同心層狀土體柱孔擴(kuò)張彈塑性解

張　恩，黃　沛

(1.上海地礦工程勘察有限公司， 上海 200072； 2.上海理工大學(xué) 土木工程系, 上海 200093)

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同心層狀土體柱孔擴(kuò)張彈塑性解

張恩1，黃沛2

(1.上海地礦工程勘察有限公司， 上海 200072； 2.上海理工大學(xué) 土木工程系, 上海 200093)

考慮到目前多在均質(zhì)土中應(yīng)用圓孔擴(kuò)張理論，提出同心層狀土體中柱形孔擴(kuò)張的彈塑性解析解。該解答基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論和非相關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則，采用應(yīng)力跌落模型模擬巖土材料的軟化特性并引入對(duì)數(shù)應(yīng)變考慮土體大變形效應(yīng)。通過對(duì)比不同彈性模量組合、軟化程度、土層界面半徑以及統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)，分析擴(kuò)張壓力和柱形孔擴(kuò)張引起的應(yīng)力場的影響規(guī)律。結(jié)果表明：同心層狀土體的彈性模量組合對(duì)擴(kuò)張壓力影響顯著，對(duì)于內(nèi)層彈性模量較大的組合，極限擴(kuò)張壓力比峰值擴(kuò)張壓力??；相同擴(kuò)張壓力作用下，土體軟化程度越高擴(kuò)張率越大；土層界面半徑存在需要考慮兩種土體相互作用的臨界值；統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)對(duì)擴(kuò)張壓力有一定影響，極限擴(kuò)張壓力隨統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)的增大而增大。

同心層狀土體；統(tǒng)一強(qiáng)度理論；應(yīng)變軟化；柱形孔擴(kuò)張；對(duì)數(shù)應(yīng)變

20世紀(jì)60年代小孔擴(kuò)張理論被引入巖土工程領(lǐng)域，廣泛應(yīng)用于隧洞、旁壓、沉樁等問題。該理論對(duì)解決實(shí)際工程問題有重要意義，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)此做了不少研究[1-2]。Yu H S等[3]采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則、非相關(guān)流動(dòng)法則，考慮了巖土材料的剪脹性，得到無限土體中擴(kuò)孔問題的解答；蔣明鏡[4]采用應(yīng)力跌落模型給出了柱孔擴(kuò)張問題中應(yīng)力場、位移場和塑性區(qū)規(guī)律的解答；汪鵬程等[5]在應(yīng)力跌落模型的基礎(chǔ)上，討論了擴(kuò)孔問題的影響因素；王延斌等[6]基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論給出了彈塑性區(qū)小應(yīng)變假設(shè)下柱形孔擴(kuò)張問題的解答；范文等[7]采用三段線性軟化模型和統(tǒng)一強(qiáng)度理論分析了有壓隧洞；李富榮等[8]對(duì)擠土效應(yīng)研究也提出一些建設(shè)性意見；楊校輝等[9]詳細(xì)分析了現(xiàn)場靜壓壓樁試驗(yàn)中的樁側(cè)摩阻力。大多數(shù)學(xué)者[10-12]都是基于無限空間內(nèi)土體均質(zhì)假設(shè)來考慮沉樁擴(kuò)孔問題，考慮土體分層的情況下的相關(guān)研究較少。

Sayed S M等[13]首次提出將同心層狀介質(zhì)中擴(kuò)張分析方法應(yīng)用到巖土力學(xué)領(lǐng)域，然而并沒有考慮土體的塑性變形。Mo P Q等[14]采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則給出了同心層狀介質(zhì)中柱孔、球孔擴(kuò)張的彈塑性解答。考慮到土體的剪脹性以及受力達(dá)到峰值后出現(xiàn)強(qiáng)度軟化的現(xiàn)象對(duì)研究擴(kuò)孔問題有很大影響，本文在Mo的基礎(chǔ)上，假設(shè)土體為各向同性均勻材料，采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論并考慮土體應(yīng)變軟化，推導(dǎo)出同心層狀土體中柱形孔擴(kuò)張問題的解析解。該解答對(duì)實(shí)際存在的層狀巖土工程問題有一定的參考價(jià)值，也可用于靜力觸探、旁壓以及隧洞等問題。

