關(guān)于兩類m-增生算子族公共零點的鄰近點算法

李沙沙, 曾六川

(上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,上海 200234)

?

關(guān)于兩類m-增生算子族公共零點的鄰近點算法

李沙沙, 曾六川

(上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,上海 200234)

對于實Hilbert空間中兩類m-增生有限算子族,給出了尋求它們公共零點的顯式迭代算法,并進一步證明了顯式迭代序列強收斂于這兩類m-增生算子族的唯一公共零點.

m-增生; 非擴張映像; 顯式迭代算法; 零點; 變分不等式; 不動點

0　引　言

(1)

映像T:C→C稱為壓縮的,如果?α∈(0,1)使得

(2)

此時T也稱為α-壓縮映像.用∑C記滿足不等式(2)的映像集.映像A:D(A)→R(A)?H稱為增生映像,若

當(dāng)R(I+λA)=H(?λ>0)時,A稱為m-增生映像.記A-10為A的零點集,即A-10={x∈D(A):Ax=0}.對r>0,設(shè)JrA是A的預(yù)解算子,即JrA=(I+rA)-1. 則JrA是非擴張映像且F(JrA)=A-10.增生算子作為非線性算子的重要類,對它的研究興趣主要源于它與發(fā)展問題的固定聯(lián)系,熟知的一些重要的物理問題可以通過初值問題建模

(3)

其中A是m-增生映像.若x(t)依賴于t,則上式(3)可化為

(4)

其中(4)的解對應(yīng)于(3)的平衡點.因此在過去的幾十年里,大量的研究者已經(jīng)致力于研究方程(3)的近似解.而增生算子理論中早期最重要的一個結(jié)果還是歸功于Browder[1].

近年來越來越多的研究者將變分不等式問題與增生算子問題相結(jié)合.變分不等式問題,即尋找x*∈C,滿足

(5)

若序列{αn},{βn},{?n}?(0,1)且{rn}?(0,+∞)滿足如下條件:

則{xn}強收斂到p0∈D,其中p0是如下變分不等式的唯一解:

最近Yuan和Cho[4]考慮了實自反Banach空間中一種含有兩個誤差項的新型迭代格式并得到了強收斂定理.

定理 0.2[4]設(shè)E是具有一致Gteaux可微范數(shù)的實自反Banach空間,A是E的m-增生算子,設(shè)是凸集且具有正規(guī)結(jié)構(gòu).設(shè)f:C→C是α-壓縮映像.數(shù)列{αn},{βn},{γn},{δn}?(0,1)且αn+βn+γn+δn=1,?n≥0.設(shè)QC:E→C是太陽非擴張保核收縮映像,{xn}由下列方式生成:

(6)

其中,{en}是E中序列,{gn}是E中有界序列,{rn}是E中數(shù)列,Jrn=(I+rnA)-1,A-10≠?,且上述序列滿足如下限制條件:

這是在Yuan和Cho[4]基礎(chǔ)上的改進及推廣.

1　預(yù)備知識

設(shè)H是實Hilbert空間,對?x∈H,C中存在唯一最近的點定義為PCx,使得

設(shè)PC:H→C是度量投影,易知PC具有下列表征:

(i) 〈x-PCx,PCy-y〉≥0,?x,y∈H;

(iv)xn?x0,PCxn→y0?PCx0=y0.

為了證明強收斂定理,需要如下一些引理.

引理 1.1[5]設(shè)H是Hilbert空間,A是m-增生算子,對λ,μ>0,x∈H有

其中,JλA=(I+λA)-1,JμA=(I+μA)-1.

