一種適用復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)的參數(shù)靈敏度分析方法

鄧輝詠，王　炎，郝　剛，孫海濤

(1.軍械工程學(xué)院，河北 石家莊　050003；2.66442部隊(duì)分庫(kù)，山西 陽(yáng)泉　045233)

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一種適用復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)的參數(shù)靈敏度分析方法

鄧輝詠1，王炎2，郝剛1，孫海濤1

(1.軍械工程學(xué)院，河北 石家莊050003；2.66442部隊(duì)分庫(kù)，山西 陽(yáng)泉045233)

主要研究了全局靈敏度分析法在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)點(diǎn)和不足，提出了基于均值和方差的多個(gè)局部靈敏度參數(shù)評(píng)價(jià)全局靈敏度，并用多屬性決策機(jī)制進(jìn)行靈敏度排序的雙參數(shù)靈敏度分析方法。該方法克服了單一參數(shù)評(píng)價(jià)全局靈敏度的缺陷，不需知道輸入變量和輸出響應(yīng)的分布規(guī)律，可以采用較少的數(shù)據(jù)量得到可信的結(jié)果,為復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)參數(shù)靈敏度分析提供了新的思路，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了本方法的有效性和可信性。

靈敏度分析；非線性系統(tǒng)；雙參數(shù)；黑箱系統(tǒng)

靈敏度分析是一種研究基本輸入變量的不確定性在其輸出響應(yīng)不確定性分配的技術(shù)，是概率風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估問(wèn)題的主要組成[1],現(xiàn)已廣泛運(yùn)用到了影響目標(biāo)性能的關(guān)鍵因素篩選上，葛建立等采用靈敏度分析法提取了9個(gè)對(duì)自行火炮底盤俯仰角幅值較大的因素[2]；張猛等利用靈敏度分析從60個(gè)結(jié)構(gòu)件中提取9個(gè)對(duì)車身彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度、一階扭轉(zhuǎn)頻率和車身質(zhì)量影響較大的結(jié)構(gòu)件[3]。

靈敏度分析方法有局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。局部靈敏度分析法主要有：直接求導(dǎo)法、有限差分法和格林函數(shù)法。局部靈敏度分析只能獲得某個(gè)點(diǎn)(或較小區(qū)間段)的靈敏度，其反映的是某個(gè)輸入?yún)?shù)在初值附近的變化對(duì)輸出的影響，無(wú)法對(duì)輸入?yún)?shù)在整個(gè)取值空間及參數(shù)之間的共同作用作出估計(jì)。全局靈敏度能夠?qū)斎雲(yún)?shù)在整個(gè)取值空間的作用作出估計(jì)。

1　全局靈敏度分析法的優(yōu)點(diǎn)和不足

1.1全局靈敏度分析法的優(yōu)點(diǎn)和不足

全局靈敏度分析法主要有：非參數(shù)方法靈敏度分析、基于方差的靈敏度分析和矩獨(dú)立方法靈敏度分析3類[4]。

非參數(shù)方法靈敏度分析主要包括：Pearson相關(guān)系數(shù)靈敏度分析、標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)靈敏度分析、偏相關(guān)系數(shù)靈敏度和Spearman相關(guān)系數(shù)靈敏度分析。采用非參數(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)在于考慮了基本輸入變量與輸出響應(yīng)量之間的相關(guān)關(guān)系，文獻(xiàn)[5]指出，該方法對(duì)于非線性模型，不能有效地反映目標(biāo)函數(shù)值隨設(shè)計(jì)變量變化的程度。

基于方差的靈敏度分析最早由Nakashima和Yamato提出，包括Heltoh、Andsten-vaurio、sobol一階矩、sobol全效應(yīng)等靈敏度?；诜讲畹撵`敏度分析側(cè)重于衡量基本輸入變量對(duì)其輸出響應(yīng)量的方差貢獻(xiàn)程度，優(yōu)點(diǎn)是考慮了基本輸入變量在整個(gè)取值范圍內(nèi)對(duì)輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)以及基本輸入變量的交互關(guān)系，但由于包含了方差，能夠充分描述輸出響應(yīng)的不確定性的隱含條件，Oakley和Ohagan在文獻(xiàn)[6]中指出，采用單一的方差作為靈敏度分析結(jié)果，會(huì)導(dǎo)致決策錯(cuò)誤。Borgonovo在文獻(xiàn)[7]中指出，描述輸出響應(yīng)變化時(shí)，方差并不總是充分的，靈敏度應(yīng)當(dāng)是一個(gè)完整的輸出響應(yīng)分布，而并非某一個(gè)特殊的矩。

