基于貝葉斯理論的激光陀螺可靠性評(píng)估

唐百勝，江騰飛

（海軍駐北京地區(qū)導(dǎo)彈配套設(shè)備軍事代表室，北京100854）

基于貝葉斯理論的激光陀螺可靠性評(píng)估

唐百勝，江騰飛

（海軍駐北京地區(qū)導(dǎo)彈配套設(shè)備軍事代表室，北京100854）

激光陀螺是一種由多種元器件組成的高可靠性、長(zhǎng)壽命的光電器件，在可靠性評(píng)估中，可以依據(jù)最小薄弱環(huán)節(jié)定理，基于傳統(tǒng)壽命試驗(yàn)，建立激光威布爾分布可靠性模型；但是由于其高可靠性的特點(diǎn)，在可靠性壽命試驗(yàn)中常常得不到失效數(shù)據(jù)，應(yīng)用傳統(tǒng)的參數(shù)評(píng)估方法不能對(duì)威布爾分布中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。貝葉斯原理得到各個(gè)時(shí)刻的失效概率，進(jìn)而建立參數(shù)的線性回歸模型對(duì)威布爾模型中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而得出激光陀螺的可靠性指標(biāo)，最后對(duì)此種方法進(jìn)行了驗(yàn)證。該方法中貝葉斯估計(jì)結(jié)合經(jīng)驗(yàn)信息大大減小了試驗(yàn)樣本數(shù)，且克服了傳統(tǒng)可靠性評(píng)估方法依賴(lài)失效數(shù)據(jù)的缺點(diǎn)，在工程應(yīng)用上具有很高的價(jià)值，結(jié)果表明了該方法的有效性。

激光陀螺；可靠性；貝葉斯；無(wú)失效數(shù)據(jù)

0　引言

隨著現(xiàn)代裝備可靠性水平迅速提高，長(zhǎng)壽命、高可靠性的產(chǎn)品越來(lái)越多，如何得到這類(lèi)產(chǎn)品的可靠性指標(biāo)也越來(lái)越受人關(guān)注。目前對(duì)產(chǎn)品可靠性評(píng)估有兩種方法：古典估計(jì)方法和貝葉斯估計(jì)方法。古典估計(jì)方法主要是以大樣本試驗(yàn)為前提，且依賴(lài)于失效數(shù)據(jù)或性能退化數(shù)據(jù)，不僅時(shí)間長(zhǎng)，而且破壞性大，成本高。激光陀螺作為一種新型的慣性器件近年來(lái)已經(jīng)成功應(yīng)用到了航天、航空等領(lǐng)域，主要優(yōu)點(diǎn)是可靠性高、壽命長(zhǎng)等，但是在研制等階段中可供試驗(yàn)的樣本少，無(wú)法通過(guò)大量可靠性試驗(yàn)來(lái)進(jìn)行可靠性評(píng)估，因此，古典估計(jì)方法難以對(duì)其可靠性進(jìn)行有效的估計(jì)［1-2］。

貝葉斯估計(jì)是一種結(jié)合先驗(yàn)信息，只需少量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)便可更新得到后驗(yàn)信息，大大減小了試驗(yàn)樣本數(shù)的估計(jì)方法；同時(shí)，它可以有效處理無(wú)失效數(shù)據(jù)情況下的可靠性數(shù)據(jù)分析，更是節(jié)約了試驗(yàn)時(shí)間和費(fèi)用。因此，相比于古典估計(jì)方法，貝葉斯估計(jì)方法更適合用于長(zhǎng)壽命、高可靠性產(chǎn)品的可靠性評(píng)估。目前，貝葉斯評(píng)估方法已在航天、測(cè)控等領(lǐng)域有了成功的應(yīng)用，并取得了一些成果。

