網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的事件觸發(fā)與量化控制協(xié)同設計

馬巧利，周 川，陳蘭浪（南京理工大學自動化學院，江蘇　南京210094）

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的事件觸發(fā)與量化控制協(xié)同設計

馬巧利，周 川，陳蘭浪
（南京理工大學自動化學院，江蘇南京210094）

針對資源受限的離散時間網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，提出一種基于性能優(yōu)化的事件觸發(fā)和量化控制協(xié)同設計方法。該方法主要通過事件觸發(fā)降低網(wǎng)絡帶寬占用，采用帶有縮放因子的動態(tài)量化器降低量化誤差的影響，并將該網(wǎng)絡控制系統(tǒng)建模成具有不確定參數(shù)的離散時間切換系統(tǒng)；根據(jù)穩(wěn)定性和二次性能指標要求，利用分段李雅普諾夫函數(shù)和線性矩陣不等式技術將性能指標最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為具有矩陣不等式約束的優(yōu)化問題，給出了保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且二次性能指標最小的事件觸發(fā)器參數(shù)、動態(tài)量化器可調(diào)參數(shù)及控制器增益協(xié)同設計方法。最后，通過仿真驗證了所提方法的有效性。

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)；事件觸發(fā)器；量化控制；二次性能指標；協(xié)同設計

網(wǎng)址：www.sys-ele.com

0 引 言

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（networked control system，N CS）因具有易擴展、成本低、連接線少等諸多優(yōu)點，得到了深入的研究與廣泛應用。然而，網(wǎng)絡控制系統(tǒng)也存在著數(shù)據(jù)丟包、延時、帶寬受限等問題，從而影響到控制系統(tǒng)的性能。針對帶寬受限問題，通過引入事件觸發(fā)機制減少信息傳輸次數(shù)，可降低帶寬占用以提高網(wǎng)絡服務性能。因而，事件觸發(fā)機制的設計成為解決網(wǎng)絡控資源受限問題的重要途徑之一。

事件觸發(fā)機制因其“按需傳輸”的特性，在帶寬受限的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中得到廣泛研究［1-7］。文獻［1］針對具有通信時延和數(shù)據(jù)丟包的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，給出了非理想通信條件下保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的事件觸發(fā)機制和H∞控制器協(xié)同設計的方法。文獻［2-4］針對網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中狀態(tài)不完全可測情況，研究了基于事件觸發(fā)的輸出反饋控制問題。文獻［5-6］針對帶有擾動的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，分別設計了使系統(tǒng)有界穩(wěn)定的事件觸發(fā)條件和使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定并具有H∞性能指標的事件觸發(fā)條件和控制器增益。文獻［7］針對一類連續(xù)時間非線性系統(tǒng)，基于系統(tǒng)狀態(tài)和最優(yōu)預測狀態(tài)間的誤差，給出了保證系統(tǒng)有界穩(wěn)定的事件觸發(fā)模型預測控制算法。該算法通過降低優(yōu)化問題的求解頻率節(jié)約了計算資源。文獻［8］針對分布式事件觸發(fā)控制系統(tǒng)，針對每個傳感器單獨設計事件觸發(fā)條件，并利用啟發(fā)式算法實現(xiàn)了事件觸發(fā)參數(shù)的在線自適應調(diào)整。針對網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的性能優(yōu)化問題，文獻［9］基于二次性能指標最優(yōu)研究了保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定和二次性能指標最小的調(diào)度器和控制器的協(xié)同設計方法。然而，網(wǎng)絡控制系統(tǒng)作為一類離散數(shù)字控制系統(tǒng)通常要采用量化器及量化控制，上述研究結果未考慮網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的量化問題。針對網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中的量化問題，文獻［10-12］采用靜態(tài)量化器，給出了保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的事件觸發(fā)條件和控制器增益協(xié)同設計方法。為了減小靜態(tài)量化器的量化誤差，帶有動態(tài)量化器的量化控制問題得到了廣泛研究。文獻［13］提出了一種在線更新量化器參數(shù)的控制策略，并使系統(tǒng)具有H∞性能指標。文獻［14-15］分別針對線性、非線性系統(tǒng)研究了時變量化器作用下的的量化控制問題，通過調(diào)整量化誤差界使得系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。針對另一種由靜態(tài)量化器和縮放因子聯(lián)合構成的動態(tài)量化器，文獻［16］研究了線性系統(tǒng)的量化輸出控制問題，聯(lián)合設計了使系統(tǒng)穩(wěn)定動的態(tài)量化器和輸出反饋控制器。文獻［17］針對一類帶有非線性干擾的線性系統(tǒng)的量化反饋問題，通過改造水平-中心型均勻量化器設計了使量化誤差指數(shù)趨于零的量化策略，并給出了保證系統(tǒng)輸入-狀態(tài)穩(wěn)定（input-to-state stability，ISS）穩(wěn)定的充分條件。以上研究僅單一考慮了保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的觸發(fā)機制或量化器的設計及量化控制問題。為進一步提高網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的綜合性能，降低設計的保守性，本文將在已有的研究基礎上尋求使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并具有最小二次性能指標的觸發(fā)器、動態(tài)量化器和控制器協(xié)同設計方法。