1　基本理論

1.1基本假定

如圖1(a)所示，無限土體被分為三個(gè)區(qū)域，最里面的區(qū)域是柱形孔，其初始半徑為a0，沿半徑方向向外依此為土體A和土體B，兩種土體以初始半徑為b0的圓為分界線。土中作用有靜水壓力p0。假設(shè)土體小孔擴(kuò)張過程為準(zhǔn)靜態(tài)問題，當(dāng)孔徑擴(kuò)張至a，孔壁壓力相應(yīng)增加到pa，AR分界線半徑隨之?dāng)U張至b。

圖1柱形孔擴(kuò)張示意圖

隨柱形孔繼續(xù)擴(kuò)張，土體A、B中出現(xiàn)塑性區(qū)。彈性區(qū)與塑性區(qū)以cA和cB為界，邊界處的徑向應(yīng)力定義為pcA和pcB。對(duì)于給定孔徑，cA0和cB0是土體A和土體B中彈性區(qū)與塑性區(qū)分界線的初始半徑。文中為了方便，將土體A和土體B的材料參數(shù)用下標(biāo)1、2分別表示：彈性模量(E1、E2)、泊松比(v1、v2)、內(nèi)摩擦角(φ1、φ2)、剪脹角(ψ1、ψ2)。用下標(biāo)d代表屈服軟化后的參數(shù)。

1.2應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

為反映巖土材料應(yīng)變軟化現(xiàn)象，采用由分段線性函數(shù)模擬的應(yīng)力跌落軟化模型來表示峰值強(qiáng)度與殘余強(qiáng)度的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，如圖2所示。

1.3統(tǒng)一強(qiáng)度理論

統(tǒng)一強(qiáng)度理論[15-17]以雙剪應(yīng)力單元體為出發(fā)點(diǎn)，將已有的單剪、雙剪等各類強(qiáng)度理論包含其中，形成一套完整的體系。采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論分析，其軟化前和軟化后的屈服準(zhǔn)則可寫為：

圖2簡化的應(yīng)力跌落軟化模型

初始屈服準(zhǔn)則：

aiσθ-σr=yi

(1)

后繼屈服準(zhǔn)則：

aidσθ-σr=yid

(2)

其中：

(3)

(4)

式中：i取值1、2分別表示土體A、土體B，Cit、φit分別為統(tǒng)一強(qiáng)度理論中的統(tǒng)一黏聚力和統(tǒng)一內(nèi)摩擦角，Ci、φi為材料的黏聚力和內(nèi)摩擦角，n為統(tǒng)一強(qiáng)度理論中表示中主應(yīng)力影響程度的參數(shù)，m為中主應(yīng)力與大小主應(yīng)力平均值之比。

2　彈性階段解答

不計(jì)體力，整個(gè)區(qū)域?qū)M足平衡方程：

(5)

彈性區(qū)中由胡克定律：

(6)

(7)

2.1土體A彈性區(qū)解答

土體A彈性區(qū)范圍：cA≤r≤b。

彈性區(qū)內(nèi)基于小變形分析的徑向、切向應(yīng)變可以用徑向位移的函數(shù)來表示：

(8)

對(duì)于土體A中的彈性區(qū)，根據(jù)厚壁圓筒問題的相關(guān)解答，可以得到如下的解答：

(9)

其中：

(10)

彈性區(qū)內(nèi)的位移關(guān)系式表示為：

(11)

2.2土體B彈性區(qū)解答

土體B彈性區(qū)范圍：cB≤r。

(12)

(13)

若將式(9)中b0、b→∞，土體A彈性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式與式(12)形式一致。

3　塑性階段解答

在塑性區(qū)內(nèi)引入對(duì)數(shù)應(yīng)變：

(14)

3.1土體A塑性區(qū)解答

在土體A塑性范圍內(nèi)：a≤r≤cA。

將平衡方程式(5)和初始屈服準(zhǔn)則式(1)聯(lián)立得到：

(15)

將平衡方程式(5)和后繼屈服準(zhǔn)則式(2)聯(lián)立得到：

(16)

式中：A1、A1d是積分常數(shù)，可由如下應(yīng)力邊界條件確定：

(17)

在塑性區(qū)中應(yīng)用不相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，有：

(18)

其中：

將式(6)、式(7)代入式(18)，積分并考慮邊界條件式(17)，得到(“-”表示界面塑性區(qū)一側(cè)，“+”表示彈性區(qū)一側(cè))：

(19)

