貝葉斯公式的妙用

周坤　黃恒　趙華　滕興虎

摘 要：本文利用貝葉斯公式對三門問題和潛艇區(qū)域搜索這兩類經(jīng)典問題進(jìn)行了巧妙求解，以便于幫助讀者理解貝葉斯公式在實(shí)際中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：貝葉斯公式；全概率公式；三門問題；潛艇區(qū)域搜索

貝葉斯公式是概率論中極為重要的公式，它以其靈活的特性與簡潔的表達(dá)方式，受到了廣泛重視。正確運(yùn)用貝葉斯公式，有助于把握隨機(jī)事件之間的相互影響，為我們解決復(fù)雜問題提供方便。然而，多數(shù)教材對貝葉斯公式的探討并不深入，公式的應(yīng)用形式也過于單調(diào)。讀者在學(xué)習(xí)過程中，通常只是簡單地套用公式，對于貝葉斯公式的本質(zhì)并沒有徹底理解。本文將結(jié)合三門問題和潛艇區(qū)域搜索問題，巧妙利用貝葉斯公式深入探究其本質(zhì)，幫助讀者更好地掌握與應(yīng)用貝葉斯公式。

一、三門問題

三門問題亦被叫做“蒙提霍爾悖論”，問題如下：

電視臺(tái)的一個(gè)抽獎(jiǎng)節(jié)目。臺(tái)上有三扇門，一扇后邊有汽車，其余兩扇后邊是山羊。主持人讓參與者任意選擇其中一扇門。然后，他將打開其余兩扇門中的一扇，參與者看到是山羊。這時(shí)，他讓參與者重選（主持人知道哪扇門后面有車）。也就是說，參與者可以在剩下的門中重新再選一扇。那么，參與者該不該選？

自從該問題1991年1月在美國《檢閱》雜志刊登發(fā)表后就引起了廣泛熱議，許多人給出了他們自己的解法，如基于條件期望的方法、窮列舉法等。下面我們采用貝葉斯公式對該問題的答案進(jìn)行一個(gè)新的解釋。

設(shè)三扇門分別為A門、B門、C門，假設(shè)抽獎(jiǎng)人打開A門，三扇門后面是車的概率都為1/3。主持人知道哪扇門后面有車，設(shè)主持人打開C門的概率為P（openC），基于電視臺(tái)利益的考慮，主持人打開的一定是羊門。

如果車在A門后面，則主持人有B、C兩種選擇，打開C門概率為：P（openC|A）=；如果車在B門后面，則主持人沒有選擇，只能打開C門，打開C門的概率為：P（openC|B）=1；如果車在C門后面，則主持人沒有選擇，絕對不能打開C門，打開C門的概率為：P（openC|C）=0。

因?yàn)锳，B，C三個(gè)事件是樣本空間車所在位置的一個(gè)劃分，根據(jù)全概率公式P（openC）=P（openC|A）P（A）+P（openC|B）P（B）+P（openC|C）P（C），解得P（openC）=。

根據(jù)貝葉斯公式，在主持人打開C門的條件下，A、B兩門后面是車的概率分別為：

因此，在主持人知道內(nèi)幕的情況下，抽獎(jiǎng)?wù)邞?yīng)該換門。若主持人不知道哪扇門后面有車，則同樣可運(yùn)用貝葉斯公式進(jìn)行求解。但在絕大多數(shù)情況下，主持人對車的位置是了解的，所以本文不再對主持人不知情的情況進(jìn)行詳細(xì)求解。

三門問題是一個(gè)極易產(chǎn)生“認(rèn)知錯(cuò)覺”的問題，對該問題進(jìn)行探討和解決，將有助于提高我們的邏輯思辨能力。本文從歸納推理的角度，利用貝葉斯公式對其進(jìn)行了再分析，從而獲得了三門問題的合理答案。

二、潛艇區(qū)域搜索問題

該問題改編自美國某潛艇失蹤的實(shí)例：一艘潛艇因意外事故在甲、乙、丙3個(gè)區(qū)域之一失蹤，相關(guān)部門判斷其概率分別為1/2，1/3，1/6。搜救人員對這些區(qū)域進(jìn)行搜索，若有潛艇，則每個(gè)區(qū)域發(fā)現(xiàn)潛艇的概率分別為1/2，2/3，1/4?，F(xiàn)在對甲區(qū)域搜索后未找到潛艇，求潛艇在甲、乙、丙3個(gè)區(qū)域失蹤的概率分別是多少。

解：設(shè)事件A、B、C分別為搜索甲、乙、丙區(qū)域未找到潛艇，事件D1、D2、D3分別為潛艇失蹤在甲、乙、丙3個(gè)區(qū)域，根據(jù)題意，得：

P（D1）=，P（D2）=，P（D3）=，則：

P（A| D1）=，P（A| D2）=1，P（A| D3）=1，由貝葉斯公式可得：

這是經(jīng)過一次預(yù)估后所得的結(jié)果，如果一個(gè)區(qū)域被搜索后，沒有發(fā)現(xiàn)潛艇的蹤跡，按照貝葉斯公式，這個(gè)區(qū)域潛艇存在的概率就會(huì)降低，即：

其中p是潛艇位于該區(qū)域的概率，q是潛艇在這個(gè)區(qū)域的條件下，它被搜索到的概率。如果此次搜尋未搜索到失蹤潛艇，則說明甲區(qū)域潛艇存在的概率會(huì)降低；若在第二次搜尋時(shí)，仍采取原預(yù)估概率，則搜索成功的概率會(huì)降低，所以我們以所求概率代替原預(yù)估概率，得到的新預(yù)估概率如下表所示：

若將區(qū)域擴(kuò)展至n個(gè)，則每次尋找時(shí)會(huì)挑選所有區(qū)域內(nèi)潛艇存在概率值最高的一個(gè)區(qū)域進(jìn)行搜索。如果在該區(qū)域內(nèi)沒有發(fā)現(xiàn)潛艇，可把利用貝葉斯公式求得的結(jié)果作為新預(yù)估概率，以新概率替換原有概率，然后搜索新概率中概率值最大的區(qū)域。周而復(fù)始，直到找到潛艇為止，其操作流程圖如下圖所示。

以上我們利用貝葉斯公式，將潛艇搜索這一較為復(fù)雜的問題進(jìn)行了巧妙的求解。通過對數(shù)據(jù)的反復(fù)更新，準(zhǔn)確地把握了各個(gè)事件間的相互影響關(guān)系，抓住了問題的關(guān)鍵。

三、結(jié)語

貝葉斯公式的意義在于，根據(jù)事件的結(jié)果可以探尋引起該事件發(fā)生的原因，即“執(zhí)果求因”。本文利用貝葉斯公式，對三門問題和潛艇區(qū)域搜索問題從新的視角進(jìn)行了再探究，詳細(xì)闡述了貝葉斯公式在求解現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜事件概率的妙用。此外，貝葉斯公式在投資、保險(xiǎn)、工程、生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域也都有著重要作用，能夠?yàn)樯a(chǎn)實(shí)踐提供有價(jià)值的決策支持。靈活掌握貝葉斯公式，定會(huì)給我們的決策帶來很大方便。

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