數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)方法探究

宋麗華

摘 要：數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯思維推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念的建立是解決數(shù)學(xué)問題的前提。本文從數(shù)學(xué)概念教學(xué)的引入、數(shù)學(xué)概念教學(xué)理解與記憶及數(shù)學(xué)概念的鞏固與運(yùn)用等方面來研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；概念教學(xué)

中圖分類號：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）15-248-02

一、引言（研究意義）

概念是反映客觀事物特有屬性的思維形式，是思維的最基本的單位。而數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)的精髓和靈魂，也是對數(shù)學(xué)研究對象的高度抽象和概括，它反映了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的掌握程度往往決定了數(shù)學(xué)能力和解決實(shí)際問題能力的高低。只有樹立了正確的概念，才能牢固地掌握基礎(chǔ)知識，概念不清楚就談不上進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

二、概念理解

概念的內(nèi)涵指的是對現(xiàn)實(shí)具用共性的事物形成的抽象的描述定義；而概念的外延指的是概念對現(xiàn)實(shí)世界事物的適用范圍。

新概念的引入，是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有的學(xué)生對概念理解膚淺，對數(shù)學(xué)概念的形成、概念的內(nèi)涵和外延不甚了解或一知半解，造成對概念的“假性理解”，產(chǎn)生概念的理解“偏差”。 可能就會(huì)出現(xiàn)與以上所述類似的前概念、替代概念以及錯(cuò)誤概念[1]。在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)充分利用書上的例題， 讓學(xué)生與教師組成學(xué)習(xí)共同體，經(jīng)過激烈地討論與協(xié)作，針對以上的非正確概念，抓住其“病因”所在，分析其產(chǎn)生根源，使學(xué)生達(dá)成對概念的共識。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，注重?cái)?shù)學(xué)概念內(nèi)涵的教學(xué)，忽視概念的外延，忽視學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，甚至灌輸孤立的數(shù)學(xué)概念。于是，學(xué)生會(huì)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)出現(xiàn)種種問題，這與沒有掌握好有關(guān)的數(shù)學(xué)概念有很大的關(guān)系。

瑞士心理學(xué)家皮亞杰曾說：“刺激輸入的過濾或改變叫同化；內(nèi)部圖式的改變，以適應(yīng)現(xiàn)實(shí)，叫做順應(yīng)” [2]。對于數(shù)學(xué)概念的具體模式我們可以通過以下三個(gè)方面來加以描述。

1、概念形成模式：具體例子或形成概念域（系）——觀察共性——抽象本質(zhì)——形成定義——強(qiáng)化概念——概念應(yīng)用。

操作程序：教師提供概念的正例——學(xué)生概括例子的共同、本質(zhì)的屬性——討論、觀察、思考——師生共同歸納實(shí)例的本質(zhì)屬性——給出定義——學(xué)生舉正例、教師舉反例——概念應(yīng)用——形成概念域（系）。

2、概念的同化模式：先行組織者——定義概念——強(qiáng)化概念——概念應(yīng)用——形成概念域（系）。

操作程序：呈現(xiàn)先行組織者——給出定義——概念的辨認(rèn)、剖析與同化——強(qiáng)化概念——概念應(yīng)用。

3、問題引申模式：問題情境——問題解決——引入概念——強(qiáng)化概念——概念應(yīng)用——形成概念域（系）。

操作程序：創(chuàng)設(shè)問題情境——引導(dǎo)學(xué)生解決問題——在解決問題中形成概念——強(qiáng)化概念——概念應(yīng)用。

三、概念教學(xué)的實(shí)施

杜賓斯基等人對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的研究表明，數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知過程經(jīng)歷4個(gè)階段：①Action（活動(dòng)）階段，通過活動(dòng)讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系；②Process（過程）階段，它是學(xué)生對活動(dòng)進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過程，學(xué)生在頭腦中對活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所有的性質(zhì)；③Object（對象）階段，它是通過前面的抽象，認(rèn)識到了概念的本質(zhì)，對其進(jìn)行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)思維中的具體對象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象去進(jìn)行新的活動(dòng)；④Scheme（圖式）階段，圖式的形成要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)一步完善，起初的圖式包括反映概念的特例、抽象活動(dòng)、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習(xí)，建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的關(guān)聯(lián)，在頭腦中形成綜合的心理圖式[3]。這個(gè)被稱為APOS的理論，不但清楚地指明了學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的層次，而且為數(shù)學(xué)教師如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了具體的策略。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確數(shù)學(xué)教學(xué)的課程目標(biāo)是：“獲得必要的數(shù)學(xué)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用[4]?！?/p>

概念課教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)概念數(shù)學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，提供機(jī)會(huì)，創(chuàng)造情景，善于提出問題，啟發(fā)學(xué)生積極、主動(dòng)思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)的能力，引導(dǎo)學(xué)法、培養(yǎng)習(xí)慣。正像波利亞所說：教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學(xué)生想了些什么，學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于“系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)”[5]。

例如，為了幫助學(xué)生較好地掌握極限的概念，我們無疑應(yīng)充分利用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，特別是，在對極限的概念進(jìn)行描述時(shí)， 我們不可避免地會(huì)用到“趨近”、“接近于”等日常用語——事實(shí)上，甚至連“極限”這一術(shù)語本身也是從自然語言中直接借用的——而這對于調(diào)動(dòng)學(xué)生從日常生活中積累起來的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)顯然是十分有益的。但正如心理學(xué)家維納所指出的，日常意義在數(shù)學(xué)中的這種“滲透”也可能造成一些消極的后果，比如就其日常意義而言，“極限”這一概念往往包含“不可超越”的涵義（就如“速度的極限”等）。類似地，當(dāng)我們用“趨近”、“接近于”等概念來對數(shù)列的極限進(jìn)行說明時(shí)，也很容易造成這樣的印象：作為一個(gè)過程，數(shù)列的項(xiàng)永遠(yuǎn)不可能與其極限相等。這就產(chǎn)生了如下極限概念的“替代概念”：極限值是一個(gè)無限接近的常數(shù)，且數(shù)列的所有各項(xiàng)均不可達(dá)到這個(gè)常數(shù)。

因此，在概念教學(xué)中，可以引用各種數(shù)學(xué)思維方式來理解數(shù)學(xué)概念，這樣不僅能提高對數(shù)學(xué)概念的記憶，而且能強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維模式，使學(xué)生真正從數(shù)學(xué)的角度來理解數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)的整個(gè)體系來理解、記憶數(shù)學(xué)概念。

總之，概念是最基本的思維方式，概念的教學(xué)及學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，值得好好地研究。因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，只有針對學(xué)生實(shí)際和概念的具體特點(diǎn)，注重引入，加強(qiáng)分析，重視訓(xùn)練，輔之以靈活多樣的教法，使學(xué)生準(zhǔn)確地理解和掌握概念，從而有效地提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1] 喻 平.《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》[M].南寧：廣西教育出版社，2004.

[2] 曹才翰，蔡金法.《數(shù)學(xué)教育學(xué)概論》[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002

[3] 鄭毓信、梁貫成編著.《認(rèn)知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育》[M ]. 上海：上海教育出版社， 2002

[4] 嚴(yán)士健等.《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》[M].南京：江蘇教育出版社，2007.

[5] 孫杰遠(yuǎn).《現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育》[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2004.