式中：

(20)

(21)

將式(14)、式(16)代入式(19)得到：

(22)

(23)

(24)

將式(22)分離變量，對(duì)r在[cA，r]上積分，對(duì)r0在區(qū)間[cA，r0]上積分，整理可得：

(25)

則塑性區(qū)任意一點(diǎn)的位移表達(dá)式可以寫為：

(26)

式中：

(27)

若b0、b→∞，同心層狀土體可視為均質(zhì)土，在土體A塑性區(qū)位移表達(dá)式(26)中，cA0/cA將趨近于均質(zhì)土中初始塑性區(qū)半徑和塑性區(qū)半徑的比值，式(26)退化為均質(zhì)土中塑性區(qū)計(jì)算公式。

3.2土體B塑性區(qū)解答

土體B塑性區(qū)范圍： b≤r≤cB

將平衡方程式(5)與初始屈服準(zhǔn)則式(1)聯(lián)立得到：

(28)

將平衡方程式(5)與后繼屈服準(zhǔn)則式(2)聯(lián)立得到：

(29)

式中：A2、A2d均為積分常數(shù)，由如下應(yīng)力邊界條件可以確定：

(30)

由于土體B可視為初始孔徑為b0的無限平面中小孔擴(kuò)張，根據(jù)Yu臨界擴(kuò)張壓力計(jì)算公式，可確定A2d：

pcB=2Gδ+p0

(31)

(32)

式中：

由非相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則及式(6)、式(7)可得：

(33)

式中：

(34)

(35)

將式(14)、式(29)、式(32)代入式(33)可得：

(36)

式中：

(37)

(38)

將式(36)分離變量，并分別對(duì)r在[cB，r]上積分，對(duì)r0在區(qū)間[cB，r0]上積分，則土體B塑性區(qū)內(nèi)位移表達(dá)式可表示為：

(39)

4　影響因素分析

為方便計(jì)算及比較，選取參數(shù)：泊松比v1=v2=0.2;黏聚力C1=C2=0 kPa;初始內(nèi)摩擦角φ1=φ2=40°;剪脹角ψ1=ψ2=10°;p0=1 kPa;初始孔徑a0=0.1 mm。

4.1彈性模量組合

文中采用的彈性模量組合表示如下：土體A彈性模量10 MPa，土體B彈性模量1 MPa的組合表示為10-1；土體A彈性模量1 MPa，土體B彈性模量10 MPa的組合表示為1-10，依此類推。

圖3、圖4分別給出了彈性模量組合為1-10、10-1組合塑性區(qū)邊界隨擴(kuò)張率變化。從圖3、圖4中可以看出，1-10組合中土體A在土體B剛出現(xiàn)塑性區(qū)時(shí)仍存在彈性區(qū)域；10-1組合中土體A在土體B還未出現(xiàn)塑性區(qū)時(shí)已經(jīng)完全進(jìn)入塑性狀態(tài)。導(dǎo)致出現(xiàn)擴(kuò)張壓力和徑向應(yīng)力分布情況不同的主要原因是兩種材料參數(shù)不同的土體之間相互作用。

4.2軟化程度

為了反映軟化特性對(duì)擴(kuò)張壓力的影響，通過改變軟化后的內(nèi)摩擦角進(jìn)行分析。

圖5中彈性模量組合為10-1，不同軟化程度擴(kuò)張壓力曲線達(dá)到峰值后回落至極限擴(kuò)張壓力。對(duì)于內(nèi)層土體彈性模量較大的組合，極限擴(kuò)張壓力小于峰值擴(kuò)張壓力。在φd=30°、φd=20°的曲線中，擴(kuò)張壓力曲線呈現(xiàn)雙峰形式，第二峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)土體B出現(xiàn)塑性區(qū)時(shí)的擴(kuò)張率，軟化程度越高，第二峰值點(diǎn)越明顯。