本文主要工作和貢獻是針對一類資源受限的離散時間網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，提出一種基于性能優(yōu)化的事件觸發(fā)機制和量化控制協(xié)同設計方法。該方法通過事件觸發(fā)來降低網(wǎng)絡帶寬占用并用動態(tài)量化器減少量化誤差，建立網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的離散時間切換系統(tǒng)模型，利用分段李雅普諾夫函數(shù)和線性矩陣不等式（linear matrix inequality，L MI）技術，給出使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并具有最小二次性能指標的事件觸發(fā)參數(shù)、控制器增益和動態(tài)量化器參數(shù)的協(xié)同設計策略。

1 問題描述

考慮一類離散時間線性時不變網(wǎng)絡控制系統(tǒng)：

式中，x（k）∈Rn，u（k）∈Rm，y（k）∈Rn分別為被控對象的狀態(tài)變量、控制輸入、輸出變量；A，B，C均為適維矩陣。

圖1 網(wǎng)絡控制系統(tǒng)結構

假設1 傳感器為時間驅(qū)動，采樣周期為h，控制器和執(zhí)行器均為事件驅(qū)動，且數(shù)據(jù)傳輸采用單包傳輸。

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的結構如圖1所示，系統(tǒng)在每個采樣時刻的采樣狀態(tài)記為x（k）（k=0，1，2，…）。事件觸發(fā)器根據(jù)觸發(fā)條件判斷該采樣狀態(tài)是否需要經(jīng)網(wǎng)絡傳輸。（k）表示k時刻經(jīng)過觸發(fā)器之后的傳輸狀態(tài)，（k）表示經(jīng)過量化器（·）作用后的狀態(tài)信息。（k）和u（k）分別表示經(jīng)過量化器（·）前后的控制輸入。

事件觸發(fā)條件設計如下：

式中，＾x（k-1）表示最近一次傳輸?shù)臓顟B(tài)，當系統(tǒng)當前狀態(tài)x（k）滿足觸發(fā)條件（2）時更新傳輸?shù)臓顟B(tài)信息。σ是根據(jù)二次性能指標（5）確定的最優(yōu)閾值參數(shù)。記

則有

選取如下二次性能指標：

式中，Q=diag｛Q1，Q2｝∈R（n+m）×（n+m），Q1∈Rn×n，Q2∈Rm×m均為正定矩陣。

且具有如下性質(zhì)：

動態(tài)量化器可表示為

因此，動態(tài)量化器的量化范圍和量化誤差界分別為Mμ 和Δμ。根據(jù)量化器的輸入值v在每個采樣時刻對μ進行調(diào)整。具體調(diào)整方法分為兩個階段：當初始狀態(tài)未知時，增加μ直到v能夠被測量到，即v位于量化范圍之內(nèi)，此時，v的值將迅速下降到趨于0的鄰域；當v在0的鄰域時，減少μ，使v收斂至平衡點。通過不斷調(diào)整縮放因子μ的大小，減少量化誤差對系統(tǒng)的影響，并使網(wǎng)絡控制系統(tǒng)最終漸近穩(wěn)定。當v∈Rn，即v為向量時，Q（v）=（Q（v1），Q（v2），…，Q（vn））。

