條件概率模型在非一致性水文序列頻率計(jì)算中的應(yīng)用

李伶杰，康　艷，宋松柏，鄧瑞強(qiáng)，金義蓉

(1 西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100；2 南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029)

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條件概率模型在非一致性水文序列頻率計(jì)算中的應(yīng)用

李伶杰1,2，康艷1，宋松柏1，鄧瑞強(qiáng)1，金義蓉2

(1 西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100；2 南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029)

【目的】 對條件概率模型在非一致性水文序列頻率計(jì)算中的應(yīng)用進(jìn)行研究，為變化環(huán)境下的水文頻率分析提供依據(jù)?！痉椒ā?基于條件概率模型，以渭河流域林家村、張家山和狀頭3個具有跳躍變異的水文站年平均流量系列為研究對象，選擇兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布、三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布、Gumbel分布和P-Ⅲ型分布4種分布模型，采用模擬退火粒子群算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，以效率系數(shù)R2等指標(biāo)進(jìn)行擬合優(yōu)度評價(jià)并選取最佳模型，最后采用學(xué)生化殘差分析所選模型的合理性?！窘Y(jié)果】 3個水文站序列的理論頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合的效率系數(shù)均高于0.96，最佳模型的學(xué)生化殘差均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，表明基于條件概率模型的計(jì)算結(jié)果合理可靠?！窘Y(jié)論】 條件概率模型的物理意義明確、理論嚴(yán)密、擬合效果較優(yōu)，是一種對具有跳躍變異的非一致性水文序列進(jìn)行頻率分析的有效途徑。

條件概率模型；非一致性；水文序列；頻率分析；跳躍變異

水文頻率分析計(jì)算要求水文序列滿足同分布假設(shè)，即樣本應(yīng)該具有一致性[1]。然而，由于受到人類水事活動與全球氣候變化的影響，天然流域的產(chǎn)匯流機(jī)制發(fā)生了改變[2]，水文序列失去一致性，傳統(tǒng)的分析方法受到挑戰(zhàn)。因此，探尋適應(yīng)環(huán)境變化條件下非一致性水文序列的頻率計(jì)算方法具有重要意義。

目前，國外對于非一致性水文頻率分析較為常用的是針對某一水文極值系列直接進(jìn)行水文頻率分析[3-5]。Singh等[6]提出了條件概率模型，并應(yīng)用到服從不同分布季節(jié)洪水序列的頻率分析中，效果較好。宋松柏等[7]對該模型在年徑流序列的頻率計(jì)算方面進(jìn)行了研究，取得了一定的進(jìn)展。然而，目前我國在條件概率模型的應(yīng)用上大多選用P-Ⅲ型分布，對其他線型的研究較少。此外，條件概率模型參數(shù)個數(shù)通常為單分布情形的2倍，采用矩法(MOM)和極大似然法(ML)等傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)方法計(jì)算過程復(fù)雜并且精度不足[1]。智能優(yōu)化算法在多變量求解的問題上具有效率高、不受目標(biāo)函數(shù)連續(xù)性與光滑性的限制，避免了大量求導(dǎo)積分計(jì)算[8-11]，因而受到眾多學(xué)者的青睞，但此類算法在條件概率模型參數(shù)的推求中尚待于探索。

因此，本研究基于條件概率模型，以渭河流域3個具有跳躍變異的水文站年平均流量序列為研究對象，選取兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布(LN2)、三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布(LN3)、Gumbel分布和P-Ⅲ型分布構(gòu)造4種模型，采用模擬退火粒子群算法估計(jì)參數(shù)，以效率系數(shù)R2[12]等4種指標(biāo)進(jìn)行擬合優(yōu)度評價(jià)并選取最佳模型，最后采用學(xué)生化殘差分析所選模型的合理性，以期為條件概率模型在非一致性水文序列頻率分析中的應(yīng)用提供參考。

1　條件概率模型

1.1基本假定

假定一個容量為N的水文序列，根據(jù)變異診斷的結(jié)果，在時間上可以劃分為S個子序列(時間段)。鑒于我國水文序列一般較短，宋松柏等[7]建議序列一般分割為2個子序列。