矩獨(dú)立方法靈敏度分析是Borgonovo提出的一種基本輸入變量對(duì)其響應(yīng)量分布影響的靈敏度分析方法[8]，其優(yōu)點(diǎn)在于考慮了輸出響應(yīng)量的整個(gè)分布，但由于靈敏度指標(biāo)過(guò)于單一，沒(méi)有全面顧及變量的單獨(dú)影響和變量之間的交互作用，且由于采用蒙特卡洛法進(jìn)行求解，計(jì)算量太大。

對(duì)于大型復(fù)雜非線性系統(tǒng)，例如以射擊精度為目標(biāo)的自行火炮系統(tǒng)，其輸入與輸出之間很難用一個(gè)明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述。

文獻(xiàn)[9]用Simulink建立某機(jī)電系統(tǒng)的仿真模型，再運(yùn)用Simlab軟件進(jìn)行靈敏度分析，得到靈敏度分析結(jié)果，其優(yōu)點(diǎn)是采用仿真軟件建立了輸入與輸出的關(guān)系，缺點(diǎn)是用Simlab進(jìn)行靈敏度計(jì)算時(shí)，需要明確輸入變量的分布關(guān)系。

也有文獻(xiàn)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]、支持向量機(jī)(SVM)[11]等建立輸入與輸出的關(guān)系，進(jìn)而用靈敏度分析法分析各輸入?yún)?shù)的靈敏度。采用這種方法的缺點(diǎn)是：要獲得較高的預(yù)測(cè)精度，須有大量原始數(shù)據(jù)作為支撐。

對(duì)于自行火炮系統(tǒng)，大量的射擊試驗(yàn)費(fèi)效比較低，且由于這種物理測(cè)試方法很難控制結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，如間隙由于射擊的不斷進(jìn)行而退化變大；彈簧剛度由于疲勞退化而變小，因此，現(xiàn)有的全局靈敏度分析法都不是解決自行火炮這樣大型非線性系統(tǒng)靈敏度問(wèn)題的有效方法。虛擬樣機(jī)技術(shù)則不存在這個(gè)問(wèn)題，它可以用較少的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證虛擬樣機(jī)的有效性和正確性；另外，虛擬樣機(jī)上可以保持其他參數(shù)不變，很精確地控制攝動(dòng)參數(shù)，研究攝動(dòng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。但虛擬樣機(jī)技術(shù)對(duì)于大型復(fù)雜非線性系統(tǒng)，存在計(jì)算效率較低，計(jì)算量大，不適宜做大量的仿真試驗(yàn)的缺陷。

文獻(xiàn)[12]將全局區(qū)間分成多個(gè)小區(qū)間的方法進(jìn)行分析，使各個(gè)小區(qū)間滿足Δb足夠小的條件，認(rèn)為目標(biāo)函數(shù)值在小區(qū)間上線性變化的，用該區(qū)間上的差商代替這個(gè)區(qū)間的靈敏度，然后對(duì)各個(gè)區(qū)間的靈敏度進(jìn)行求和得到全局靈敏度，是一種由局部評(píng)價(jià)全局的有效嘗試。該方法為全局靈敏度的求取開(kāi)拓了思路，但仍有其局限性。

1.2現(xiàn)有局部靈敏度評(píng)價(jià)全局靈敏度的不足

假設(shè)某4個(gè)參數(shù)在可行域(a,e)內(nèi)對(duì)其目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系分別為z1(x)、z2(x)、z3(x)和z4(x)，如圖1所示。