4.3土體A和土體B界面半徑

圖6給出了相同擴(kuò)張率，同心層狀土體塑性區(qū)外半徑cA、cB隨b0變化的曲線，其中：φ1d=φ2d=20°，a=6 mm。黑斜線表示c=b0(c為彈塑性區(qū)邊界半徑)，其上方曲線表示cB，下方曲線表示cA。對(duì)于均質(zhì)土體，c/a與b0/a無關(guān)。b0/a較小時(shí)，土體A范圍遠(yuǎn)小于土體B，主要受土體B參數(shù)影響。b0/a足夠大時(shí)，兩種土體的相互作用影響較小，可視為均質(zhì)土。對(duì)于已知擴(kuò)張率，存在需要考慮兩種土體相互作用的臨界界面半徑，當(dāng)土體A的外半徑大于該值，則不需要考慮土體B的影響，可當(dāng)作均質(zhì)土計(jì)算。

圖3　1-10組合塑性區(qū)邊界隨擴(kuò)張率變化

圖4　10-1組合塑性區(qū)邊界隨擴(kuò)張率變化

圖5土體軟化對(duì)10-1擴(kuò)張壓力的影響

4.4統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)的影響

圖7給出了統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)對(duì)10-1組合的同心層狀土體塑性區(qū)半徑和擴(kuò)張壓力的影響，其中軟化后的內(nèi)摩擦角：φ1d=φ2d=20°，初始界面半徑b0=30 mm。當(dāng)m=0時(shí)，統(tǒng)一強(qiáng)度理論退化為摩爾庫倫屈服準(zhǔn)則。從圖7中可以看出，擴(kuò)張壓力隨m增大而增大，第二個(gè)峰值擴(kuò)張壓力對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)點(diǎn)仍然是土體B出現(xiàn)塑性區(qū)的臨界點(diǎn)。

圖6　塑性區(qū)半徑隨界面半徑的變化

圖7統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)對(duì)擴(kuò)張壓力的影響

5　結(jié)　論

(1) 針對(duì)同心層狀土體柱形孔擴(kuò)張問題，本文采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論，考慮巖土材料軟化特性影響，推導(dǎo)出應(yīng)力場和位移場的解析解，該解答可以退化為已有文獻(xiàn)中的結(jié)果。

(2) 對(duì)于同心層狀土體柱孔擴(kuò)張，兩種土體中塑性區(qū)半徑的變化與均質(zhì)土中不同，受土體參數(shù)影響。

(3) 土體軟化程度越高，擴(kuò)張壓力越??；內(nèi)大外小的彈性模量組合，軟化程度越高，擴(kuò)張壓力曲線雙峰形式越明顯。對(duì)于內(nèi)大外小的彈性模量組合，極限擴(kuò)張壓力小于峰值擴(kuò)張壓力。

(4) 較小及足夠大時(shí)，同心層狀土體可視為均質(zhì)土，存在需考慮兩種土體相互作用的臨界界面半徑。

(5) 相同擴(kuò)張率，同心層狀土體擴(kuò)張壓力隨統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù)增大而增大。

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Elastic-plastic Solutions to Expansion of Cylindrical Cavities in Concentrically Layered Soil

ZHANG En1, HUANG Pei2

(1.Shanghaigeological&mineralengineeringinvestigationcoltd,Shanghai200072,China; 2.SchoolofEnvironmentandArchitecture,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

An analytical solution of cylindrical cavity expansion in concentrically layered soil was developed based on cavity expansion theory which was mostly used in homogeneous soil. This solution was analyzed with the unified strength theory and non-associated flow rule. Stress dropping model was used to simulate the strain softening behavior of soil and the logarithmic strain was introduced for large deformation. The influences of different combinations of elastic modulus, different softening degrees, radius of the interface of soil layers and the parameters of the unified strength theory on the change rules of stress fields and expansion pressure were analyzed. The results show that that the combinations of elastic modulus of double-deck soil have significant effect on the expansion pressure and the limited expansion pressure is lower than the peak value of expansion pressure with a smaller elastic modulus inside the double-deck soil; with the same expansion radius, the higher softening degree leads to lower expansion pressure; when the interface radius is small or great enough, this problem can be regarded as the same in infinite space; the interface radius has a critical size and greater parameter of the unified strength theory leads to greater expansion pressure.

concentrically layered soil; unified strength theory; strain softening; cylindrical cavity expansion; logarithmic strain

10.3969/j.issn.1672-1144.2016.04.032

2016-03-04

2016-04-02

張恩(1986—)，男，江蘇海門人，工程師，主要從事巖土工程勘察工作。 E-mail: 21598025@qq.com

TU443

A

1672—1144(2016)04—0161—07