條件概率模型的基本假定[7]為：

(1)同一子序列Xi(i=1,2)中的水文要素值是在相對一致的物理?xiàng)l件下形成的，服從同一分布Pi(x)。但是，不同子序列具有各自的分布，即：

P1(x)≠P2(x)。

(1)

式中：P1(x)、P2(x)分別表示變異點(diǎn)前后子序列X1、X2服從的分布函數(shù)。

(2)不同子序列Xi(i=1,2)相互獨(dú)立，即：

P(X1≥x,X2≥x)=P1(x)P2(x)。

(2)

式中：P(X1≥x,X2≥x)表示子序列X1、X2的聯(lián)合概率分布函數(shù)。

(3)水文變量X可能以不同的概率發(fā)生在不同的時間段內(nèi)，即某一水文要素值可能發(fā)生在X1序列，也可能發(fā)生在X2序列，而X1和X2序列屬于不同的分布。

定義事件Ai(i=1,2)為水文變量X發(fā)生在第i個時間段內(nèi)，則有：

0

(3)

P(A1)+P(A2)=1。

(4)

式中：P(A1)、P(A2)分別指水文變量X發(fā)生在X1、X2子序列內(nèi)的概率。

(4)Ai(i=1,2)為互不相容事件。設(shè)Ω為水文變量X發(fā)生的樣本空間，則有：

A1∩2=φ;A1∪A2=Ω。

(5)

1.2理論頻率

設(shè)事件B={X≥x}一定發(fā)生在Ai(i=1,2)的其中之一。因?yàn)锳1∩A2=?，A1∪A2=Ω，即有B=BΩ=B(A1∪A2)=BA1∪BA2；BA1∩BA2=φ。根據(jù)全概率公式，基于條件概率模型的非一致分布水文序列的理論頻率公式[6-7]為：

(6)

式中：F(x)表示水文變量X的概率分布函數(shù)；P(B)為事件B發(fā)生的概率；P(Ai)=Ni/N，其中Ni為子序列Xi的長度，i=1,2，N為全序列樣本容量；P(X≥x|Ai)為事件B在子序列Xi中發(fā)生的概率，可由子序列Xi選擇適當(dāng)?shù)姆植季€型，擬合確定其相應(yīng)參數(shù)并進(jìn)行計(jì)算。

1.3經(jīng)驗(yàn)頻率

對于經(jīng)驗(yàn)分布，設(shè)mi為第i個子序列Xi中≥x出現(xiàn)的個數(shù)，M為整個序列中≥x出現(xiàn)的個數(shù)，P(X≥x|Ai)=mi/Ni，則有：

(7)

采用期望公式，則基于條件概率模型的非一致分布水文序列的經(jīng)驗(yàn)頻率公式為：

(8)

可見式(8)與一致性情況下的經(jīng)驗(yàn)頻率公式相同。

1.4不同分布的條件概率模型

模型Ⅰ：采用兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布(LN2)的條件概率模型，則式(6)中子序列的理論頻率為：

Yi=lnXi。

(9)

式中：aYi、σYi(i=1,2)分別為序列Yi的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。模型Ⅰ中共有aY1、σY1、aY2、σY24個參數(shù)。

模型 Ⅱ：采用三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布(LN3)的條件概率模型，則式(6)中子序列的理論頻率為：

(10)

Yi=ln (Xi-bi)。

(11)

式中：x≥bi，bi(i=1,2)表示子序列Xi對應(yīng)總體的下界。模型Ⅱ中共有aY1、σY1、b1、aY2、σY2和b26個參數(shù)。

模型Ⅲ：采用Gumbel分布的條件概率模型，則式(6)中子序列的理論頻率為：

(12)

式中：αi、ui(i=1,2)分別為Gumbel分布的尺度參數(shù)和位置參數(shù)。模型Ⅲ中共有α1、u1、α2和u24個參數(shù)。

(13)

2　模型參數(shù)的估計(jì)

