意屬性集A?C，有多個(gè)對(duì)象劃分到正域、邊界域和負(fù)域。正域效用、邊界域效用、負(fù)域效用分別表示如下：

式中：xi表示劃分到正域的對(duì)象，xj表示劃分到邊界域的對(duì)象，xk表示劃分到負(fù)域的對(duì)象。正域效用等于劃分到正域的所有對(duì)象的效用和。邊界域效用等于劃分到邊界域的所有對(duì)象的效用和。負(fù)域效用等于劃分到負(fù)域的所有對(duì)象的效用和。

UtilityA=

2.3效用與對(duì)象的概率之間的關(guān)系討論

在效用三支決策模型中，假設(shè)做出正確決策的效用最大，即u(λPP)=u(λNN)=1。效用隨著對(duì)象的概率變化會(huì)呈現(xiàn)3種情況，如圖2所示。

圖2　效用函數(shù)曲線Fig.2　The utility function curves

圖2中橫坐標(biāo)表示對(duì)象的概率p，縱坐標(biāo)表示決策的效用

Utility

(p)。一對(duì)閾值(α

u

,β

u

)將概率p的取值劃分成3個(gè)區(qū)域[0,β

u

]、(β

u

,α

u

)和[α

u

,1]，分別對(duì)應(yīng)對(duì)象劃分到負(fù)域、邊界域和正域。由對(duì)象的效用公式可知，每個(gè)區(qū)域中效用均隨概率呈線性變化。無(wú)論β

u

/(1-α

u

)與γ

u

/(1-γ

u

)是何種關(guān)系，當(dāng)p∈[0,β

u

]時(shí)，效用隨概率p的增加呈線性下降，說(shuō)明判定為負(fù)規(guī)則的概率(1-p)越小，效用越??；當(dāng)p∈[α

u

,1]時(shí)，效用隨概率p的增加呈線性上升，說(shuō)明判定為正規(guī)則的概率p越大，效用越大。當(dāng)p∈(β

u

,α

u

)時(shí)，效用隨概率p的增加呈現(xiàn)出3種不同的情況。即當(dāng)判定為邊界規(guī)則時(shí)，隨概率的增加，效用可能是增加、不變或減少。此時(shí)，效用的變化趨勢(shì)可通過(guò)判定β

u

/(1-α

u

)與γ

u

/(1-γ

u

)的關(guān)系獲得。具體推導(dǎo)過(guò)程如下：

由于u(λNP)-1<0，所以當(dāng)p∈[0,βu]時(shí)，效用隨概率增加呈單調(diào)下降。

當(dāng)p∈[αu,1]時(shí)，

由于1-u(λPN)>0，所以當(dāng)p∈[αu,1]時(shí)，效用隨概率增加呈單調(diào)上升。

當(dāng)p∈(αu,βu)時(shí)，效用可能隨概率增加呈單調(diào)上升、不變或下降。在p=αu，p=βu兩點(diǎn)的效用分別采用劃分到正域和負(fù)域的效用公式計(jì)算。在圖2(a)中，滿足以下條件

Utility(βu)

由于u(λNP)-1<0,1-αu>0,所以

對(duì)上式右側(cè)進(jìn)行變換得

所以可變換為

同理，在圖2(b)中，Utility(βu)=Utility(αu)，得

在圖2、3中，Utility(βu)>Utility(αu)，可得

可以看到，概率p的值靠近0和1時(shí)，效用增大，即確定性程度越大，效用越大；概率p的值靠近βu和αu時(shí)，效用減少，即不確定性程度越大，效用越小。

3　實(shí)例分析

為了較好地描述效用三支決策模型的有效性，給定一個(gè)決策表(如表2)進(jìn)行分析。該決策表的損失函數(shù)如表3所示。

表2　決策表

表3　損失函數(shù)

效用函數(shù)可采用Von Neumann-Morgenstern標(biāo)準(zhǔn)測(cè)定法，即通過(guò)詢問(wèn)打分的方式確定，但操作較為復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用中常采用函數(shù)擬合等方法。常見的效用函數(shù)有指數(shù)效用函數(shù)u(x)=a+be-cx(c≥0)、對(duì)數(shù)效用函數(shù)u(x)=aln(x+b)+c(x+b>0)和二項(xiàng)式類型效用函數(shù)u(x)=a(x-1/2ax2)+b(ax≤1)等。本文通過(guò)L-A擬合法，即設(shè)效用函數(shù)曲線滿足u(λ)=a(-λ+c)b，可得到如圖3所示的3種效用曲線。其中u(0)=1，u(3 500)=0，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型曲線令u(2 500)=0.5，風(fēng)險(xiǎn)喜好型曲線令u(1 000)=0.5，風(fēng)險(xiǎn)中立型曲線滿足u((0+3 500)/2)=0.5。參數(shù)b決定效用曲線類型，其中01分別對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡型、風(fēng)險(xiǎn)中立型和風(fēng)險(xiǎn)喜好型效用曲線。

圖3　效用擬合函數(shù)曲線Fig.3　The utility fitting function curves

可以看到，風(fēng)險(xiǎn)中立型的曲線斜率為常數(shù)，表明決策者在每減少1單位的損失時(shí)所得到的滿足感都相同，而且每增加1單位損失時(shí)的失望也相同。風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的曲線斜率隨損失值增加而增大，說(shuō)明擺脫更多的損失帶給決策者的滿足程度比放棄好的效用帶給決策者的失望程度大。風(fēng)險(xiǎn)喜好型的曲線斜率隨損失值減少而增大，說(shuō)明決策者更關(guān)心損失值較小時(shí)得到的滿足感。經(jīng)計(jì)算，3種效用擬合曲線下得到的效用函數(shù)如表4。由3種效用曲線下的效用函數(shù)計(jì)算得到的αu、γu和βu值如表5所示。