采用如下控制器：

式中，K為控制器增益。根據(jù)式（9），經(jīng)量化器作用有

令η（k）=（xT（k）（k-1））T，則由式（1）、式（4）、式（10）～式（12）得閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為

式中

本文研究目標是針對閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（13），設計事件觸發(fā)條件（2）的閾值參數(shù)、控制器增益（10）以及動態(tài)量化器的調(diào)整策略式（11）、式（12），使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并滿足二次性能指標（5）最小。即

2 基于二次性能的事件觸發(fā)機制和量化控制協(xié)同設計

引理1［18］給定對稱矩陣，其中S11是 r×r的矩陣，則以下3個不等式是等價的：

引理2［19］對于任意適當維矩陣X，Y和任意常數(shù)ε＞0，下列矩陣不等式成立：

定理1 針對閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（13），采用事件觸發(fā)機制（2）、量化器（11）、（12）和控制器（10），若存在正定矩陣P0∈R2n×2n，P1∈R2n×2n，Q∈R（m+n）×（m+n），常數(shù)0＜σ＜1，量化器的縮放因子μ1k，μ2k，使得Pα（k+1）=P0，P1時，式（15）成立，則閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（13）漸近穩(wěn)定且二次性能指標（14）的上界最小。

其中

證明 （1）引入分段二次李雅普諾夫函數(shù)：

式中，η（k）=（xT（k）（k-1））T；Pα（k）∈R2n×2n為對稱正定矩陣。

如果對任意η（k）≠0，ΔV（k）滿足

式中，tr（·）表示矩陣的跡，根據(jù)

因此式（19）等價于最小化性能指標式（14）的上界，即式（15a）。

（2）穩(wěn)定性條件：

根據(jù)式（4）、式（11）、式（12）有

記

下面針對不同狀態(tài)下的α（k）討論系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性：

（1）α（k）=0時，即k時刻未觸發(fā)，根據(jù)事件觸發(fā)條件（2）有：eT（k）e（k）＜σxT（k）x（k），假設k+1時刻的觸發(fā)狀態(tài)未知，則

由量化器的縮放因子調(diào)節(jié)規(guī)律式（15d）和式（15e），存在一個ε∈（0，1）使得下式成立：

根據(jù)量化器性質(zhì)（7），當|＾x（k）|≤M1μ1k，|ˉu（k）|≤M2μ2k時，有

由式（15b）與式（23）知

即式（17）成立。

（2）同理，當α（k）=1，即k時刻觸發(fā)時，根據(jù)事件觸發(fā)條件（2）有：eT（k）e（k）≥σxT（k）x（k），假設k+1時刻的觸發(fā)狀態(tài)未知，令

根據(jù)式（15c）知Φ1＜0，有

J′＜-ε2λmin（-Φ1）|η（k）|2＜0，即式（17）成立。綜上可知，閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（13）漸近穩(wěn)定。證畢

下面定理2是將定理1轉(zhuǎn)化為具有線性矩陣不等式約束的優(yōu)化問題。

定理2 針對閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（13），采用事件觸發(fā)機制（2）、動態(tài)量化器（11）（12）和控制器（10），若存在正定矩陣P0∈R2n×2n，P1∈R2n×2n，Y ∈R（m+n）×（m+n），以及常數(shù)0＜σ＜1，矩陣K，量化器縮放因子μ1k，μ2k，使得Pα（k+1）=P0，P1時式（24）成立，則閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（13）漸近穩(wěn)定且二次性能指標（14）的上界（19）最小。即定理1的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為以下L MI優(yōu)化問題：