引理 1.2[6]設(shè){an}是非負序列滿足條件:

引理 1.3[7]設(shè){xn},{yn}是Banach空間的有界序列,{βn}?(0,1) 且

設(shè)xn+1=(1-βn)yn+βnxn,～?n≥1,滿足：

引理 1.4[8]設(shè)C是Hilbert空間H中的非空閉凸子集.T:C→C是非擴張映像且F(T)≠?,f∈∑C,其中∑C是一族非擴張映像集,則定義如下zt

2　主要結(jié)果

下面給出了在實Hilbert空間中尋求兩族非擴張映像的公共零點一般顯式迭代算法,以及參數(shù)序列適當(dāng)?shù)南拗茥l件,并證明了算法的強收斂性.

(7)

其中,{en}是H的序列,{gn}是H的有界序列,{rn}是H的正數(shù)列,且上述序列滿足如下限制條件:

(iv)rn≥>0,?r.

證明定理的證明分幾步來完成.

(8)

類似可得

(9)

(10)

(11)

據(jù)限制條件(ii)知{zn}有界.則

(12)

歸納并由引理1.3可得

(13)

將(13)帶入(12)可得

(14)

(15)

由引理(1.3)知

(16)

注意到

結(jié)合(16)知

(17)

即

(18)

注意到

(19)

根據(jù)限制條件(iii)與(18)結(jié)合(19)可得

(20)

設(shè)rn≥r>0.類似于(13)知

(21)

對rn≤r,則

(22)

結(jié)合(21)與(22)知

(23)

(24)

推得

由(24)可知

(25)

則?ε>0,?λ>0, 對?t∈(0,λ)有

易知

由ε的任意性及(24)可知

即知

(26)

由此得知

即

(27)

本文作者對實Hilbert空間中兩類m-增生有限算子族,給出了尋求它們公共零點的顯式迭代算法,在適當(dāng)?shù)臈l件下,并進一步證明了顯式迭代序列強收斂于這兩類m-增生算子族的唯一公共零點,給出的結(jié)果是對先前和最近的文獻中一些相應(yīng)的結(jié)果的改進和推廣.

[1]Browder F E.Nonlinear mappings of nonexpansive and accretive type in Banach spaces [J].Bull Am Math Soc,1967,73:875-882.

[2]Zhou H Y,Wang P.A simpler explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces [J].J Optim Theory Appl,2013,doi:10.1007/s10957-013-0470-x.

[3]Wei L,Tan R L.Strong and weak convergence theorems for a common zeros of a finite accretive mappings [J].Fixed Point Theory & Application,2014(1):77,1-17.

[4]Yuan Q,Cho Y C.Proximal point algorithms for zero points of nonlinear operators [J].Fixed Point Theory & Application,2014(1):42,1-11.

[5]Barbu V.Nonlinear semigroups and differential equations in banach space [J].Editura Academiei Repubilcii Socialiste Romania,1976,2(1):1-6.

[6]Liu L.Ishikawa-type and Mann-type iterative processes with errors for constructing solutions of nonlinear equations involving m-accretive operators in Banach spaces [J].Nonlinear Anal,1998,34:307-317.

[7]SuzukiI T.Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces [J].Fixed Point Theory Appl,2005,MR2172156:103-123.

[8]Xu H K.Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings [J].J Math Anal Appl,2004,298:279-291.

(責(zé)任編輯：馮珍珍)

A proximal point algorithm for the common zero point of twotypes of m-accretive operators

LI Shasha, ZENG Luchuan

(College of Mathematics and Science,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

A proximal point algorithm is given for the common zero point of two types ofm-accretive operators in a real Hilbert space.Strong convergence theorems of zero point based on this algorithm are established and proved.

m-accretive operator; nonexpansive mapping; explicit iterative scheme; zero point; variational inequality; fixed point

10.3969/J.ISSN.1000-5137.2016.04.003

2014-06-20

上海市優(yōu)秀學(xué)術(shù)帶頭人計劃(15XD1503100)

曾六川,中國上海市徐匯區(qū)桂林路100號,上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,郵編:200234,E-mail:zenglc@shnu.edu.cn

O 177.91

A

1000-5137(2016)04-0402-09