1　激光陀螺可靠性模型

1.1激光陀螺的失效模式

本文研究的激光陀螺結(jié)構(gòu)如圖1所示。激光陀螺由腔體、抖動(dòng)機(jī)構(gòu)、陰陽(yáng)電極、合光棱鏡、球面鏡、平面鏡、壓電陶瓷（PZT）、陀螺信號(hào)放大與處理電路等部分組成。激光陀螺在工作時(shí)，陀螺高壓電路給陰陽(yáng)電極提供高壓用以點(diǎn)亮氦氖氣體，產(chǎn)生激光。這樣逆、順兩方向的激光在腔體內(nèi)經(jīng)過(guò)鏡面的反射進(jìn)行傳輸，在合光棱鏡處進(jìn)行合光，形成干涉條紋，干涉條紋是移動(dòng)的，通過(guò)檢測(cè)每秒的干涉條紋數(shù)，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換可以計(jì)算角速率，經(jīng)過(guò)陀螺信號(hào)放大電路的放大與處理可以得到需要的角速率。結(jié)構(gòu)示意圖中的抖動(dòng)機(jī)構(gòu)可以減少陀螺通過(guò)鎖區(qū)的時(shí)間，壓電陶瓷和平面鏡是用于對(duì)陀螺的腔長(zhǎng)進(jìn)行控制［3］。

激光陀螺的性能指標(biāo)有光強(qiáng)、壓電陶瓷電壓、百秒滑動(dòng)曲線等，任何一種性能指標(biāo)出現(xiàn)異常都表示陀螺失效。根據(jù)激光陀螺的結(jié)構(gòu)和組成，其元器件可以分為有源器件和無(wú)源器件兩種，主要失效模式有以下兩種：

（1）有源器件的失效模式

激光陀螺的有源器件為抖動(dòng)機(jī)構(gòu)、電極和陀螺信號(hào)放大與處理電路，有源器件的失效模式主要有兩種：一個(gè)是由于電氣原因（靜電或供電浪涌等）導(dǎo)致器件損傷或失效；另一個(gè)是由于工藝原因引起器件受到機(jī)械性損傷乃至折斷而失效。

（2）無(wú)源器件的失效模式

激光陀螺的光學(xué)無(wú)源器件為平面鏡、合光棱鏡、球面鏡、腔體、壓電陶瓷等。無(wú)源器件的失效模式主要有兩種：一是由于受機(jī)械沖擊使壓電陶瓷、球面鏡、平面鏡、合光棱鏡碎裂或出現(xiàn)相對(duì)于腔體的位移而失效；二是由于震動(dòng)和沖擊，致使腔體破裂導(dǎo)致氦氖氣體泄露，影響陀螺點(diǎn)亮或?qū)е录す馔勇莨β氏陆担绊懫鋲勖氖Ｊ剑?］。

圖1　激光陀螺結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1　Structure diagram of laser gyro

1.2激光陀螺可靠性模型

前面分析了激光陀螺的失效模式，根據(jù)激光陀螺的基本結(jié)構(gòu)及各部件的作用，可以認(rèn)為其可靠性框圖為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

由圖2可知，激光陀螺中的可靠性主要受到有源器件的影響。在電工產(chǎn)品的可靠性研究中，大多假設(shè)有源器件的失效分布類(lèi)型為單參數(shù)指數(shù)分布，也有些研究顯示某些電工產(chǎn)品的失效類(lèi)型分布為威布爾分布，指數(shù)分布此時(shí)可以看成是威布爾分布的一種特例，并且威布爾分布具有擬合數(shù)據(jù)能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，其失效率函數(shù)有三種形狀（浴盆曲線）即：隨時(shí)間增加而減少的、常數(shù)、隨時(shí)間增加而增加的，分別對(duì)應(yīng)于浴盆曲線的三個(gè)階段，更符合產(chǎn)品失效的實(shí)際［5］。同時(shí)，串聯(lián)的形式可靠性評(píng)估中，其失效服從最小薄弱環(huán)節(jié)定理，因此選擇威布爾分布作為激光陀螺的可靠性分布模型。

圖2　激光可靠性框圖Fig.2　Reliability diagram of laser gyro

2　激光陀螺失效率的貝葉斯估計(jì)