式中

證明 由引理1，式（15b）可轉(zhuǎn)化為

再次利用引理1，式（25）可轉(zhuǎn)化為

式（26）分別左乘、右乘diag｛I，Pα（k+1），I｝，有

由引理2，分離Pα（k+1）、K得

由引理1，式（28）可轉(zhuǎn)化為

令Y=Q-1，可得式（24b）。

同理，式（15c）可轉(zhuǎn)化為

令Y=Q-1，可得式（24c）。綜上可知定理2成立。證畢

3 算例仿真

考慮N CS中被控對象離散時間狀態(tài)方程如下：

根據(jù)定理2，利用L MI工具箱求得

不同的觸發(fā)狀態(tài)下對應的量化器參數(shù)范圍如下：

設定系統(tǒng)的采樣周期為0.1 s，初始狀態(tài)為x（0）=［-6 6］T，量化器縮放因子分別取μ1k=0.3，μ2k=4.6。基于上述事件觸發(fā)機制和量化控制的閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的觸發(fā)時刻及狀態(tài)響應曲線如圖2和圖3所示，表1給出了事件觸發(fā)閾值取不同值時對應的二次性能指標。

圖2 事件觸發(fā)時刻和觸發(fā)間隔

表1 不同事件觸發(fā)閾值對應的二次性能指標

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)響應

由圖2和圖3仿真結果可知，本文所設計的事件觸發(fā)機制和量化控制策略，可以明顯減少觸發(fā)次數(shù)并保證該閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。表1表明，本文設計方法在不明顯占用額外帶寬的情況下可使二次性能指標最小。因此，上述基于二次性能指標的事件觸發(fā)機制和量化控制協(xié)同設計策略，不僅減少了帶寬占用且保證了閉環(huán)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性和二次性能指標最小。

4 結 論

本文主要針對一類資源受限的離散網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，研究了使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且二次性能指標最小的事件觸發(fā)器和控制器的協(xié)同設計方法。文中采用帶有縮放因子的動態(tài)量化器，根據(jù)量化特性和事件觸發(fā)機制將系統(tǒng)建模成具有不確定參數(shù)的離散時間切換系統(tǒng)；根據(jù)分段李雅普諾夫函數(shù)和線性矩陣不等式技術將性能指標最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為具有線性矩陣不等式約束的優(yōu)化問題，并給出了最優(yōu)事件觸發(fā)參數(shù)、控制器增益和量化器的參數(shù)調(diào)整范圍。最后，通過仿真，驗證了該設計方法可以在減少帶寬占用的同時保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且二次性能指標最小。本文后續(xù)工作將進一步研究實現(xiàn)事件觸發(fā)參數(shù)的自適應在線動態(tài)調(diào)整方法。

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Co-design of event-trigger and quantized control for networked control systems

Ma Qiao-li，Zhou Chuan，Chen Lan-lang
（School of Automation，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

A co-design scheme of event-triggered mechanism and quantized control based on optimal performance for a class of discrete-time networked control system（N CS）with resource constrained is proposed. The proposed method can reduce the occupation of network bandwidth by event-triggered mechanism and also reduce the quantized error by using dynamic quantizer with adjustable zoo ming parameters，then the N CS is modeled as a discrete-time switched system with uncertain parameters.Furtherm ore，based on the requirement of stability and quadratic performance index，the design problem is converted into an optimization problem with linear matrix inequality（L MI）constraints by using piecewise Lyapunov function and L MI techniques，and the co-design method of corresponding event-trigger parameter，the adjustable parameter of dynamic quantizer and controller gain is provided to ensure asymptotic stability and minim u m quadratic performanceindex.Finally，we verify the effective of the proposed scheme by simulation.

networked controlsystems；event-trigger；quantized control；quadratic performanceindex；co-design

T P 13

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.27

1001-506 X（2016）03-0652-06

2015-09-23；

2015-10-25；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2015-11-23。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：∥w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20151123.1324.010.html

南京理工大學研究生創(chuàng)新計劃項目（NJU S T GIP201408）資助課題

馬巧利（1990-），女，碩士研究生，主要研究方向為網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的調(diào)度與控制。

E-mail：maqiaoli11@163.com

周 川（1970-），男，博士、教授，主要研究方向為系統(tǒng)的故障診斷與重構控制、網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的分析與設計。

E-mail：njust_zc@126.com

陳蘭浪（1994-），男，主要研究方向為網(wǎng)絡控制系統(tǒng)。

E-mail：chenlanlang2015cll@163.com