本研究采用的4種模型中待估計(jì)參數(shù)的數(shù)量均不少于4個，本研究視模型參數(shù)為一個整體，采用模擬退火粒子群算法進(jìn)行組合優(yōu)化求解。粒子群優(yōu)化算法是一種基于群體的優(yōu)化工具，與遺傳算法相比，粒子群優(yōu)化算法簡單、容易實(shí)現(xiàn)同時又有深刻的智能背景，適合科學(xué)研究與工程應(yīng)用，但該算法有易陷入局部極值點(diǎn)，進(jìn)化后期收斂速度慢、精度較差等缺點(diǎn)[10-11]。為此引入模擬退火思想，使粒子群算法具有跳出局部最優(yōu)解進(jìn)行全局尋優(yōu)的能力[10]。具體操作流程[13]如下：

(1)初始化參數(shù)有粒子數(shù)目L，粒子維度D，最大迭代次數(shù)M，學(xué)習(xí)因子c1、c2，初始溫度Tmax，降溫速度α。

(2)隨機(jī)產(chǎn)生種群中微粒的位置xi與速度vi。

(3)評價(jià)每個粒子的適應(yīng)度fitness，將各微粒的位置與適應(yīng)度存入Pi中，將群體中適應(yīng)度最低個體的位置與適應(yīng)度存入Pg中。

(14)

式中：TF(Pi)為各微粒的適配值，f(·)為適應(yīng)度函數(shù)，T為當(dāng)前溫度。

(5)根據(jù)式(15)和式(16)更新各微粒的位置與速度，并計(jì)算微粒的適應(yīng)度，更新微粒Pi與粒子群的最優(yōu)個體Pg。

vi,j(t+1)=φ·{vi,j(t)+c1r1[Pi,j-xi,j(t)]+

(15)

xi,j(t+1)=xi,j(t)+vi,j(t+1)。

(16)

(6)進(jìn)行降溫操作。若滿足終止條件(設(shè)定的預(yù)算精度或最大迭代次數(shù)等)則停止搜索并輸出結(jié)果；否則，轉(zhuǎn)向步驟(4)繼續(xù)尋優(yōu)。

3　模型評價(jià)與分析

擬合優(yōu)度評價(jià)指標(biāo)是衡量模型適應(yīng)度的量化指標(biāo)。本研究選擇效率系數(shù)R2[12]、相對離差平方和(WLS)、AIC準(zhǔn)則[14-15]和SBC準(zhǔn)則[16]4種指標(biāo)對不同模型的擬合效果進(jìn)行評價(jià)。4種評價(jià)指標(biāo)中均涉及推求理論頻率曲線上與經(jīng)驗(yàn)頻率pi相對應(yīng)的縱坐標(biāo)值，選取條件概率模型后原有的逆函數(shù)方法已無法計(jì)算，本研究用牛頓弦截法[7]進(jìn)行求解。

綜合分析評價(jià)指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果，優(yōu)選各站資料的最佳模型。對于最佳模型進(jìn)行學(xué)生化殘差分析。理論上，實(shí)測值與理論頻率模型反演的數(shù)值之間存在殘差，將殘差轉(zhuǎn)化為學(xué)生化殘差，其應(yīng)當(dāng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[17]。本研究通過學(xué)生化殘差序列的計(jì)算及均值與方差的檢驗(yàn)，進(jìn)一步分析結(jié)果的合理性。學(xué)生化殘差序列的計(jì)算公式[17]如下：

H=X(XTX)-1XT。

(17)

(18)

4　應(yīng)用實(shí)例

4.1研究資料

以渭河流域林家村(1944-2006年)、張家山(1932-2006年)和狀頭(1937-2006年)水文站的年平均流量序列為研究對象，按照謝平等[18-19]提出的水文變異綜合診斷方法對各站資料的一致性進(jìn)行分析，結(jié)果表明3個水文站的年平均流量序列均存在變異成分，且變異形式均為跳躍變異，綜合水文調(diào)查資料確定變異點(diǎn)位置為1985年。根據(jù)變異點(diǎn)分析結(jié)果，繪制各站資料的流量過程線如圖1所示。