表4　3種模型下的效用函數(shù)

表5　效用擬合函數(shù)下得到的各參數(shù)值

分別通過(guò)屬性{c1}、{c2}、{c1,c2}和j5i0abt0b進(jìn)行劃分，結(jié)果如下：

U/{c1}={{x1,x4,x6,x9},{x2,x3,x5,x7,x8}},

U/{c2}={{x1,x2,x4,x7},{x3,x5,x8},{x6,x9}},

U/{c1,c2}={{x1,x4},{x2,x7},{x3,x5,x8},{x6,x9}},

U/j5i0abt0b={{x1},{x2,x3},{x4,x5,x6},{x7,x8,x9}}。

風(fēng)險(xiǎn)厭惡型中，

風(fēng)險(xiǎn)中立型中，

風(fēng)險(xiǎn)喜好型中，

經(jīng)驗(yàn)證風(fēng)險(xiǎn)中立型效用曲線下得到的參數(shù)值與三支決策粗糙集模型下的結(jié)果一致。若決策者采用風(fēng)險(xiǎn)中立型效用曲線，則效用三支決策模型將退化為三支決策粗糙集模型，因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)論是否有風(fēng)險(xiǎn)，決策者都僅根據(jù)客觀期望值進(jìn)行決策，不加入任何自身的主觀因素。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)(0.106 4, 0.702 5)?(0.193 5,0.655 2)?(0.391 2,0.546 7)，表示由風(fēng)險(xiǎn)厭惡型到風(fēng)險(xiǎn)喜好型，邊界域?qū)⒉粩嗫s小，而正域和負(fù)域?qū)U(kuò)大。這說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)厭惡型效用曲線下，較少的對(duì)象被確定分類，而較多的對(duì)象劃分到邊界域中，決策偏于保守，為了進(jìn)一步分類邊界域中的對(duì)象，決策者需要獲得更多信息或知識(shí)；風(fēng)險(xiǎn)喜好型效用曲線下，較多的對(duì)象被確定分類，而較少的對(duì)象包含于邊界域中，決策偏于冒險(xiǎn)，對(duì)于某些對(duì)象，即使在缺乏信息情況下，決策者亦敢于做出確定決策。

圖4　效用和概率之間的關(guān)系Fig.4　The relationships between the utility and probability

由表5計(jì)算可得，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型、風(fēng)險(xiǎn)中立型和風(fēng)險(xiǎn)喜好型3種模型都滿足βi/(1-αi)<γi/(1-γi)(i=a,n,l)的關(guān)系(如圖4所示)，其中，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型、風(fēng)險(xiǎn)中立型和風(fēng)險(xiǎn)喜好型的閾值分別為(βa,αa)、(βn,αn)和(βl,αl)。在這種情況下，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型決策產(chǎn)生的效用≥風(fēng)險(xiǎn)中立型決策產(chǎn)生的效用≥風(fēng)險(xiǎn)喜好型決策產(chǎn)生的效用。因此，通過(guò)效用值的大小關(guān)系可以判斷出決策者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的不同態(tài)度。

4　結(jié)論

本文將效用理論運(yùn)用到三支決策粗糙集模型中，并將風(fēng)險(xiǎn)損失函數(shù)擴(kuò)展為效用函數(shù)，提出了效用三支決策模型。結(jié)合文章的研究工作，有如下3點(diǎn)結(jié)論：

1)效用函數(shù)可以較合理的為決策主觀能動(dòng)性的量化提供度量標(biāo)準(zhǔn)；

2)決策的總效用為正域效用，負(fù)域效用與邊界域效用之和；

3)決策的效用與概率之間存在區(qū)間性單調(diào)關(guān)系。接下來(lái)，如何結(jié)合效用函數(shù)特性，構(gòu)建效用三支決策模型的合理屬性約簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)將是下一步主要研究工作。

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張楠，男，1979年生，講師，博士，主要研究方向?yàn)榇植诩?、認(rèn)知信息學(xué)與人工智能。

姜麗麗，女，1990年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榇植诩碚?、粒?jì)算。

Utility-based three-way decisions model

ZHANG Nan1， JIANG Lili1， YUE Xiaodong2， ZHOU Jie3

(1. School of Computer and Control Engineering, Yantai University, Yantai 264005, China; 2. School of Computer Engineering and Science, Shanghai University, Shanghai 200444, China; 3. Research and Development Center of Lugu Industrial Park, Zoomlion Heavy Industry Science & Technology Development Co., Ltd., Changsha 410205, China)

Risk decisions are usually influenced by subjective and objective factors. During the process of decision-making, decisions are based not only on the objective risk but also on the subjective activity of decision-makers. In order to introduce decision-makers’ subjective attitudes to risk, a model of utility-based three-way decisions (UTWD) was produced by extending the risk function to a utility function. The monotonic relationships between the utility and probabilities of objects in three regions were investigated systematically. The computational methods for positive region utility, boundary region utility, and negative region utility are also given. Finally, an example is given to substantiate the conceptual arguments. The model is an extension of three-way decisions and provides a beneficial investigation into subjective risk measures in three-way decision research.

utility theory; three-way decisions; rough sets; artificial intelligence; risk decisions

10.11992/tis.201606010

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160808.0831.028.html

2016-06-03. 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-08-08.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61403329, 61572418, 61502410, 61572419, 61573235);山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2013FQ020, ZR2015PF010, ZR2013FM011);山東省高等學(xué)?？萍加?jì)劃項(xiàng)目(J15LN09).

姜麗麗. E-mail：ytjianglili0919@163.com.

TP181

A

1673-4785(2016)04-0459-10