采用有限差分法計(jì)算局部靈敏度，反映到圖1中即為該參數(shù)在某局部域的斜率。域(a,b)和域(d,e)各曲線的斜率分別為：k1=0、k2=1、k3=2、k4=1/3；域(b,c)和域(c,d)各曲線的斜率分別為：k1=0、k2=-1、k3=-2、k4=-5/3。若按文獻(xiàn)[3]的方法，將可行域(a,e)分成(a,b)、(b,c)、(c,d)和(d,e)4個(gè)局部域，各局部域滿足有限差分法計(jì)算局部靈敏度的條件，根據(jù)其定義式，在局部域上的斜率即可代表該域內(nèi)的靈敏度。從圖1中可看出，在域(a,b)和域(d,e)上滿足關(guān)系：s3>s2>s1；而在域(b,c)和域(c,d)上則滿足關(guān)系：s3s2>s1，似乎體現(xiàn)了總體變化率的大小。但是從曲線2和曲線4的比較來(lái)看，按絕對(duì)值求和取均值的方法得到的靈敏度相等：s2=s4=1。在工程上更需要關(guān)注的是像曲線4那樣在多個(gè)局部有較大靈敏度的情況，因此，實(shí)際上曲線4相對(duì)于曲線2，其靈敏度更大。如果采用主靈敏度法(即選取局部靈敏度的最大值作為全局靈敏度)進(jìn)行關(guān)鍵因素篩選，這樣雖然關(guān)注了最大靈敏度的區(qū)間，但次大局部靈敏度和其他局部靈敏度也要受到關(guān)注，因此，必須考慮所有區(qū)間靈敏度的影響。考慮到均值能夠反映全局靈敏度變化趨勢(shì)，方差能夠反映離散程度，采用可行域內(nèi)多局部靈敏度的均值和方差兩個(gè)參數(shù)評(píng)價(jià)全局靈敏度，并通過(guò)Topsis多屬性決策機(jī)制對(duì)兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行決策，得到全局靈敏度，取名為雙參數(shù)全局靈敏度分析法(Dual-parameters Global Sensitive Analysis，DGSA)。

2　雙參數(shù)全局靈敏度分析法

2.1相關(guān)定義和算法

定義：雙參數(shù)全局相對(duì)靈敏度分析是指將參變量x相對(duì)目標(biāo)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a1,an+1]變化，以Δb為長(zhǎng)度，將區(qū)間[a1,an+1]分成有限個(gè)小區(qū)間[a1,a2]、[a2,a3]、…、[an,an+1]，且滿足[a1,an+1]=[a1,a2]∩[a2,a3]∩…∩[an,an+1]，當(dāng)Δb較小時(shí)，認(rèn)為f(x)在任一子區(qū)間[ai,ai+1]為線性變化，根據(jù)局部靈敏度的定義，該區(qū)間上的斜率即為其靈敏度

(1)

式中，ai、 f(ai)分別為區(qū)間端點(diǎn)的參量值和目標(biāo)函數(shù)值。

由于不同的參變量有不同的量綱，而目的是要分析所有參變量在其整個(gè)區(qū)間上的靈敏度，須所有的參變量放在同一尺度進(jìn)行評(píng)價(jià)，即進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，取向量a={a1,a2,…,an+1}，則

(2)

式中，E={1,1,…,1}1×n。則第i個(gè)區(qū)間上的相對(duì)靈敏度可表示為

(3)

式中，f(a0)為目標(biāo)函數(shù)在初值上函數(shù)值，是為消除不同目標(biāo)函數(shù)值之間量綱的不同而引入的量，如果目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)，則可不列。

(4)

(5)

顯然，若均值和方差均比較大，該因素靈敏度排序靠前；若均值排序靠前，方差排序靠后，或者反之，其靈敏度如何評(píng)價(jià)，則涉及到多屬性決策問(wèn)題。

2.2DGSA法的決策機(jī)制

如何用均值和方差兩個(gè)量來(lái)進(jìn)行排序，得到最終的結(jié)果，顯然是一個(gè)多屬性決策問(wèn)題。對(duì)于多屬性決策的方法有模糊法、灰色法、聚類法和Topsis法。Topsis法即逼近理想解的排序方法，是求解多屬性決策問(wèn)題的典型方法之一，這種方法通過(guò)構(gòu)造多屬性問(wèn)題的理想解和負(fù)理想解，并以靠近理想解和遠(yuǎn)離理想解兩個(gè)評(píng)價(jià)判據(jù)為基準(zhǔn)，對(duì)各樣本進(jìn)行排序。該方法對(duì)樣本量、指標(biāo)多少及數(shù)據(jù)的分布沒(méi)有特殊限制，較適合用于雙參數(shù)全局相對(duì)靈敏度的排序，Topsis法的決策機(jī)制參考文獻(xiàn)[13]，這里不再贅述。