2.1激光陀螺失效率先驗(yàn)分布

在威布爾分布下，假設(shè)激光陀螺的壽命為t，則有其壽命分布為：

其中，m為形狀參數(shù)，衡量壽命的離散程度；η為尺度參數(shù)，又稱(chēng)特征壽命［6-7］。

由此可得激光陀螺在任意時(shí)刻t的失效率為：

激光陀螺在任意時(shí)刻t的可靠度為：

記G（t）=-lnR（t）=tm/η，由函數(shù)的凹凸性可得進(jìn)而可得 R（ti）≥即激光陀螺在任意時(shí)刻ti的失效率pi滿足：

根據(jù)工程實(shí)際中對(duì)特定時(shí)刻tk激光陀螺的失效概率pk的要求給出pk的上界λk，并?。?，λk］上的均勻分布作為pk的先驗(yàn)分布，即：

由式（4）可建立激光陀螺在ti時(shí)刻的失效概率pi與tk時(shí)刻的失效概率pk的保守關(guān)系式如下：

因此激光陀螺在ti時(shí)刻的失效概率pi的先驗(yàn)分布為：

2.2激光陀螺無(wú)失效壽命試驗(yàn)

激光陀螺是高可靠性產(chǎn)品，要想得到其失效數(shù)據(jù)要耗費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間，成本太高。本文采用常溫下的定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，得到激光陀螺的無(wú)失效數(shù)據(jù)。

在k次定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)中，設(shè)截尾時(shí)刻分別為t1，t2，...，tk（t1＜t2＜...＜tk），相應(yīng)的試驗(yàn)樣品數(shù)為n1，n2，...，nk，結(jié)果所有樣品無(wú)一失效，稱(chēng)（ti，ni）i=1，2，...，k為無(wú)失效數(shù)據(jù)。記si=ni+ni+1+...+nk表示到ti時(shí)刻，共有si套樣品參加試驗(yàn)，且全部沒(méi)有失效，因此失效數(shù)據(jù)也可記為（ti，si）i=1，2，...，k。

試驗(yàn)中8套激光陀螺在常溫下分別正常工作，在工作到1000h時(shí)拿出2套激光陀螺進(jìn)行檢測(cè)，2000h時(shí)從剩下的激光陀螺中拿出1套進(jìn)行檢測(cè)，3000h時(shí)又拿出2套，4000h時(shí)拿出1套，5000h時(shí)對(duì)剩下的2套進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果所有檢測(cè)激光陀螺都未失效。因此，得到如表1所示的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表1　無(wú)失效壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table1　Test data of zero failure life

2.3激光陀螺失效率的貝葉斯估計(jì)

由試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，在ti時(shí)刻，有si個(gè)產(chǎn)品均未出現(xiàn)失效，此時(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)為：

由貝葉斯公式可得激光陀螺失效概率pi的后驗(yàn)分布為：

以期望值作為pi的貝葉斯估計(jì)有：

由式（10）以及表1中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，取λk= 0.01（即5000h的失效率上界），計(jì)算得到各時(shí)刻失效率pi的貝葉斯估計(jì)值，如表2所示。

表2　失效率的貝葉斯估計(jì)值Table 2　Values of failure rate under Bayesian estimation

3　激光陀螺可靠性估計(jì)和仿真

3.1激光陀螺可靠性模型參數(shù)估計(jì)

在上述得到的各時(shí)刻激光陀螺失效率估計(jì)值的基礎(chǔ)上，利用配分布曲線法擬合出失效率曲線，并用最小二乘法估算出模型參數(shù)［8］。

令yi=ln［-ln（1-pi）］，xi=lnti，得：

利用加權(quán)最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，令：

即激光陀螺可靠度的估計(jì)為：

3.2激光陀螺可靠性模型仿真與分析

對(duì)于上述得到的激光陀螺可靠度函數(shù)，采用Matlab仿真了其曲線，如圖3所示。

圖3　激光陀螺可靠度曲線Fig.3　Reliability curve of laser gyro

從圖3可以看出，激光陀螺在開(kāi)始很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)可靠度一直為1，在105h時(shí)其可靠度為0.9，這也是我們前面的定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)得到無(wú)失效數(shù)據(jù)的原因。隨著時(shí)間的增加，其可靠度以指數(shù)形式下降，最后再緩慢減小直至為零，即完全失效，可靠度曲線是符合實(shí)際的［9-10］。

由估計(jì)得到的激光陀螺可靠度函數(shù)，我們計(jì)算出各時(shí)間點(diǎn)激光陀螺的可靠度和失效率如表3所示。

表3　激光陀螺可靠度、失效率估計(jì)值Table 3　The estimate of laser gyro reliability and laser gyro failure