圖 1林家村、張家山和狀頭站年平均流量過程線

Fig.1Hydrographs of annual average discharges at Linjiacun,Zhangjiashan and Zhuangtou

從圖1可以看出，在1985年之后各站資料的子序列X2均值明顯向下跳躍，計(jì)算得均值跳躍幅度分別為49.13%，26.99%和18.89%，即全序列服從非一致分布。

4.2模型參數(shù)估計(jì)

選取兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布(LN2)、三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布(LN3)、Gumbel分布和P-Ⅲ型分布構(gòu)造4種條件概率模型。本研究選用的優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù)為效率系數(shù)R2[12]，Model Ⅱ中要求x≥bi、Model Ⅳ中要求Csi/Cvi≥2，選用罰函數(shù)法考慮約束條件將參數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)化為無約束組合優(yōu)化問題。因此，確定適應(yīng)度函數(shù)為：

(19)

表 1　不同條件概率模型分布參數(shù)的估計(jì)Table 1　Distribution parameters of different conditional probability models

4.3模型評價(jià)與分析

從表2可知，將所運(yùn)用的4種模型應(yīng)用于3個水文站非一致性資料的頻率分析，擬合效率系數(shù)均高于0.96，表明條件概率模型的應(yīng)用效果較好；根據(jù)不同的擬合優(yōu)度評價(jià)指標(biāo)，優(yōu)選出的最佳模型不一定相同，與R2和WLS相比，AIC與SBC指標(biāo)在衡量模型的擬合效果時考慮了擬合殘差的大小與模型參數(shù)個數(shù)，故以這2種指標(biāo)的評價(jià)結(jié)果確定最佳模型更為合理。由此可知，林家村、張家山和狀頭水文站的最佳模型分別為ModelⅢ、ModelⅠ和ModelⅣ，擬合效率系數(shù)分別為0.989 8，0.991 2和0.977 0。

表 2　不同水文站擬合優(yōu)度評價(jià)指標(biāo)及模型優(yōu)選結(jié)果Table 2　Values of evaluation indicators and the selection of optimal model at different stations

根據(jù)優(yōu)選出的最佳模型，采用式(17)、(18)計(jì)算出3個水文站資料的學(xué)生化殘差序列。以林家村站為例，分析學(xué)生化殘差是否服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，繪制的林家村站學(xué)生化殘差散點(diǎn)圖見圖2。

圖2中深色區(qū)域?yàn)檎龖B(tài)分布95%的接受域Ⅰ，淺色區(qū)域?yàn)檎龖B(tài)分布99%的接受域Ⅱ。實(shí)際落入?yún)^(qū)域Ⅰ的概率為95.2%，落入?yún)^(qū)域Ⅱ的概率為98.4%，均與理論值接近。對學(xué)生化殘差序列進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值方差檢驗(yàn)，取顯著性水平α為0.05，均值檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為|U|=0.159 2，小于臨界值1.96；方差檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為χ2=60.51，介于臨界值區(qū)間(42.95，86.83)。因此，林家村站的學(xué)生化殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。同理，計(jì)算得到張家山和狀頭站學(xué)生化殘差的均值檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為0.030 4和0.092 2，均小于臨界值1.96，方差檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為70.33和65.55，分別落在臨界區(qū)間(52.10，99.68)和(48.76，95.02)，表明張家山和狀頭站的學(xué)生化殘差序列也均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。殘差分析結(jié)果說明，上述選取的最佳模型合理可靠，即優(yōu)選出的最佳條件概率模型可作為各站資料的理論頻率模型。

圖 2林家村站水文序列學(xué)生化殘差的散點(diǎn)圖

Fig.2StudentizedresidualsofhydrologicseriesatLinjiacunstation

根據(jù)各站所選的最佳模型及相應(yīng)分布參數(shù)的估計(jì)結(jié)果，繪制的頻率曲線見圖3。

圖 3林家村、張家山和狀頭站年平均流量的理論頻率曲線

Fig.3TheoryfrequencycurvesofannualaveragedischargesatLinjiacun,ZhangjiashanandZhuangtougaugingstations