2.3復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)的靈敏度分析流程

非線性黑箱系統(tǒng)DGSA分析法的分析流程如圖2所示。

需要說(shuō)明的是，當(dāng)各參數(shù)區(qū)間化時(shí)，如果區(qū)間的長(zhǎng)度不一致，求取均值和方差時(shí)應(yīng)該考慮區(qū)間長(zhǎng)度的影響，以各個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度占總區(qū)間長(zhǎng)度計(jì)為各個(gè)區(qū)間的權(quán)重，將權(quán)重的影響放到計(jì)算均值和方差中。

3　DGSA法的驗(yàn)證

以圖1中的4條曲線為研究對(duì)象，應(yīng)用Topsis法進(jìn)行決策排序時(shí)，需要知道目標(biāo)函數(shù)的理想解和負(fù)理想解，對(duì)于歸一化的均值、方差，若其均值和方差均為1，則應(yīng)該排序靠前，因此，可構(gòu)造理想解和負(fù)理想解為

A*={1,1},A-={0,0}

(6)

通過(guò)信息熵求取的均值和方差的權(quán)值為：{0.8,0.2}，通過(guò)編制Matlab程序得到各個(gè)曲線的相對(duì)逼近度(全局相對(duì)靈敏度)，表1為采用DGSA法得到的計(jì)算結(jié)果。

表1　雙參數(shù)全局相對(duì)靈敏度分析舉例結(jié)果表

從表1可知，參數(shù)x對(duì)曲線1、2、3的相對(duì)逼近度排序結(jié)果為：RC1

由于在求取局部靈敏度時(shí)，攝動(dòng)一個(gè)參數(shù)而保持其他參數(shù)不變，沒(méi)有考慮各因素之間的交互作用，因此該方法在因素交互作用明顯的系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析時(shí)，其排序精度還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

4　結(jié)論

通過(guò)分析現(xiàn)有全局靈敏度分析法的優(yōu)點(diǎn)及其在解決大型非線性系統(tǒng)方面的不足，提出了采用可行域內(nèi)多個(gè)局部靈敏度的均值和方差評(píng)價(jià)全局靈敏度，并用Topsis多屬性決策機(jī)制進(jìn)行排序的雙參數(shù)全局靈敏度分析法(DGSA)。

筆者研究了非線性黑箱系統(tǒng)的DGSA法分析流程，并對(duì)其有效性和可信性進(jìn)行了驗(yàn)證。采用了雙參數(shù)評(píng)價(jià)全局靈敏度，克服了單一參數(shù)評(píng)價(jià)的缺陷，在計(jì)算過(guò)程中不需要知道輸入變量與輸出響應(yīng)的分布，且計(jì)算量相對(duì)較小，較適用于大型復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)的靈敏度分析。

References)

[1]SALTELLI A. Sensitivity analysis for importance assessment[J]. Risk Anal, 2002, 22(3)：579- 590.

[2]葛建立，楊國(guó)來(lái)，曾晉春，等. 某自行火炮總體結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度分析與優(yōu)化[J]. 火炮發(fā)射與控制學(xué)報(bào)，2007(3)：16-18.

GE Jianli, YANG Guolai, ZENG Jinchun, et al. Sensiti-vity analysis and optimization of integrated structural parameters for a type of wheeled self-propelled gun[J]. Journal of Gun Launch & Control, 2007(3):16-18.(in Chinese)

[3]張猛，陳勇敢，陳劍. 靈敏度分析在車身結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]. 汽車科技，2011(3)：22-24.

ZHANG Meng, CHEN Yonggan, CHEN Jian. Application of sensitivity analysis in the optimization design of car-body[J]. Auto Mobile Science & Technology, 2011(3):22-24. (in Chinese)

[4]韓林山. 淺析靈敏度分析的幾種數(shù)學(xué)方法[J]. 中國(guó)水運(yùn), 2008, 8(4): 177-178.