顯然，此處的結(jié)果與表2中由試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)得到的結(jié)果相差很小，且激光陀螺在10000h和100000h的可靠度也與實(shí)際相符，故此激光陀螺可靠度函數(shù)是合理的。

3.3穩(wěn)健性分析

在本文中，我們根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，選擇了激光陀螺在工作5000h后的最大失效率為λk=0.01，該值的選擇完全憑經(jīng)驗(yàn)，具有一定的主觀性，對(duì)于同樣的產(chǎn)品不同的人選擇的λk值會(huì)有所不同，而對(duì)同一產(chǎn)品，我們需要得到相同的壽命估計(jì)，因此，要求計(jì)算方法必須具有較好的穩(wěn)健性，以保證在λk發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，計(jì)算結(jié)果不發(fā)生較大的改變。為說(shuō)明λk的選取對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的影響，我們分別取λk=0.01，0.015，0.02，0.025計(jì)算激光陀螺的可靠性。計(jì)算結(jié)果如表4所示。

這樣我們得到了不同的λk所對(duì)應(yīng)的四種激光陀螺可靠度函數(shù)，為便于觀察，我們把這四條可靠度曲線在同一對(duì)數(shù)坐標(biāo)中畫(huà)出，如圖4所示。

表4　不同的λk所對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值Table 4　The estimate of parameter under differentλk

圖4　不同的λk所對(duì)應(yīng)的激光陀螺可靠度曲線Fig.4　Reliability curve of parameter under differentλk

由圖4可以看出，不同的λk所對(duì)應(yīng)的激光陀螺可靠度曲線走勢(shì)一致，說(shuō)明λk的變化，對(duì)參數(shù)m?和η?的估計(jì)，以及激光陀螺可靠性指標(biāo)的影響不大。由此可見(jiàn)，本方法具有較好的穩(wěn)健性。

4　結(jié)論

本文針對(duì)激光陀螺用激光陀螺高可靠性、長(zhǎng)壽命的特點(diǎn)提出了無(wú)失效數(shù)據(jù)下基于貝葉斯理論的可靠性評(píng)估方法，通過(guò)分析激光陀螺失效模式給出了威布爾分布作為其壽命分布，結(jié)合先驗(yàn)信息和少量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)出了可靠性模型參數(shù)，并通過(guò)仿真分析說(shuō)明所得激光陀螺可靠性模型是合理的，且算法具有較好的穩(wěn)健性。為實(shí)際應(yīng)用中激光陀螺及慣導(dǎo)系統(tǒng)的可靠性評(píng)估提供了依據(jù)。但處理先驗(yàn)信息相對(duì)保守，有待進(jìn)一步研究得出更精確的可靠性模型。

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ReliabilityAssessment of Laser Gyroscope Based on Bayesian Theory

TANG Bai-sheng，JIANG Teng-fei
（The Navy Military Representative Office of Missile Equipment in Beijing，Beijing 100854）

The laser gyroscope is a kind of high reliability，long life photovoltaic device which is composed of a variety of components.In the reliability evaluation，the Weibull distribution model is established as the reliability model of the erbium-doped fiber laser in accordance with the smallest weak link theorem，which is based on the traditional life test.However，due to its characteristics of high reliability，the failure data is usually not gotten from the reliability life test.So the traditional parameter estimation method can’t estimate the unknown parameters of the Weibull distribution. The principle of Bayesian is applied to get the probability of failure of each moment，and then is used to estimate the unknown parameters in the Weibull model by establishing the parameters of the linear regression model，to arrive at the reliability index of laser gyroscope.Finally，this method is verified.The method greatly decreases the number of test samples because of Bayesian estimation has taken advantage of experience information，and it overcomes the shortcoming of relying on failure data when using traditional reliability assessment methods.So it has great value on project application.

laser gyroscope；reliability；Bayesian；zero failure data

V241.5+58

A

1674-5558（2016）02-01106

10.3969/j.issn.1674-5558.2016.02.010

2015-04-17

唐百勝，男，碩士，工程師，研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。