從圖3可以看出，林家村與張家山站的理論頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合效果較好，而狀頭站序列兩端的經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)偏離理論頻率曲線較遠(yuǎn)，表明狀頭站的理論頻率模型可能并非2個P-Ⅲ分布的條件概率模型，需要更換子分布線型并做進(jìn)一步的分析計(jì)算。

5　結(jié)　論

本研究基于條件概率模型，以林家村、張家山和狀頭站具有跳躍變異的年平均流量序列為例，選取4種理論頻率模型，采用模擬退火粒子群算法估計(jì)參數(shù)，分析了模型的擬合效果及最佳模型的合理性，研究了條件概率模型在非一致性水文序列頻率分析中的應(yīng)用，得到以下結(jié)論：

(1)基于條件概率原理，選取不同分布構(gòu)造相應(yīng)的條件概率模型，可根據(jù)應(yīng)用情況進(jìn)行靈活選用。

(2)采用模擬退火粒子群算法，以含有約束條件的效率系數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)，避免大量的數(shù)學(xué)計(jì)算，可以比較可靠地估計(jì)模型參數(shù)。

(3)條件概率模型物理意義明確、理論嚴(yán)密，實(shí)例分析表明擬合效率系數(shù)較高，學(xué)生化殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，基于條件概率模型的計(jì)算方法是一種對具有跳躍變異的非一致性水文序列進(jìn)行頻率分析的有效途徑。

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Application of conditional probability model in frequency calculation of inconsistent hydrologic series

LI Lingjie1,2,KANG Yan1,SONG Songbai1,DENG Ruiqiang1,JIN Yirong2

(1CollegeofWaterResourcesandArchitecturalEngineering,NorthwestA&FUniversity,Yangling,Shaanxi712100,China；2NanjingHydraulicResearchInstitute,Nanjing,Jiangsu210029,China)

【Objective】 This study investigated the application of conditional probability model in frequency analysis of inconsistent hydrologic series to provide basis for hydrologic frequency analysis in a changing environment.【Method】 The method based on conditional probability model was applied to analyze annual average discharge series with jump variation at three gauge stations of Linjiacun,Zhangjiashan and Zhuangtou in Wei River basin.Four hydrological frequency distribution curves including two-parameter lognormal distribution,three-parameter lognormal distribution,Gumbel distribution and P-Ⅲ distribution were selected and their parameters were estimated by simulated annealing-particle swarm algorithm.Indicators such as the efficiency coefficientR2were adopted to evaluate the fitness of models and studentized residuals were analyzed for optimal model rationality.【Result】 The efficiency coefficients of series at three gauge stations between theoretical and empirical frequencies all exceeded 0.96,and the studentized residuals of optimal model obeyed the normal distribution.The results based on conditional probability model were reasonable and reliable.【Conclusion】 With definitely physical significance,rigorous theory and better imitative effect,conditional probability model provides an effective way for frequency analysis of inconsistent hydrologic series.

conditional probability model;inconsistent;hydrologic series;frequency analysis;jump variation

網(wǎng)絡(luò)出版時間:2016-07-1208:4510.13207/j.cnki.jnwafu.2016.08.032

2014-12-31

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51179160)；國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目(51409222)；水利部公益性行業(yè)科研經(jīng)費(fèi)專項(xiàng)(201301075)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)(2014YB048)；西北農(nóng)林科技大學(xué)博士科研啟動基金項(xiàng)目(2013BSJJ101)

李伶杰(1992-)，男，山西呂梁人，本科在讀，主要從事水文與水資源研究。E-mail:lilingjie@nwsuaf.edu.cn

康艷(1977-)，女，黑龍江湯原人，講師，博士，主要從事水文與水資源研究。E-mail:kangyan@nwsuaf.edu.cn

P333.9

A

1671-9387(2016)08-0219-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1390.S.20160712.0845.064.html