HAN Linshan. Several mathematical methods of Sensitive analysis[J]. China Water Transport, 2008, 8(4):177- 178.(in Chinese)

[5]FREY C H, PATIL S R. Identification and review of sensitivity analysis methods[J]. Risk Anal, 2002, 22(3): 553-571.

[6]OAKLEY J E,OHAGAN A.Probalilistic sensitivity analy-sis of complex models:a bayesian approach[J]. Journal of the Royal Statistical Society:Series B (Statistical Metho-dologh), 2004, 66(3): 751-769.

[7]BORGONOVO E. Measuring uncertainty importance:investigation and comparison of alternative approaches[J]. Risk Anal, 2006, 26(5): 1349-1461.

[8]BORGONOVO E.A new uncertainty importance measure[J].Reliabity Engeering System Saf,2007,92(6):771-784.

[9]李會(huì)先. MATLAB/SIMULINK與SIMLAB聯(lián)合進(jìn)行不確定性、靈敏度分析的框架[J]. 科技創(chuàng)業(yè)家，2012(7)：161-163.

LI Huixian. Uncertainty and sensitivity analysis frame by MATLAB/SIMULINK and SIMLAB[J]. Technological Pioneers,2012(7)：161-163.(in Chinese)

[10]謝桂蘭，賀禮財(cái)，肖春芽.基于BP網(wǎng)絡(luò)的蜂窩鋁芯力學(xué)性能預(yù)測(cè)與靈敏度分析[J]. 材料導(dǎo)報(bào)，2014，28(12)：144-147.

XIE Guilan, HE Licai, XIAO Chunya. Mechanical properties prediction and sensitivity analysis for aluminum honeycomb core structure based on BP neural network[J]. Materials Review, 2014, 28(12):144-147.(in Chinese)

[11]趙金鋼，趙人達(dá)，占玉林，等.基于支持向量機(jī)和蒙特卡洛法的結(jié)構(gòu)隨機(jī)靈敏度分析方法[J]. 工程力學(xué)，2014，31(2):195-202.

ZHAO Jingang, ZHAO Renda, ZHAN Yulin, et al. Stochastic sensitivity analysis method based on support vector machine and Monte Carlo[J]. Engineering Mecha-nics, 2014, 31(2):195-202. (in Chinese)

[12]蔡文勇. 大口徑車載火炮多柔體動(dòng)力學(xué)與總體優(yōu)化研究[D]. 南京: 南京理工大學(xué), 2008.

CAI Wenyong. Study on flexible multi-body dynamics and overall parameters optimization for large caliber vehicle-mounted howitzers[D]. Nanjing: Nanjing University of Science and Technology, 2008. (in Chinese)

[13]朱孫科, 馬大為, 于存貴, 等. 多管火箭炮定向管的多目標(biāo)優(yōu)化及多屬性決策研究[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2010, 31(11): 1413-1417.

ZHU Sunke, MA Dawei, YU Cungui, et al. Study on MRLS direction pipe’s multi-objective optimization and multi-attribute decision making[J]. Acta Armamentarii, 2010, 31(11):1413-1417. (in Chinese)

A Parameter Sensitivity Analysis Method Suitable for Complex Non-linear Black-box System

DENG Huiyong1, WANG Yan2, HAO Gang1, SUN Haitao1

(1.Ordnance Engineering College, Shijiazhuang050003, Hebei, China;2.Divided Storage of Unit 66442, Yangquan045233, Shanxi, China)

Through research on the advantages and disadvantages of main global sensitivity analysis method in the course of solving practical problems, the Dual-parameters Sensitive Analysis method (DGSA) based on mean value and variance of multi local sensitivities in definition domain that was used to access global sensitivity was proposed, while multi-attributes decision-making method was used to calculate the sensitive value by the above two parameters. DGSA method overcomes the defect of global sensitivity accessed by single parameter. Since the distribution patterns of input variable and output response are dispensed with, a credible result can be obtained with less data. As a result, a new method to solve this type of problems is provided. An example was used to verify the validity and credibility.

sensitivity analysis; non-linear system; dual-parameters; black-box system

2015-04-01

鄧輝詠(1983—)，男，講師，博士，主要從事武器系統(tǒng)仿真與信息化技術(shù)研究。E-mail：deng-124@163.com

TB114.3

A

1673-6524(2016)01-0012-04